人教版七年级数学下册第五章《平行线与相交线》培优单元测试卷三（解析）

人教版七年级数学下册第五章《平行线与相交线》培优单元测试

卷三（后详解）

答案与试题解析

选择题（共10小题）

【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案.

解：由题意得

P到MN的距离是尸。垂线段的长度，

故选：A.

【点评】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键.

2.如图所示，4,三角板ABC如图放置，其中NB=9O。，若N1=4O。，则N2的度数是

C.60°D.30°

【分析】作根据平行线的性质得Nl=N/U3Q=40。，ZCBD=Z2,利用角的和差

即可求解.

解：作80/4,如图所示:

,:BD//1、,Zl=40°,

/.Zl=ZABD=40o,

又・1/〃2,

/.BD//l2f

NC8£>=N2,

又・・•NCBA=NCBD+ZABD=90。,

.*.ZCBD=50°,

/.Z2=50°.

故选：B.

【点评】本题考查平行线的性质，角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是作

辅线构建平行线.

3.如图，已知AE交CD于点O,AB//CD,乙4=50。，4=15。，则NC的度数为（

）

A.50°B.65°C.35°D.15°

【分析】由平行线的性质可得N。。七的度数，利用三角形外角的性质可得结果.

解：・.・AB//CO,ZA=50°,

:.ZDOE=ZA=50°,

vZE=15°,

NC=ZDOE—ZE=50°—15。=35。，

故选：C.

，B

'D

【点评】本题主要考查了平行线的性质和外角的性质，综合运用性质定理是解答此题的关键.

4.下列四个①5是25的算术平方根；②(-4)2的平方根是-4；②经过直线外一点，有且只

有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补.其中真命题的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据算术平方根的概念、平方根的概念、平行公理、平行线的性质判断即可.

解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；

②•••(-4)2的平方根是±4,

•••本小题说法是假命题；

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；

④・••两直线平行，同旁内角互补，

.••本小题说法是假命题；

故选：C.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

5.如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若Nl=32。，则N2的度数为()

A.68°B.58°C.48°D.32°

【分析】因直尺和三角板得AD//FE,44C=90。；再由AQ//FE得N2=Z3；平角构建

Nl+Zfi4C+Z3=180。得Nl+N3=90°,已知N1=32。可求出N3=58。，即N2=58°.

解：如图所示：

B

,;ADI/FE,

/.Z2=Z3,

又・.・N1+ZBAC+N3=18O。，ZBAC=90°,

.•.Zl+Z3=90°,

又・・・N1=32。，

/.Z3=58°,

/.Z2=58°,

故选：B.

【点评】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平

行线的性质.

6.如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若4=55。，则N2的度数为（

）

C.55°D.25°

【分析】利用平行线的性质可得N3的度数，再利用平角定义可得答案.

・AB//CD,

.-.Z1=Z3=55°,

/.Z2=180°-90°-55°=35°,

故选：A.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等.

7.如图，点£在射线上，要只需（）

D

BE

A.ZA=NCBEB.ZA=ZCC.ZC=ZCBED.ZA+ZD=180°

【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论.

解：要ADUBC,只需NA=NCSE,

故选：A.

【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

8.如图，N1和N2属于同位角的有（）

【分析】根据同位角定义进行解答即可.

解：①、N1和N2是同位角，故此选项符合题意;

②、/I和N2是同位角，故此选项符合题意；

③、N1和N2不是同位角，故此选项不合题意；

④、N1和N2不是同位角，故此选项不合题意；

⑤、N1和N2是同位角，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角定义.

9.如图，将含30。角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知Nl=35。，则N2的

度数是（）

A.55°B.45°C.35°D.65°

【分析】根据直角可得出NC钻的度数，再依据平行线的性质，即可得到N2的度数.

解：如图，•.•NC4E=90。，Zl=35°,

1

B

CVD

Zfi4C=90o-35°=55°,

・・・AB//CD,

:.Z2=ZBAC=55°,

故选：A.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，角的和差，解题关键是求得々AC.

10.将一个正五边形按如图方式放置.若直线机//%则下列结论中一定成立的是()

A.Z1=2Z2B.Zl+Z2=180°C.Zl-Z2=36°D.2Z1-Z2=1O8°

【分析】根据正五边形的性质和多边形的外角性质可求N3与N1的关系，过A点作他//%

根据平行线的性质可求N4与N3的关系，根据角的和差关系可求N5与N4的关系，再根据

平行线的性质可求N2与N5的关系，从而求解.

解：(5-2)x180°4-5=108°,

180°-108°=72°,

则Z3=360°-72°x2-(l80°-Z1)=36°+Z1,

过A点作A8//九，

,/mlIn,

：.ml!ABIIn,

/.Z4=180°-Z3,Z2=Z5,

VZ5=1O8°-Z4,

/.Zl-Z2=36°.

故选：C.

【点评】考查了平行线的性质，正五边形的性质和多边形的外角性质，平行线的性质：两直

线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

二.填空题（共7小题）

11.一个两位数的数字和为14,若调换个位数字与十位数字，新数比原数小36,则这个两

位数是95.

【分析】设原来十位上数字为x,个位上的数字为y,分别表示出调换前后的两位数，根据

题意列方程组求解.

解：设原来十位上数字为x,个位上的数字为九

fx+y=14

由题意得，'....,

[10x+y-（lOy+幻=36

(x=9

解得：［v=5

故这个两位数为95.

故95.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找

出合适的等量关系，列方程组求解.

12.如图“，已知长方形纸带将纸带沿EF折叠后，点C、。分别落在H、G的

【分析】先根据"EF=72。求出NEFC的度数，进可得出NEF5和的度数，根据

N"=90。和三角形的内角和可得ZHMF的度数，再由折叠的性质可得/GMN.

解：-.-AD//CB,

ZEFC+ZDEF=180°,ZEFB=ZDEF,

即ZEFC=180°-72°=108°,ZEFB=72°,

ZBFH=108°-72°=36°.

•.•ZH=ZZ)=90°,

ZHMF=180°-90°-36°=54°.

由折叠可得：ZNMF=ZHMF=54°,

.-.ZGA^V=72°.

故72.

【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键.

13.如图，将长方形ABCD沿防折叠，点。落在边上的〃点处，点C落在点G处,

若ZAEH=30°,则NEFC等于105°.

【分析】根据折叠得出=求出"EF的度数，根据平行线的性质得出

ZDEF+ZEFC=\S00,代入求出即可.

解：,•,将长方形438沿所折叠，点。落在A3边上的H点处，点C落在点G处，

:.ZDEF=ZHEF,

■.■ZAEH=30°,

ZDEF=ZHEF=-(1800-ZAEH)=75°,

2

••,四边形A8C。是长方形，

:.AD//BC,

.-.ZDEF+ZEFC=l80°,

NEFC=180°-75°=105°,

故105.

【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质等知识点，能求出

ZDEF=ZHEF和ZDEF+ZEFC=180。是解此题的关键.

14.如图，NB的内错角是

大

BC

【分析】根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，

并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，从而得出答案.

解：的内错角是NW。；

故440.

【点评】此题主要考查了内错角、同位角和同旁内角的定义，解答此类题确定三线八角是关

键，可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到

对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.

15.如图，把一个长方形纸条"8沿A尸折叠，点5落在点E处.已知ZM）5=24。，

AE//%>,则N4FE的度数是_33。

【分析】由折叠得：ZBFA=ZAFE,ZABC=ZE=90°,由平行线的性质，得出

ZEAM=ZADB=24^,进而求出N£M4=66。，再根据三角形的外角的性质，得出

AAFE=-AEMA,求出答案.

2

解：由折叠得：ZBFA=ZAFE,ZABC=ZE=90°,

•••长方形

.-.AD//BC,

.-.ZBFA^ZMAF,

:.ZAFE=ZMAF,

-,-AE//BD,

.-.ZEAM=ZADB=24°,

.•.Z£M4=90o-Z£AM=90°-24o=66°,

ZAFE=ZMAF=-ZEMA=-x66°=33°.

22

故33°.

E

【点评】考查折叠轴对称的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，掌握平行线

的性质、三角形内角和定理是解决问题的关键.

16.如图，AD//BC,ZA£>C=120°,ZBAD=3ZCAD,E为AC上一点，且ZA8E=2NC8E,

在直线AC上取一点尸，使NABP=N£)C4,则NCBP:ZABP的值为2或4.

【分析】分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性

质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系.

解：如图，①当=时，即N1=N2,

VZD=120°,

.•.Zl+Z3=180°-120o=60°,

■.■ZBAD=3ZCAD,ZABE=2ZCBE,AD!IBC,

.•.3Z3+3ZEBC=180°,

.•.Z3+ZEBC=60°,

NEBC=Z1=Z2=NRBE,

•••NCm：NABZ］的值为2,

②当ZABR=ZDCA时，NCB£:ZABP2的值为4,

故2或4.

【点评】考查三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相

应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键.

17.图1是一张足够长的纸条，其中PN//QM,点同、3分别在/W、上，记

ZABM=a（O0<a<90°）.如图2,将纸条折叠，使3M与区4重合，得折痕84，如图3,

将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕将纸条展开后继续折叠，使80与

fy

重合，得折痕…依此类推，第"次折叠后，乙钛3=_180-*丁_（用含。和”的

代数式表示）

图1图2图3

【分析】由折叠的性质折叠〃次可得然后根据四边形内角和及补角性质可得答

案.

解：由折叠的性质折叠"次可得阳川=；x；x...x；a=£

ryzy

在四边形内有四边形的内角和为360。知：ZBRnN=360°-90°-90°-—=180°--

ccCLa

ZARN=Z.BRN-NR,内用8=180。--------=180——.

“nn«+l2〃2〃2"Tr

故180-券ct•

【点评】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键.

三.解答题（共6小题）

18.【学科融合】

物理学中把经过入射点。并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫

做入射角，反射光线与法线的夹角「叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律：

在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于

法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律(啖c成山〃助.

【数学推理】如图1,有两块平面镜OM,ON,旦OM上ON,入射光线他经过两次反射，

得到反射光线8.由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的

余角也相等，即：N1=N2,Z3=Z4.在这样的条件下，求证：AB//CD.

【尝试探究】两块平面镜,ON,且=入射光线A8经过两次反射，得到反

射光线CD.

(1)如图2,光线9与8相交于点£,则NBEC=_180。-2a_；

(2)如图3,光线AB与8所在的直线相交于点E,CBED=/3,则々与夕之间满足的等

［分析/数学推理】根据平面镜反射光线的规律得Nl=N2,/3=N4,再利用N2+N3=90。

得出Nl+N2+N3+N4=180。，即可得出NDCE+NABC=180。，即可证得AB//CD；

(1)根据三角形内角和定理求得N2+N3=125。，根据平面镜反射光线的规律得NI=N2,

Z3=Z4,再利用NDG5=18O。—2N3,ZABC=180°-2Z2,得

ZBEC=180°-ZABC-ZBCD；

(2)利用平角的定义得出/4BC=18(T-2N2,ZBCD=180°-2Z3,利用外角的性质

/BED=ZABC-/BCD=(180°-2Z2)-(180°-2Z3)=2(/3-N2)=£,而

ZBOC=Z3-Z2=a,即可证得夕=2a.

解：如图1,•.•OM_LON,

/.NCON=90°,

.•.Z2+Z3=90°,

・.・N1=N2,Z3=Z4,

.-.Zl+Z2+Z34-Z4=180°,

ZDCB+ZABC=\SO0,

AB//CD；

【尝试探究】

(1)如图2,在△03。中，vZCOB=55°,

/.Z2+Z3=125°,

・.・N1=N2,Z3=Z4,

.­.ZDO?=180°-2Z3,ZABC=180°-2Z2,

・•.ZBEC=180°-ZABC-ZBCD

=180°-(l80°-2Z2)-(180°-2Z3)

=2(Z2+Z3)-180°

=2(180°-a)-180°

=180。-2c,

故180。-2a；

(2)如图4,B=2a,

理由如下：・.・N1=N2,Z3=Z4,

/.ZABC=180°-2Z2,

ZBCD=180°-2Z3,

ND=ZABC—/BCD

=(180°-2Z2)-(180°-2/3)

=2(Z3-Z2)=Z/?,

・・・N8OC=Z3-N2=a,

.•.尸=2a.

故尸=2a.

【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三

角形的性质是解题的关键.

19.已知直线4〃4,且4与4，4分别交于A,3两点，乙与4,与4相交于C，。两点，

点P在直线钻上运动.

（1）如图1,当点尸在A,B两点间运动时，试探究/I,Z2,N3之间的关系，并说明;

（2）如图2,A点在3处北偏东32。方向，A点在C处的北偏西56。方向，应用探究（1）

的结论求出44c的度数；

⑶如果点P在A,8两点外侧运动时，画出相应图形并直接写出NACP,ZBDP,Z.CPD

图1图2

【分析】（1）过点P作C2//AC,交CD于点Q,由尸Q///J4结合“两直线平行，内错

角相等”找出“N1=NCP。，N3=NOPQ"，再通过角的计算即可得出结论；

（2）分别在8点和A点处画方位图，结合（1）的结论即可得到结果；

（3）分两种情况进行讨论：①当点P在A点上方时，过点P作PQ//AC,交CD于点Q,

由PQHIJH2结合“两直线平行，内错角相等”找出“NQPC=ZACP,NQPD=NBDP”，

再通过角的计算即可得出结论；②当点尸在8点下方时.，过点尸作PQ//AC,交8于点Q,

利用①的方法可得出结论.

解：（1）当点P在A、8两点间滑动时，N2=N1+N3保持不变.

理由：过点P作尸Q〃AC,交CD于点、Q,如图1所示，

/.Nl=NCPQ,

又•.•PQ//4C,BD//AC,

/.PQ//BD,

N3=NOPQ,

/.Zl+Z3=ZCPQ+ZDPQ,

即N1+Z3=N2.

(2)分别在3点和4点处画方位图，如图2所示,

由(1)知：Z2=Z1+Z3

/.ZBAC=32°4-56°=88°.

(3)ZCPD=tZACP-ZBDP|.

分两种情况：

①当点P在A点上方时，过点尸作PQ//AC,交CD于点Q,如图3所示.

.・./QPC=/ACP.

又・.・PQ//AC,BD//AC,

/.PQ//BD,

：.NQPD=ZBDP.

又•・・NCPD=NQPD-ZQPC,

4CPD=ZBDP-ZACP；

②当点P在8点下方时，过点P作PQ//AC,交CD于点Q,如图4所示.

综上所述：NCPDJZACP-NBDPT.

【点评】本题考查了平行线的性质以及方向角的应用，解题的关键是：（1）根据平行线的

性质找出"N1=NCPQ,N3=NOPQ”；（2）利用（1）中结论进行计算；（3）需要分

情况讨论，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键.

20.如图，点C,8分别在直线MN,P。上，点A在直线M/V,PQ之间,MN//PQ.

（1）如图1,求证：ZA=ZMCA+ZPBA；

（2）如图2,过点C作C0//A5,点E在PQ上,ZECM=ZACD,求证：N4=N£GV；

（3）在（2）的条件下，如图3,过点5作尸。的垂线交CE于点尸，加尸的平分线交AC

于点G,若NDCE=NACE,NCFB=pCGB,求乙4的度数.

【分析】（1）过点A作平行线，证出三条直线互相平行，由平行得出与NACM和/4BP相

等的角即可得出结论；

（2）由CD//AB,可得同旁内角互补，再结合NECM与NECN的邻补角关系，可得结论;

（3）延长C4交P。于点H,先证明NMC4=NACE=NECE>,ZABP=ZNCD,再设

ZMCA=ZACE=NECD=x,由（1）可知NCFB=NFCN+NFBQ,从而NC尸8=270—2x,

列出方程解得x值，则不难求得答案.

解：（1）证明：过点A作AO//MN

MC

图1

•/MN//PQ,AD//MN

:.AD//MN//PQ

ZMCA=Z.DAC,ZPBA=ZDAB

.・.ZCAB=ADAC+Z.DAB=ZMCA+/PBA

即：ZA=ZMG4+ZPBA；

(2)\CD//AB

/.ZA+ZACD=180°

・.・NECM+ZECN=180°

又ZECM=ZACD

:,ZA=ZECN；

(3)如图，延长C4交尸。于点H

图3

•/ZECM=ZACD,ZDCE=ZACE

・•.ZMCA=ZACE=ZECD,

-MN//PQ

:"MCA=ZAHB

ZC4B=180°-ZBAH=ZAHB+ZPBA,且由(2)知NC45=ZECV

:.ZABP=ZNCD

设NMC4=NACE=NECD=x

由(1)可知NCFB=NFCN+NFBQ

,-.ZCFB=210-2x

由(1)可知NCG3=ZMCG+NG3P

ZCGB=135--x

2

31

270-2x=-(135——x)

22

解得：x=54°

:.ZAHB=54°

/.ZAfiP=ZWCD=180°-54°x3=18°

.•.ZC4B=54O+18O=72°.

【点评】本题考查了平行线的性质及一元一次方程在计算问题中的应用，理清题中的数量关

系并正确列式是解题的关键.

21.如图，已知AQL3C,垂足为点£),EFLBC,垂足为点尸，Zl+Z2=180°,请填

写NCG£>=NC4B的理由.解：因为AD_L3C,EF工BC(已知),

所以NADC=90°,ZEFD=90°().

所以NA£>C=NEH>().

所以A£»//EF().

所以N2+N3=180°().

因为/1+/2=180。(),

所以N1=N3().

所以/9G//A8().

所以NCGO=NC4B().

【分析】求出4）//EF,根据平行线的性质得出N2+N3=180。，求出N1=N3,根据平行

线的判定得出DG//AB,根据平行线的性质得出NCGD=ZCAB即可.

解：-.-AD^BC,EFA.BC（已知），

:.ZADC=90°,NEFC=90°（垂直定义），

/.ZADC=NEFD,（等量代换）

:.AD//EF（同位角相等，两直线平行），

.-.Z2+Z3=180°（两直线平行，同旁内角互补），

-.•Zl+Z2=180°（已知），

.-.Z1=Z3（同角的补角相等），

.-.DG//AB（内错角相等，两直线平行），

:.NCGD=NCAB（两直线平行，同位角相等）.

故己知，垂直定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，己知，同角的

补角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进

行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平

行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然.

22.（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直.

已知：如图①，AB//CD,直线MN分别交直线相，CD于点E,F.

求证：.

证明：

①②③

（2）如图②，ABUCD,煎E、F分别在直线AB、CD上,EM//FN,ZAEM与NCFN

的角平分线相交于点O.求证：EOVFO.

（3）如图③，ABUCD,点、E、尸分别在直线4?、C。上，EMHPN,MP//NF,ZAEM

与NCFN的角平分线相交于点O,ZP=102°,求NO的度数.

【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明；

(2)延长EM交CD于点G,过点。作OP//8交ME于点P,结合(1)的方法即可证

明；

(3)延长e0、FN交CD于点。，过点。作OP//CZ)交于点P.结合(1)的方法可

得ZAEM+2CFN=NEQF=102°,再根据角平分线定义即可求出结果.

(1)己知：如图①，AB//CD,直线分别交直线AB,CD于点、E,F

求证：OEA.OF；

证法

/.ZAEF+NCFE=180°,

,:OE、。尸分别平分NA£F、ZCFE,

NOEF+ZOFE=-ZAEF+-NCFE=90°.

22

Z.OEF+Z.OFE+ZEOF=180°,

:.ZEOF=90°.

.-.OE±OF；

证法2：如图，过点O作OP//C£＞交直线MN于点P.

①

•.•ABHCD,

.■.ZAEF+ZCFE=1S00,

•;OE、OF分别平分NA£尸、ZCFE,

ZAEO+4CFO=-ZAEF+-ZCFE=90°.

22

.OP//CD,AB!/CD,

:.OP/!AB.

NEOF=ZEOP+乙POF=ZAEO+Z.CFO=90°.

：.OEVOF

故直线MN分别交直线A3,CD于点、E,F,OE±OF；

(2)证明：如图，延长EM交8于点G,过点O作OP//CD交M石于点P,

②

\AB//CD9

.•.ZA£G+NCGE=180。，

\-EMHFNf

4CGE=4CFN.

・・・OE、O尸分别平分ZAHM、NCFN,

:.ZAEO+ZCFO=-ZAEM+-ZCFN=-ZAEM+-ZCGE=90°

2222f

\-OPHCD,AB//CD,

:.OP//AB.

.・./EOF=ZEOP+ZPOF=ZAEO+ZCFO=90°.

.\OE±OF；

(3)解：如图，延长EM、FN交于点Q,过点O作OG//CD交ME于点G.

③

♦：EMIIPN,FN//MP,

AEQF=NEMP=ZP=102°,

由（1）证法2可知NAEM+NCFN=NEQF=102。,

:OE、。尸分别平分NA£M、NCFN,

ZEOF=ZAEO-^-ZCFO

=-ZA£M+-i-ZCfW=-xlO2°=51°.

222

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线

的判定与性质.

23.己知，AB//CD,CF平分NECD.

(1)如图1,若ZDC