量子力学西南基础8 file

§3.5厄密算符的本征值与本征函数（一）厄密算符的平均值（二）厄密算符的本征方程（三）厄密算符本征函数的正交性（四）实例定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。根据假定在任意态下有：证：取ψ=ψ1+cψ2，其中ψ1

、ψ2

也是任意态的波函数，c是任意常数。（一）厄密算符的平均值因为对任意波函数左式=右式令c=1，得：令c=i，得：二式相加得：二式相减得：所得二式正是厄密算符的定义式，故逆定理成立。实验上的可观测量当然要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄密算符。所以左右两边头两项相等相消，于是有：（1）涨落因为是厄密算符必为实数因而也是厄密算符厄密算符平方的平均值一定大于等于零于是有：证明：（二）厄密算符的本征方程定理II：厄密算符的本征值必为实。当体系处于F的本征态ψn时，则每次测量结果都是Fn。 由本征方程可以看出，在ψn（设已归一）态下证（3）量子力学基本假定III根据定理I(I)量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。

若力学量是量子力学中特有的(如宇称、自旋等），将由量子力学 本身定义给出。

若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应 方式，改造为量子力学中的力学量算符：(II)测量力学量F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符F的本征值Fn即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符F的本征方程给出：（1）正交性定理III：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交证：设取复共轭，并注意到Fm为实。两边右乘φn后积分二式相减得：若m≠Fn，则必有：[证毕]（2）分立谱、连续谱正交归一表示式1.分立谱正交归一条件分别为：2.连续谱正交归一条件表示为：3.正交归一系满足上式的函数系φn或φλ称为正交归一（函数）系。（三）厄密算符的本征函数的正交性（4）简并情况上面证明厄密算符本征函数的正交性时，曾假设这些本征函数属于不同本征值，即非简并情况。如果F的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：φn1,φn2,...,φnf

满足本征方程：一般说来，这些函数并不一定正交。可以证明由这f个函数可以线性组合成f个独立的新函数，它们仍属于本征值Fn且满足正交归一化条件。但是证明由这f个φni线性组合成f个新函数ψnj可以满足正交归一化条件：证明分如下两步进行1.Ψnj是本征值Fn的本征函数。2.满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。1.ψnj是本征值Fn的本征函数。2.满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。方程的归一化条件有f个，正交条件有f(f-1)/2个，所以共有独立方程数为二者之和等于f(f+1)/2。为此只需证明线性叠加系数Aji的个数f2大于或等于正交归一条件方程个数即可。算符F本征值Fn简并的本质是：当Fn

确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F算符与这些算符两两对易，其本征值与Fn一起共同确定状态。既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。因为f2-f(f+1)/2=f(f-1)/2≥0，所以，方程个数少于待定系数Aji的个数，因而，我们有多种可能来确定这f2个系数使上式成立。f个新函数Ψnj的确是算符F对应于本征值Fn的正交归一化的本征函数。（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系（1）动量本征函数组成正交归一系（3）角动量本征函数组成正交归一系1.Lz本征函数2.L2本征函数（4）氢原子波函数组成正交归一系（四）实例

辅导课程八（一）力学量的平均值§3.5算符与力学量的关系（二）例题力学量平均值就是指多次测量的平均结果，如测量长度x，测了10次，其中4次得x1，6次得x2，则10次测量的平均值为：同样，在任一态ψ(x)中测量某力学量F的平均值（在理论上）可写为：这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的此式等价于以前的平均值公式：（一）力学量的平均值如果波函数未归一化则例1：已知空间转子处于如下状态试问：（1）Ψ是否是L2

的本征态？ （2）Ψ是否是Lz

的本征态？ （3）求L2的平均值；（4）在Ψ

态中分别测量L2

和Lz

时得到的可能值及其相应的几率。解：

Ψ

没有确定的L2的本征值，故Ψ

不是L2

的本征态。Ψ是Lz

的本征态，本征值为

。（3）求L2的平均值方法I验证归一化：归一化波函数方法II（4）例2：（《周》）3.6设t=0时，粒子的状态为

(x)=A[sin2kx+(1/2)coskx]，求粒子的平均动量和平均动能。

解：可写成单色平面波的叠加比较二式，因单色平面波动量有确定值：或：从而得：归一化后。|c(pi)|2

表示粒子具有动量为pi

的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。（1）动量平均值（2）动能平均值§3.6共同本征函数（一）两力学量同时有确定值的条件（二）两算符对易的物理含义（三）力学量完全集合（一）两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态

（x）时，力学量F一般没有确定值。如果力学量F有确定值，

（x）必为F的本征态，即如果有另一个力学量G在

态中也有确定值，则

必也是G的一个本征态，即结论：当在

态中测量力学量F和G时，如果同时具有确定值，那么

必是二力学量共同本征函数。（二）两算符对易的物理含义是特定函数，非任意函数也！例如：

=0的态，Y

m=Y00LxLz

同时有确定值。但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。考察前面二式：定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。证：由于

n

组成完备系，所以任意态函数

(x)可以按其展开：则因为

(x)是任意函数逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符 有组成完备系的共同的本征函数。证：考察：

n也是G的本征函数，同理F的所有本征函数

n

（n=1，2，…)也都是G的本征函数,因此二算符具有共同完备的本征函数系.仅考虑非简并情况即：与

n

只差一常数Gn定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。例1：例2：例3：例4：（三）力学量完全集合（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例2：氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：例3：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。§3.7测不准关系（一）测不准关系的严格推导（二）坐标和动量的测不准关系（三）角动量的测不准关系（一）测不准关系的严格推导（1）引由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值Fn

与平均值<F>的偏差的大小。（1）测不准关系的严格推导证：II测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：是算符或普通数最后有：对任意实数

均成立由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：两个不对易算符均方偏差关系式测不准关系均方偏差其中：（二）坐标和动量的测不准关系表明：坐标与动量的均方偏差不能同时为零，其一越小， 另一就越大。（1）测不准关系（2）线性谐振子的零点能振子能量被积函数是x的奇函数

n

为实

处

n=0于是：二均方偏差不能同时为零，故E最小值也不能是零。为求E的最小值，取式中等号。则：求极值：解得：因均方偏差不能小于零，故取正零点能就是测不准关系所要求的最小能量例1：利用测不准关系证明，在Lz本征态Ylm下， 〈Lx〉=〈Ly〉=0证：由于在Lz