陕西省西安市碑林区2022年中考数学四模试题（含答案与解析）

陕西省西安市碑林区2022年中考四模试卷

数学

（本试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴

在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答

在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（共10小题）

1.-2的相反数是（）

A.—B.2C.--D.-2

22

2.如图，下面的几何体由一个正方体和两个圆柱体组成，则它的左视图是（）

3.如图，直线m〃n,直线AB分别与直线m,n交于A,B两点，/BAD的平分线交直线n于点C,若N1

=56。，则N2的度数是（）

4.若一个正比例函数的图象经过A(3,m-1),B(4,2m-1)两点，则m的值为()

A.-0.5B.0.5C.2D.-2

5.下列运算正确的是()

A.a2-3a2=2a2B.(-2a2)3--6a6

C(a+1)2—a2+1D.3a2,2a3=6a5

6.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,NB=30。，CE平分NACB交AB于点E.EFJ_BC于点F,若EF

=4,则线段AE的长为()

8百

A.2GC.2上+2D.35/3

亍

7.在平面直角坐标系中，直线4与6关于直线y=l对称，若直线4的表达式为y=-2x+3,则直线4与X

轴的交点坐标为()

A.(—,0)B.(-,0)C.(0,0)D.(1,0)

22

8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,E为AB上一点，将4ADE沿DE翻折，若A点的对称点A，

恰好落在BC上，则AE的长为()

D

A6B.5C.4D.3

9.如图，四边形ABCD内接于。O,AB=CB,ZBAC=30°,BD=石，则AD+CD的值为()

A.3B.2V3C.6+1D.不能确定

10.若抛物线M：y=x2-(3m-1)*-3与抛物线乂，：y=x2+10x+2n+5关于直线x=-2对称，贝I]m,

n值为()

A.m=l,n=10B.m=2,n=5C.m=l,n=8D.m=2,n=7

二、填空题(共4小题)

11.比较大小：302A/5

12.如图，若正六边形ABCDEF边长为1,连接对角线AC,AD.则4ACD的周长为一

13.如图，D是菱形ABCO的对称中心，点C在x轴上.OA=4,ZOAB=120°.若一个反比例函数的图

象经过点D,交OA于点E,则点E的坐标为.

14.如图，在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(0,2),C为x轴上的一个动点，以BC为一边作等腰

RtABCD,使得/BCD=90。，CB=CD,连接AD,则AD+BD的最小值为.

三、解答题（共11小题，解答题应写出过程）

15.计算：V8+I1+（乃-1）°—卜一301

16.解方程：.

龙+2x—2

17.如图，已知四边形ABCD中，AD〃BC,请用尺规作图法，求作：。0,使得。O经过B,C两点且与

直线AD相切（保留作图痕迹，不写作法）.

18.如图，在AABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CE〃AB交DF延长线于点E,若DF=FE,

求证：AD=CE.

19.某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分

为4个等级：A、B、C、D,并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下面的问题:

（1）本次抽样调查了学生;

（2）抽查了名等级为C的学生？并补全条形统计图；

（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计获得B等级有多少人？

20.小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C,

并在点C处安装了测倾器S,选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B,顶部作为点A,现测得古

树的项端4的仰角为37°,再在BC的延长线上确定一点尸，使C尸=5米，小华站在尸处，测得小华的身

高EF=L8米，小华在太阳光下的影长FG=3米，此时，大树AB在太阳光下的影子为8尸.已知测倾器的

高度CO=L5米，点G、F、C、B在同一水平直线上，且CD、AB均垂直于8G,求小河的宽度BC.（参

考数据：si〃37°-0.6,cos31°~0.8,s”37°40.75）

21.某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月

用水量x（nP）之间的关系如图所示.

（1）当x<13时，求y关于x的函数表达式；

（2）若某用户二、三两月共用水40m3（二月份用水量不超过27m3）,两月共纳水费155元，则该用户二、

三两月的用水量各是多少nf?

22.五一期间，某商场为了吸引顾客.开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4

个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“20元”、“30元”、“40元”、“50元”的字样（如图）.规

定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元，就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金

额返还相应数额的代金券.某顾客当天消费500元，转了两次转盘.

（1）该顾客最少可得元代金券，最多可得元代金券；

（2）请用列表法或画树状图方法，求该顾客所获代金券金额不低于80元的概率.

年呷

23.如图，AB为。O的直径，在AB的延长线上，C为。O上点，ADJLCE交EC的延长线于点D,若AC

平分NDAB.

（1）求证：DE为00的切线；

（2）当BE=2,CE=4时，求AC的长.

D

C

A\OjBE

24.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x?+k的顶点A在直线/：y=x-3上，将抛物线沿直线

/向右上方平移，使其顶点P始终保持在直线/上，设平移后的抛物线与原抛物线交于B点.

（1）请直接写出k的值；

（2）若抛物线y=x?+k与直线/：y=x-3另一个交点为C.当点B与点C重合时.求平移后抛物线的

解析式；

25.如果一个三角形的三个顶点都落在一个矩形的边上（含顶点）.则称这个三角形为矩形的内接三角形.

问题发现（1）如图1,等边4AEF内接于正方形ABCD,若AE=2,则正方形ABCD的面积为；

探索问题（2）如图2,若等边4AEF内接于正方形ABCD,试证明4ABE和4ADF的面积之和等于4CEF

的面积；

拓展应用（3）如图3,若等边4AEF内接于矩形ABCD（AB<AD）.请问（2）中的结论是否成立？如果

不成立，请举出反例；如果成立，请说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题）

1.-2的相反数是（）

A.—B.2C._—D.-2

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

【详解】-2的相反数是2,

故选:B.

【点睛】本题考查了相反数的意义，会求一个数的相反数是解答的关键.

2.如图，下面的几何体由一个正方体和两个圆柱体组成，则它的左视图是（）

A.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【详解】从左边看，底层是一个正方形，正方形里面是一个内切圆，上层是一个正方形.

故选：D.

【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

3.如图，直线m〃n,直线AB分别与直线m,n交于A,B两点，/BAD的平分线交直线n于点C,若N1

=56。，则/2的度数是（）

m

D

n

BC

A.108°B,112°C,118°D,124°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得/1+N3的度数，从而可以得到/2的度数，本题得以解决.

【详解】解：

；.Nl+/3=/2,

VZ1=56°,

.,.ZBAD=124°,

：AC平分/DAB,

；.N3=62。，

N1+Z3=56°+62°=118°,

.*.Z2=118°,

【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握基础知识是关键.

4.若一个正比例函数的图象经过A（3,m-1）,B（4,2m-1）两点，则m的值为（）

A.-0.5B,0.5C.2D,-2

【答案】A

【解析】

【分析】

设正比例函数的解析式为y="（ZW0）,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k,，”的二元一次方

程组，解之即可得出结论.

【详解】解：设正比例函数的解析式为y=依（k关0）,

•••该正比例函数的图象经过4（3,祖-1）,8（4,2机-1）两点，

m-1=3k

2m-1=4%

m=-0.5

解得:

Z=—0.5

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的

关键.

5.下列运算正确的是()

A.a2-3a『2a2B.(-2a2)'=-6a6

C.(a+1)2=a2+lD.3a2»2a3=6a5

【答案】D

【解析】

【分析】

利用合并同类项法则、积的乘方的性质、完全平方公式、单项式乘以单项式乘法法则分别进行计算即可.

【详解】解：A、a2-3a2=-2a2,故原题计算错误；

B、(-2a2)3=-8a6,故原题计算错误；

C、(a+1)2—ar+2a+1,故原题计算错误；

D、3a2»2a3=6a\故原题计算正确；

故选：D.

【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方法则、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是关

键.

6.如图，在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CE平分NACB交AB于点E.EFJ_BC于点F,若EF

=4,则线段AE的长为()

A.273B.%白C.2y/3+2D.36

3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义和直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：・・・CE平分NACB,

.\ZACE=ZBCE,

VZACB=90°,EFXBC,

.,.ZACB=ZEFB=90°,

・・・NECF=NCEF,

・・・CF=EF=4,

VZB=30°,

・・・BE=2EF=8,BF=&EF=45

・・・BC=CF+BF=4+4石,

VZACB=90°,ZB=30°,

4+46

,「BC8百+24

••AB=-------

cos53

AAE=AB-BE=^5

3

故选：B.

【点睛】本题考查了含30。角的直角三角形的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

7.在平面直角坐标系中，直线4与4关于直线y=l对称，若直线4的表达式为y=-2x+3,则直线6与x

轴的交点坐标为()

A.(—,0)B.(-,0)C.(0,0)D.(1,0)

22

【答案】A

【解析】

【分析】

求得直线4上的两点，进一步得到关于直线y=l的对应点，然后根据待定系数法求得直线4,把y=0代入

即可求得直线4与x轴的交点坐标.

【详解】解：在直线4y=-2x+3中，令x=0,则y=3,

直线4与y轴的交点为(0,3),

直线4与经过点(1,1),(0,3),

•.•点（0,3）关于直线y=l的对称点为（0,-1）,

直线6经过点（1，1）和点（0，-1）,

设直线4的解析式为y=kx+b,

k+bk=2

,,=1,解得〈

b=-\b=-l)

直线4的解析式为y=2x-1,

直线。与X轴的交点坐标为（L,0）,

2

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次

函数图象上点坐标特征，求得对称点的坐标是解题的关键.

8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,E为AB上一点，将4ADE沿DE翻折，若A点的对称点A'

恰好落在BC上，则AE的长为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

由矩形的性质得NB=NC=90。，AD=BC=10,CD=AB=S,由折叠的性质得4£>=AO=10,AE=A'E,

由勾股定理求得AC=6,得出48=4,由勾股定理得45+8层=加/，求出BE=3,即可得出结果.

【详解】解：•••四边形A8CQ是矩形，

AZB=ZC=90°,AD=BC=IO,CD=AB=8,

由折叠的性质得：A'D=AD=\Q,AE=A'E,

在Rt^A'CD中，由勾股定理得：A'C=ylA'D2-CD2=A/102-82=6，

：.A'B=BC-A'C=10-6=4,

在放AABE中，由勾股定理得：A,B2+BE2=A,£2,

即42+B£2=（8-BE）2,

解得：BE=3,

，AE=8-3=5,

故选：B.

【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股

定理是解题的关键.

9.如图，四边形ABCD内接于AB=CB,ZBAC=30°,BD=6,则AD+CD的值为（）

B.26C.G+lD.不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，过点B作BE_LAD于E,BF_1_DC交DC的延长线于F.利用全等三角形的性质证明DE=DF,AE

=CF,推出DA+DC=2DF,求出DF即可解决问题.

【详解】解：如图，过点B作BELAD于E,BFLDC交DC的延长线于F.

VAB=BC,

JAB=BC，

・・・NBDE=NBDF,

VZDEB=ZDFB=90°,DB=DB,

AABDE^ABDF(AAS),

・・・BE=BF,DE=DF,

\'ZAEB=ZF=90°,BA=BC,BE=BF,

RtABEA^RtABFC(HL),

・・・AE=CF,

・・・AD+DC=DE+AE+DF-CF=2DF,

VZBDF=ZBAC=30°,BD=6，

ABF=—BD=—,

22

JDF=y]BD2-BF2=1(6)2—(苧了=3，

：.DA+DC=3,

故选：A.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

10.若抛物线M：y=x2-（3m-1）x-3与抛物线M，：y=x?+10x+2n+5关于直线x=-2对称，则m,

n值为（）

A.m=l,n=10B.m=2,n=5C.m=l,n=8D.m=2,n=7

【答案】C

【解析】

【分析】

由抛物线M：y=x2-（3m-1）x-3可知抛物线M的对称轴为直线x=-^,交y轴于点（0,-3）,

抛物线MZy=x2+10x+2n+5的对称轴为直线x=-5,根据题意得到5（—^-5）=-2,点（0,

-3）关于直线x=-2对称的点（-4,-3）,在抛物线Mz：y=x2+10x+2n+5上，进而求得m=l,n=8.

【详解】解：由抛物线M：y=x2-（3m-1）x-3可知抛物线M的对称轴为直线乂=方二，交y轴于点

（0,-3）,

抛物线M-：y=x?+10x+2n+5的对称轴为直线x=-2=-5,

•抛物线M：y=x2-(3m-1)x-3与抛物线MZy=x?+10x+2n+5关于直线x=-2对称,

13m-l、

/.一(------5)="2,

22

解得m=l,

・••点（0,-3）关于直线x=-2对称的点（-4,-3）,在抛物线MZy=x2+10x+2n+5±,

・••把点(-4,-3)代入得-3=16-40+2n+5,

解得n=8,

故选：C.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，表示出抛物线的对称轴以及轴对称

的性质是解题的关键.

二、填空题（共4小题）

H.比较大小：30275

【答案】<

【解析】

【分析】

将两数平方后比较大小，可得答案.

【详解】（3行『=18,（26『=20,18<20

30<275

故填：<.

【点睛】本题考查比较无理数的大小，无理数的比较常用平方法.

12.如图，若正六边形ABCDEF边长为1,连接对角线AC,AD.则4ACD的周长为.

【答案】3+6

【解析】

【分析】

根据正六边形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得NACB=NBAC=30。，进而可得

ZACD=90°,NCAD=30。，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可.

【详解】解：•..正六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=1,ZB=ZBCD=120°,

AZACB=ZBAC=30°,

.•./ACD=90°,

VZCDA-ZEDA=60°,

AZCAD=30°,

，AD=2CD=2,AC=722^f>

.•.△ACD的周长=AD+AC+CD=3+G,

故答案为：3+6.

【点睛】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质以及

勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

13.如图，D是菱形ABCO的对称中心，点C在x轴上.0A=4,ZOAB=1200.若一个反比例函数的图

象经过点D,交OA于点E,则点E的坐标为

【答案】(百，3)

【解析】

【分析】

作AH_Lx轴于H,EGLx轴于G,如图，易得0A=4,ZAOC=60°,然后利用解直角三角形的知识可求

得AH、0H的长，即可求得点A、C的坐标，进而可得D的坐标，于是可得反比例函数解析式，从而可得

△OEG的面积，易证△EOGsaAOH,然后根据相似三角形的性质即可求出OG、EG的长，从而可得E的

坐标.

【详解】解：作AHJ_x轴于H,EGJ_x轴于G,如图，

•.,菱形ABCO中，OA=4,ZOAB=120°,

.-.OC=4,ZAOC=60°,

，AH=OA・sin60°=4x@=26,OH=OA*cos60°=4x—=2,

22

.•.点A(2,25,C(4,0),

：D是菱形ABCO的对称中心，

；.D(3,百)，

设反比例函数解析式为丫=

X

k

*«*y=—经过点D(3,5/3)，・'・k=3x=3

x

•,.SAOEG=-

2

VAH/7EG,/.AEOG^AAOH,

q

%OEG

=（翁

,*,SAAOH=Qx2x2>/3—2,

3g2

OGI,解得：0G=6,EG=3,

2^3

；.E(百，3),

故答案为：(百，3).

【点睛】本题考查了菱形性质、反比例函数的图象与性质、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质

等知识，涉及的知识点多，但难度不大，熟练掌握上述知识是解题的关键.

14.如图，在平面直角坐标系中，A(-1,0),B(0,2),C为x轴上的一个动点，以BC为一边作等腰

RtABCD,使得NBCD=90。，CB=CD,连接AD,则AD+BD的最小值为.

【答案】V29

【解析】

分析】

过点D作DE，x轴于E,截取BO=CF=2,连接DF,作点A关于直线DF的对称点A，，连接AB交直线

DF于点D，，由“AAS”可证△BCO丝ZSEDE,可得OC=DE,CE=BO=2,可求DE=EF,可得点D在过点

(2,0),且与x轴所成的锐角为45。的直线上运动，则可得AB的长是AD+BD的最小值，由两点距离公

式可求解.

【详解】解：如图，过点D作DE，x轴于E,截取BO=CF=2,连接DF,作点A关于直线DF的对称点

A',连接AB交直线DF于点D\

VZBCD=90°,

.\ZBCO+ZDCE=90o,

又ZBCO+ZOBC=90°,

.,.ZDCE=ZOBC,

在△BCO和4CDE中，

40BC=/DCE

<ZBOC=ZCED=90,

BC=CD

.".△BCO^AEDE(AAS),

；.OC=DE,CE=BO=2,

VOF=BO=2,

.,.OF=CE,

.\EF=OC=DE,

又EF,

ZDFE=45°,

.•.点D在过点(2,0),且与x轴所成的锐角为45。的直线上运动,

:点A关于直线DF的对称点A',

/.A'B长是AD+BD的最小值，

•.•点A(-1,0),

-2,-3),

又•.•点B(0,2),

•••A'B=J(2_())2+(-3-2)2=a,

故答案为：V29.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全

等三角形和确定点D的运动轨迹是本题的关键.

三、解答题(共U小题，解答题应写出过程)

15.计算：我+(»-1)°-|4-30卜

【答案】7-V2

【解析】

【分析】

利用二次根式的性质、负整数指数基的性质、零次基的性质、绝对值的性质计算，然后再算加减即可.

【详解】解：原式=2近+2+1-(372-4)

=2血+2+1-3及+4

=7-72.

【点睛】本题考查了化简二次根式、负整数指数基、零指数基、绝对值，掌握这些知识的运算法则是解答

的关键.

尤+1]_3

16.解方程:

龙+2x—2

【答案】x=-I

【解析】

【分析】

根据解分式方程的解法步骤求解即可.

x+1]_3

【详解】解:

x+2x-2

去分母得，(x+1)(x-2)-(x+2)(x-2)—3(x+2)

去括号得，x2-x-2-X2+4=3X+6

移项得，x2-x-x2-3x=6+2-4

合并同类项得，-4x=4

系数化为1得，x=-1

经检验，x=-1是原方程的解，

所以原方程的解为X=-1.

【点睛】本题考查分式方程的解法，检验是解分式方程的必要步骤.

17.如图，已知四边形ABCD中，AD〃BC,请用尺规作图法，求作：OO,使得。。经过B,C两点且与

直线AD相切（保留作图痕迹，不写作法）.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

先作BC垂直平分线交AD于E,连接BE,再作BE的垂直平分线交BC的垂直平分线于点O,然后以O

点为圆心，0E为半径作圆即可.

【详解】解：如图，。。为所作.

【点睛】本题考查了尺规作图和圆的切线的判定，正确理解题意、熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方

法、找出圆心的位置是解题的关键.

18.如图，在AABC中，D为AB上一点，F为AC上一点，CE〃AB交DF的延长线于点E,若DF=FE,

求证：AD=CE.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由CE〃AB可得NA=/FCE,ZADF=ZE,然后即可根据AAS证明△ADFgZ\CEF,进而可得结论.

【详解】证明：：CE〃AB,

；./A=/FCE,/ADF=NE,

又；DF=FE,

/.△ADF^ACEF(AAS),

/.AD=CE.

【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判

定与性质是解题的关键.

19.某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分

为4个等级：A、B、C、D,并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图.请根据图中信息回答下面的问题：

(1)本次抽样调查了学生；

(2)抽查了名等级为C的学生？并补全条形统计图；

(3)若该校九年级学生共有1500人，请估计获得B等级有多少人？

【答案】(1)500名

(2)120；画图见解析

(3)120人

【解析】

【分析】

(1)根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；

(2)根据(1)中的结果和扇形统计图中的数据，可以得到C等级的人数，从而可以将条形统计图补充完

整.

(3)根据统计图中的数据，可以计算出获得B等级有多少人.

【详解】解：(1)本次抽样调查了260・52%=500名学生，

故答案为：500名；

(2)等级为C的学生有:500X24%=120(名),

补全的条形统计图如右图所示，

故答案为：120；

(3)1500X——=120(人),

500

即获得B等级有120人.

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

20.小华想用学过的测量知识来测量家门前小河的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C,

并在点C处安装了测倾器C。，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点顶部作为点A,现测得古

树的项端A的仰角为37°,再在BC的延长线上确定一点R使CF=5米，小华站在广处，测得小华的身

高EF=1.8米，小华在太阳光下的影长尸G=3米，此时，大树4B在太阳光下的影子为BR已知测倾器的

高度C£>=1.5米，点G、F、C、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于8G,求小河的宽度BC.（参

考数据：sin?11°弋0.6,cos31a弋0.8,tan37°40.75）

【答案】10米

【解析】

【分析】

过点。作力所在直线于点H,可得四边形。CB"是矩形，BC=DH,BH=CD=1.5,设8c=£W=x,

在RSAD”中，用x表示出A”，再根据同一时刻物高与影长的比相等，列出等式即可求出小河的宽度BC.

【详解】解：如图，过点。作所在直线于点”，

可得四边形OC8,是矩形，

:.BC=DH,BH=CD=15,

设BC=DH=x,

根据题意可知：

在用中，ZADH=31°,

：.AH=DH'tariil°-0.75x,

：.AB=AH+BH=0.15x+\.5,

BF=FC+CB=5+x,

根据同一时刻物高与影长的比相等，

.EFAB

••----------，

FGBF

1.80.75x+1.5

••二，

35+无

解得x=10,

所以8c=10(米),

答：小河的宽度BC为10米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影，解决本题的关键是设出未知数，利用

同一时刻物高与影长的比相等建立方程.

21.某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月

用水量x(n?)之间的关系如图所示.

(1)当xV13时，求y关于x的函数表达式；

(2)若某用户二、三两月共用水40m3(二月份用水量不超过27m3),两月共纳水费155元，则该用户二、

三两月的用水量各是多少nP?

y阮)

o]61320x(m3)

7,,

【答案】(1)y=yX；(2)二月的用水量是12m3,三月的用水量是28m&

【解析】

【分析】

(1)根据点的坐标，利用待定系数法可求出当x<13时y关于x的函数表达式；

(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A,B的坐标，利用待定系数法可求出

当近13时y关于x的函数表达式，设二月份用水量为mH,则三月份用水量为(40-n)m3,当n<13时，

根据两月共缴纳水费155元，即可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出n值；当13Wn<27时，结合

y关于x的函数表达式可得出两月共缴纳水费154元，与已知矛盾，由此可得出不存在该情况.

【详解】解：(1)设当xV13时，y关于x的函数表达式为丫=1«(k匈)，

将A(6,21)代入y=kx,得：6k=21,

7

解得：k=—,

2

,,,7

当x<13时，y关于x的函数表达式为y='X.

791

(2)当x=13时，y=-xl3=一，

22

91

点A的坐标为(13,—).

2

设当延13时，，y关于x的函数表达式为y=ax+b(a/0),

9113cz+^=—

将A(13,—),B(2O,77)代入y=ax+b,得：2,

20a+b=77

9

Cl———

解得：\2,

.=—13

,9

当这13时，y关于xJ的函数表达式为y=-13.

设二月份用水量为nn?,则三月份用水量为(40-n)m3.

79

当n<13时，-n+-(40-n)-13=155,

22

解得：n—12,

40-n=28；

99

当13Wn<27时，一n-13+—(40-n)-13=154^55,不合题意，舍去.

22

答：该用户二月的用水量是12m3,三月的用水量是28m3.

【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答的关键是读懂题意，从函数图象中获取信

息，利用数形结合思想、待定系数法和分类讨论的数学方法解决实际问题，属于基础题型，难度适中.

22.五一期间，某商场为了吸引顾客.开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4

个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“20元”、“30元”、“40元”、“50元”的字样（如图）.规

定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元，就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金

额返还相应数额的代金券.某顾客当天消费500元，转了两次转盘.

（1）该顾客最少可得元代金券，最多可得元代金券；

（2）请用列表法或画树状图的方法，求该顾客所获代金券金额不低于80元的概率.

【答案】（1）40,100

⑵1

【解析】

【分析】

（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得40元代金券，最多可得100元代

金券；

（2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获代金券金额不低于80元的情况，然后利

用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：（1）根据题意画树状图如下：

开始

2064050203040502030405020304050

则该顾客最少可得40元代金券，最多可得100元代金券；

故答案为：40,100；

(2)I•共有16种等可能的结果，该顾客所获代金券金额不低于80元的有6种情况,

•••该顾客所获代金券金额不低于80元的概率为：£=1.

16o

【点睛】本题考查概率的计算，熟练应用列表法或树状图法求解是解题关键.

23.如图，AB为。。的直径，在AB的延长线上，C为。O上点，ADLCE交EC的延长线于点D,若AC

平分/DAB.

(1)求证：DE为。。的切线；

(2)当BE=2,CE=4时，求AC的长.

【答案】(1)见解析

(2)

5

【解析】

【分析】

(1)连接OC,求证OC〃AD,然后根据切线的判定即可求出答案.

(2)设。。的半径为r,根据勾股定理求出r=3,然后利用相似三角形的性质以及勾股定理即可求出答案.

【详解】解：(1)连接OC,

・・・AC平分NOAD,

AZDAC=ZOAC,

VOC=OA,

.\ZOAC=ZOCA,

AZOCA=ZDAC,

・・・OC〃AD,

AZADC=ZOCE,

VAD±CE,

.\ZADC=90°,

.\ZOCE=90°,

.\OC±ED,

•..OC是。o的半径，

；.DE是。O的切线.

(2)设。O的半径为r,

在RtAOCE中

(r+2)2=r2+42,

r—3,

：OC〃AD,

.".△EOC^AEAD,

,OCOE

..---=----,

ADAE

,35

••一，

AD8

，由勾股定理可知：DE=M，

12

.*.CD=DE-CE=—,

5

在Rt^ADC中，

由勾股定理可知：AC=U^

5

【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，需要学生灵活

运用所学知识.

24.如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+k的顶点A在直线/：y=x-3上，将抛物线沿直线

/向右上方平移，使其顶点P始终保持在直线/上，设平移后的抛物线与原抛物线交于B点.

(1)请直接写出k的值；

(2)若抛物线y=x2+k与直线/：y=x-3的另一个交点为C.当点B与点C重合时.求平移后抛物线的

解析式；

(3)连接AB,BP,当4ABP为直角三角形时，求出P点的坐标.

【答案】⑴k=-3

(2)y=x2-2x-1

(3)(3,0)或(石，75-3)

【解析】

【分析】

(1)先根据直线/：y=x-3,可得直线与y轴的交点A的坐标，从而代入抛物线的解析式y=x2+k,可得

k的值；

(2)将两函数的解析式列方程后可得交点C的坐标，因为点B与点C重合，所以平移后的抛物线的顶点P

与C重合，由此可得平移后的抛物线的解析式；

(3)分两种情况：①当NAPB=90。，如图2,利用勾股定理和两点的距离公式，列方程可得结论；②当NABP

=90。，利用勾股定理和两点的距离公式计算量太大，所以作辅助线，构建两个直角三角形，利用等角的正

切列比例式可得结论.

【详解】解：⑴直线/：y=x-3,

当x=0时，y=-3,

・・・顶点(0,-3),

・・・抛物线的解析式为:y=x2-3,即k=-3；

(2)由题意得：x2-3=x-3,

解得：X]=0,X2=l,

：.C(1,-2),

当点B与点C重合时，如图1,顶点P(l,-2),

:•平移后抛物线的解析式为：y=(x-1)2-2=x2-2x-1；

(3)•.•抛物线顶点P始终保持在直线/上，

.•.设P（m,m-3）,则平移后的抛物线的解析式为：y=（x-m）2+m-3,

y=/一3

,•]/、2，

y=\<x-m）+m-3

m+1

x=

2

解得：＜

m2+2m-ll

y=

4

"2+1nr+2m-11

・・・B（------）,

24

・・,抛物线x2-3沿直线/向右上方平移，

・••当4ABP为直角三角形时，NPAB不可能为直角,

所以分两种情况：

①当NAPB=90。时，如图2,AP2+BP2=AB2,

,22/〃2+1\2।「m~+2〃2—11.（根+1）~/犷+2加-11

..①一+加+（m一——）-+[-----------------（加-3）]2='4+（---------------+3），

.\m（m-1）（m-3）=0,

/.mi=0（舍），m2=l（舍），m3=3,

：.P（3,0）；

②当NABP=90。时，如图3,过B作EF_Ly轴于F,过P作PE_LEF于E,

・•・ZABF+NEBP=ZEBP+ZEPB=90°,

AZABF=ZEPB,

AFBE

tanZABF=tanZEPB,即an-=----,

BFPE

77?*2+2m-11「m+1

...4________=2,

m+lm24-2m-11/

——（加一3）

24

解得：mi=-逐（舍），m2=75，

：.P（底V5-3）,

综上，P点的坐标是（3,0）或（石，75-3）.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角函数，两点距离公

式，勾股定理，平移等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

25.如果一个三角形的三个顶点都落在一个矩形的边上（含顶点）.则称这个三角形为矩形的内接三角形.

问题发现（1）如图1,等边4AEF内接于正方形ABCD,若AE=2,则正方形ABCD的面积为；

探索问题（2）如图2,若等边4AEF内接于正方形ABCD,试证明4ABE和4ADF的面积之和等于4CEF

的面积；

拓展应用（3）如图3,若等边4AEF内接于矩形ABCD（ABVAD）.请问（2）中的结论是否成立？如果

不成立，请举出反例；如果成立，请说明理由.