2023-2024学年湘教版必修第二册 4-4-1平面与平面平行第2课时平面与平面平行的性质 学案

第2课时平面与平面平行的性质教材要点要点一平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果一个平面与这两个平面________，那么两条交线________．符号语言α∥β____________________图形语言状元随笔（1）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．（2）该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．要点二两平行平面间的距离如果平面α平行于平面β，则称平面α上任意一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离．基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）一个平面与两个平面相交，交线平行．（）（2）若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.（）（3）已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行．（）（4）夹在两平行平面间的平行线段相等．（）2.已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．不确定3.平面α∥平面β，直线a∥平面α，则（）A．a∥βB．a在平面β上C．a与β相交D．a∥β或a⊂β4.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是Ｗ．题型1利用面面平行的性质定理证明线线平行例1如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．方法归纳证明直线与直线平行的方法（1）平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；（2）基本事实4；（3）线面平行的性质定理；（4）面面平行的性质定理．跟踪训练1如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.题型2利用面面平行的性质定理求线段长例2如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求SC的长．方法归纳由面面平行，得到线线平行，然后利用平行线分线段成比例性质就可解决问题．跟踪训练2如图，已知在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．题型3平行关系的综合问题例3在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．（1）当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1.（2）当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.方法归纳（1）注意三种平行关系的相互转化．判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．（2）“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间的转化，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．跟踪训练3如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？课堂十分钟1.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线2.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（）A．AB∥CDB．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是（）A．相似但不全等的三角形B．全等三角形C．面积相等的不全等三角形D．以上结论都不对4.如图，已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝Ｗ．5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.第2课时平面与平面平行的性质新知初探·课前预习要点一相交平行α∩γ＝aβ∩γ[基础自测]1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由面面平行的性质定理易得．答案：A3．解析：如图1满足a∥α，α∥β，此时a∥β；如图2满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D.答案：D4．解析：由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．答案：平行四边形题型探究·课堂解透例1证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA'＝∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．跟踪训练1证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.例2解析：设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SCSC+CD＝SASB，即SCSC+34所以SC＝17.跟踪训练2解析：连接A1B，设A1B∩AB1＝O，连接OD由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.所以A1D1D1又因为A1OOB＝1，所以DC例3解析：(1)A1D1D1C1＝1时，BC如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以当A1D1D1C1＝1时，BC(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形．所以AD1∥DC1.又因为DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以DC1∥平面AB1D1.又因为BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，DC1∩BC1＝C所以平面BC1D∥平面AB1D1.跟踪训练3解析：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.[课堂十分钟]1．解析：由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．答案：D2．解析：充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．答案：D3．解析：由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.答案：B4．解析：由面面