2023-2024学年湘教版必修第二册 6-2数学建模案例一烧开水问题 课件（11张）VIP

6.2数学建模案例(一)：烧开水问题发现问题节约用气是非常现实的问题，也是降低生活能耗的重要途径．提出问题节约燃气有很多途径，现给定以下任务：取定一壶水，希望在不更换水壶，且不能对壶中的水进行其他处理的情况下，只通过控制燃气阀门改变气流量，使烧开这壶水所使用燃气量最少．分析问题为使问题的研究方便，这里只考虑一次性烧开一壶水，且烧开一壶水期间不改变燃气阀门大小的情况，进行以下实验，实验方案如下：1．给定燃气灶和一只水壶，选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选一些更好，这里由于是粗略地寻找一个最佳位置，故只选择五个位置，在要求精度较高的情况下，可以探究更多的位置)．因为关闭时，燃气旋钮的位置为竖直方向，我们把这个位置定为0°，燃气开到最大时，旋钮转了90°.为了方便计算，将0°～90°五等分，如图，分别以18°，36°，54°，72°，90°来确定五个位置(其他位置选取方法，同学们可以自己进行尝试)．2．在选好的五个位置上，分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量，得到了几组实验数据，如下表：位置项目开始时燃气读表数/m3水开时燃气读表数/m3所需燃气量/m318°9.0809.2100.13036°8.9589.0800.12254°8.8198.9580.13972°8.6708.8190.14990°8.4988.6700.172解决问题1．作散点图．以旋钮角度为横坐标(x)，燃气用量为纵坐标(y)，将以上数据描在坐标纸上，如图．

检验与改进1．取旋钮39°的位置，烧一壶开水，记录所得实际用气量是不是0.1218m3.如果基本吻合，就可以依此作结论了．如果相差太大，特别是当用气量大于0.1218m3时，最小值点就肯定不是39°，说明上述三组数据取得不好，可以换另外的点重新计算，然后再检验，直到结果与实际比较接近就可以了．实际上，如果我们取(18，0.130)，(36，0.122)，(54，0.139)，求出的函数最小值点就会小于39°.2．当旋钮旋转的角度很小，即有一点点火时，其火力是不能够将水烧开的，长时间燃烧，燃气量可以是非常大的，也就是说，散点图中贴近纵轴的点的位置会非常高，那么这个图象就不是一元二次函数的图象了，因此，前面说“用一元二次函数近似地表示这种变化”是有局限性的，也只能说18°～90°这个局部比较适用，而燃气最少用量恰在这个局部取得，于是选用一元二次函数模型是可行的．3．在做实验时，每次烧水时的水壶温度并不是真的完全一样，并且由于烧水的过程中有热量散失，这都会影响实验结果．另外每次的读数也可能会不够准确，我们在建立函数模型之前做了这样的假设：实验足够精确的，所得实验数据是准确的．4.尽管假设每次实验是准确的，但是实验都受客观环境的影响，不能保证环境是稳定的．仅根据一组实验数据就建立数学模型可能与实际有较大的差距，可以重复多做几次实验，取几次实验数据的平均值，就可以减少误差．评价与推广该模型建立过程中的假设条件太强．该模型只考虑通过改变阀门位置来达到节约燃气用量的目的，有一定的局限性，实际过程中也可以考虑通过控制