第八章 解析几何 章节检测（提高卷）教师讲解版-2022年高考数学一轮（新高考专版）

文档来源网络整理侵权必删第八章解析几何章节检测（提高卷）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·广东揭阳市·高二期中）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先求得双曲线的渐近线方程，由平行得斜率，进而可求离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为：.由双曲线的一条渐近线平行于直线，可得：.则该双曲线的离心率为.故选：B.2．（2021·全国高二课时练习）已知Q为直线与交点，且点在椭圆上，则=（）A． B．2 C． D．4【答案】C【详解】解：联立方程组，解得，代入椭圆方程得，整理可得，化简整理可得.故选：C.3．（2021·会泽县茚旺高级中学高二月考（理））设斜率为1的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为2，则（）．A．4 B．8 C． D．【答案】D【详解】由题意可知：抛物线的焦点，直线的方程为，将代入得，∴，∴，∴．故选：D4．（2021·江西高三月考（文））给定抛物线，F是其焦点，直线，它与相交于两点，如果且，那么的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】直线与抛物线方程联立得：，因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以，设，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函数在时单调递减，所以，因此，所以或故选：C5．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，准线为l，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为d1，d2，为坐标原点，则当最小时，＝（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，∵抛物线C：y2＝4x，∴焦点F（1，0），∴|FN|＝d＝，设直线l'与x轴的交点为D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．故选：A．6．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三其他模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如下图所示，设，由双曲线的定义可得，则，所以，，

在中，，整理可得，即，，解得.故选：D.7．（2021·广东高三月考）已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，，可得，圆心坐标为，，设椭圆的左焦点，则，所以，而取最小时为共线时，且为，解得，所以，所以椭圆的方程为，设过点点作圆的切线方程为，则，解得,即切线斜率为.故选：B.8．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足.现将沿折成直二面角，若使折叠后点，距离最小，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由双曲线方程知，，，，设，则，，又，则，解得或-3（舍），设折叠后点达到F点，如图所示，作于A点，易知平面，，，设，则，在中，，，在中，由余弦定理知，，则，当且仅当，即时，等号成立，折叠后点，距离最小.此时MN为的角平分线，由角平分线定理知，，则，故选：C二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）设是抛物线：的焦点，直线过点且与抛物线交于，两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．B．C．若点，则的最小值是5D．若倾斜角为，且，则.【答案】ACD【详解】抛物线的准线为，焦点为.设，设直线的方程为，由消去并化简得，所以，，所以（时等号成立）.所以A选项正确.当直线的方程为时，不妨设，此时，所以B选项错误.根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以C选项正确.当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限.故，解得，所以，即，所以D选项正确.故选：ACD10．（2020·江苏省板浦高级中学高三期末）点是抛物线上一点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且，设直线，的斜率分别为，，则下列结论成立的是（）A． B．C．直线过点（1，－2） D．直线过点（－1，2）【答案】AD【详解】解：设，，则，，，所以.故A正确，B错误；直线的方程为，即，因为，所以，即，代入方程整理得，则直线l过点，故C错误，D正确.故选：AD.11．（2020·南京市雨花台中学高二月考）已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，（点A在第一象限），则下列结论正确的是（）A．B．若直线的倾斜角为60°，则的长为C．D．【答案】ACD【详解】抛物线的焦点，过的直线的方程设为，联立抛物线方程可得，可得，又，，，故选项A、D正确；若直线的倾斜角为60°，所以，故选项B不正确；由抛物线的定义有，故选项C正确.故选：ACD12．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，则下列结论中，正确的为（）A． B．的面积是定值C．定值 D．设，则【答案】AC【详解】设直线方程为，带入可得，设，有，，A选项，，A正确；B选项，，根据三角换元设，，所以，，所以，故B错误；C选项，由且，，正确；D选项，由对角，所以，故D错误.故选：AC三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）13．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆：＝1（）的左、右焦点分别为，若椭圆与坐标轴分别交于四点，且从，这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆的离心率的可能取值为__．①；②；③；④．【答案】①④【详解】解：当左右焦点和上下顶点构成直角三角形时，，，离心率；当长轴的一个端点、短轴的一个端点和一个焦点构成直角三角形时，如图所示：这时，即，整理可得：，解得或（舍去）．故答案为：①④．14．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆：＝1（）的焦距为4，直线：与椭圆相交于点，点是椭圆上异于点的动点，直线、的斜率分别为，且，则椭圆的标准方程是__．【答案】＝1【详解】设P（x0，y0），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则，，两式作差得．因为直线PA，PB的斜率都存在，所以≠0．所以＝﹣＝﹣＝﹣k1•k2＝，则，又因为焦距为4，则，联立两式可得所以该椭圆的方程为：＝1故答案为：＝115．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在点的右侧），分别作和的角平分线相交于点，则的面积为__.【答案】8【详解】解：由抛物线y2＝4x，得焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，代入抛物线的方程，得y＝±2，所以A（1，2），B（1，﹣2），所以|AB|＝4，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝x1+x2+p＝+2＝＝8，所以k＝±1，由对称性不妨设k＝1，则∠AFB＝45°，∠ABF＝22.5°，因为∠ABN和∠BAM的平分线相交于点P，AM∥BN，所以PA⊥PB，所以在Rt△ABP中，AP＝ABsin22.5°＝8sin22.5°，BP＝ABcos22.5°＝8cos22.5°，所以S△ABP＝•8sin22.5°•8cos22.5°＝32sin22.5°8cos22.5°＝16sin45°＝8，故答案为：8.16．（2020·江苏省姜堰第二中学高二月考）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.则椭圆的标准方程___________.若过点的直线与交于不同的两点，，则面积的最大值___________.【答案】【详解】依题意有解得所以椭圆的标准方程是;由题意直线的斜率不能为，设直线的方程为，由方程组得，设，，所以，，所以，所以，令（），则，，因为在上单调递增，所以当，即时，面积取得最大值为.故答案为：，.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17．（2020·广东揭阳市·高二期中）在直角坐标系中，过动点的直线与直线垂直，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）直线与（1）中的轨迹交于两点，如果线段的中点为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）因为，故由，得，即，整理得，此即点的轨迹方程；（2）（法一）显然直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，得，设，由韦达定理，，依题意，，直线的方程为，化简得．（法二）显然直线的斜率存在，设，依题意，，且点在曲线上，故，两式相减，得即，即，直线的方程为．18．（2021·北京牛栏山一中高二期中）已知椭圆（）的焦点是，，且，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点F2的直线交椭圆于，（）两点，点是直线上异于的一点，且满足.求证：点的横坐标是定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）因为椭圆的焦点是，，且，所以，因为离心率为，即，可得，所以，所以椭圆的方程是.（2）因为，故直线AB存在斜率，设直线的斜率为，所以直线的方程可设为，联立方程组消去，整理得，所以，因为点在直线上，所以设点的坐标是，则有，因为，所以，可得，所以，可得，因为，所以，所以点的坐标是所以点在定直线上.19．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知椭圆：的离心率为，抛物线：的准线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，点，分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点，（，都在x轴上方）.且.直线是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若否，说明之.【答案】（1）；（2）直线过定点.【详解】解：（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又抛物线的准线被椭圆截得的线段长为.∴点在椭圆上.∴①又∵，∴，∴②，将①②联立，解得，，∴椭圆的方程为（2）设直线的方程为，，，把直线和椭圆方程联立，整理可得：.∵，即，∴，由（1）得，∴，，又，都在轴上方，且，∴，∴，即.整理可得∴，即，整理可得：.∴直线的方程为，∴直线过定点.20．（2020·广东揭阳市·高二期中）已知椭圆的右焦点为，圆的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与圆相交于两点，与椭圆的一个交点为（不与重合），求的最大面积．【答案】（1）；（2）5．【详解】（1）由圆的面积为，可得，即；又椭圆的右焦点为，故，联立方程组，解得，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在且不为0时，可设，联立方程组，整理得，解得，，所以，而圆心到直线的距离，，所以，当且仅当，即时取等号；当直线的斜率不存在时，，可得，当直线的斜率为0时，重合，与题意不符；综上，的最大面积为5．21．（2021·广西玉林市·高二期中（理））已知椭圆：的离心率，左､右交点分别为，，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆的方程：（2）已知圆：的切线与椭圆相交于，两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，定点为.【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，即，因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以，，所以椭圆的方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中一条切线方程为，由，可得，，则以为直径的圆的方程为.②当直线的斜率为零时，因为直线与圆相切，故其中条切线方程为，由，可得，，则以为直径的圆的方程为.显然以上两圆都经过定点.③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，由，消去并整理得，设，，则，，所以所以，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理得，于是，则以直径的圆经过定点.综上可知，以直径的圆经过定点.22．（2021·全国高二课时练习）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是分别过点的两条平行直线，交曲线于两个不同的点，交