概率论与数理统计(浙江大学-第四版-盛骤)-概率论部分

概率论与数理统计(浙江大学_第四版--盛骤)——概率论部分汇报人：AA2024-01-20目录CONTENTS概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计基本概念与抽样分布01概率论基本概念基本事件0102030405所有可能结果的集合，一般用大写字母S表示。样本空间的子集，即某些可能结果的组合。包含样本空间中所有样本点的事件。只包含一个样本点的事件。不包含任何样本点的事件。样本空间与事件事件样本空间不可能事件必然事件表示事件发生的可能性大小的数值，一般用P(A)表示事件A发生的概率。概率定义概率性质等可能概型几何概型非负性、规范性、可加性。每个基本事件发生的可能性相同。根据几何图形的度量（长度、面积、体积等）来计算概率。概率定义及性质乘法公式P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)。事件的独立性如果两个事件A和B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。条件概率在已知某个事件B发生的条件下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B)。条件概率与独立性全概率公式与贝叶斯公式全概率公式如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意一个事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。贝叶斯公式在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=P(ABi)/P(A)=P(Bi)P(A|Bi)/∑P(Bj)P(A|Bj)。02随机变量及其分布定义设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。分类随机变量主要分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。随机变量定义及分类VS全部可能取到的值是有限个或可列无限多个的随机变量称为离散型随机变量。分布律离散型随机变量的概率分布通常用一个概率分布列来表示，即列出随机变量X取各个可能值的概率。定义离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其分布函数连续型随机变量的取值是连续不断的，不能一一列出。其概率分布通常用概率密度函数来描述。定义连续型随机变量的分布函数是一个连续函数，表示随机变量X落在某一区间内的概率。分布函数设X是一个随机变量，g(X)是X的函数，那么g(X)也是一个随机变量，其分布称为随机变量函数的分布。定义求随机变量函数的分布通常有两种方法，一种是直接法，即先求出g(X)的分布函数，再求导得到概率密度函数；另一种是公式法，即利用已知的随机变量分布和公式，通过变换得到g(X)的分布。求法随机变量函数的分布03多维随机变量及其分布二维随机变量的定义设$X$和$Y$是两个随机变量，则称$(X,Y)$为二维随机变量。联合分布函数对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。联合概率密度函数如果存在非负可积函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。二维随机变量及其联合分布边缘分布函数边缘概率密度函数条件分布函数条件概率密度函数边缘分布与条件分布如果$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则$X$的边缘概率密度函数为$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的边缘概率密度函数为$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。二维随机变量$(X,Y)$关于$X$的边缘分布函数定义为$F_X(x)=P{Xleqx}$，关于$Y$的边缘分布函数定义为$F_Y(y)=P{Yleqy}$。在给定$X=x$的条件下，$Y$的条件概率密度函数定义为$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$。在给定$X=x$的条件下，$Y$的条件分布函数定义为$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$。如果对于任意实数$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称二维随机变量$(X,Y)$是相互独立的。二维随机变量$(X,Y)$是相互独立的充要条件是它们的联合概率密度函数可以表示为两个边缘概率密度函数的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。相互独立的定义相互独立的充要条件相互独立随机变量多维随机变量函数的定义多维随机变量函数的分布求法多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布可以通过求解其分布函数或概率密度函数得到。具体方法包括直接法、变换法和卷积法等。其中，卷积法适用于求解两个相互独立随机变量之和的分布。设$(X_1,X_2,ldots,X_n)$是$n$维随机变量，如果存在一个实值函数$Z=g(X_1,X_2,ldots,X_n)$，则称$Z$为多维随机变量的函数。04随机变量的数字特征数学期望的定义和性质数学期望是随机变量取值的平均值，具有线性性质、常数性质、独立性等。方差的定义和性质方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，表示随机变量取值的离散程度。常见分布的数学期望和方差如二项分布、泊松分布、正态分布等。数学期望与方差030201相关系数的定义和性质相关系数是协方差与两随机变量标准差乘积的比值，消除了量纲的影响，更加客观地反映两随机变量之间的线性相关程度。相关系数的计算和检验可以通过样本数据计算相关系数，并进行假设检验判断其显著性。协方差的定义和性质协方差表示两个随机变量变化趋势的相似程度，正值表示同向变化，负值表示反向变化。协方差与相关系数矩、协方差矩阵和特征函数矩是描述随机变量分布形态的重要数字特征，包括原点矩和中心矩。协方差矩阵的定义和性质对于多维随机变量，协方差矩阵表示各分量之间的线性相关程度，是一个对称矩阵。特征函数的定义和性质特征函数是描述随机变量分布特性的另一种方式，包括特征函数和逆特征函数。对于某些难以用分布函数或密度函数描述的随机变量，特征函数可能更加有效。矩的定义和性质05大数定律与中心极限定理弱大数定律（辛钦大数定律）揭示了大量随机变量之和近似服从正态分布的规律，是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律之一。强大数定律是一种比弱大数定律更精细的收敛性质，它要求随机变量序列的算术平均值不仅依概率收敛到某个常数，而且几乎必然地收敛到这个常数。伯努利大数定律是概率论中的一个重要定律，指出在n重伯努利试验中，事件A发生的频率依概率收敛于事件A发生的概率。010203大数定律中心极限定理给出了判断独立随机变量序列之和的分布函数是否收敛到正态分布的充分条件，这些条件比林德伯格条件更易于验证。李雅普诺夫中心极限定理表明当独立随机变量的数量足够大时，它们的标准化和的分布近似于标准正态分布，无论这些随机变量本身服从什么分布。独立同分布的中心极限定理（林德伯格-列维定理）是二项分布以正态分布为极限分布的一种特殊情形德莫佛-拉普拉斯定理06数理统计基本概念与抽样分布总体与个体在数理统计中，研究对象的全体称为总体，而组成总体的每个基本单元称为个体。