四川省成都市2023届高三第一次诊断性检测数学（理科）试题（解析版）

成都市2020级高中毕业班第一次诊断性检测

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，

共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名.考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合"={"一1<*"2}产={小--4%+340},则（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<l}

C.D.1X|1<X<31

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式，得到8={x|l〈x<3},进而求出交集.

【详解】B={X|X2-4X+3<0}={X|1<X<3},

故Ac8={x|l〈x<2}.

故选：C

2.满足（l+i）z=3+i（i为虚数单位）的复数z=（）

A.2-iB.2+i

C.l+2iD.l-2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法化简可得复数Z.

3+i(3+i)(l-i)4-2i

【详解】由复数的除法可得==2—i.

l+i(l+i)(l-i)2

故选：A.

3.抛物线x2=2y的焦点坐标为()

A(MB.(o,£|C(别D.\,0,

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线V=2px的焦点为(0,5)求解.

【详解】因为抛物线V=2y,

所以〃=1,所以焦点坐标为(o,S=(0,；)

故选：B

4.下图为2012年一2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列

结论正确的是()

A.2012年—2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增

B.2012年一2021年工业企业利润总额逐年递增

C.2012年—2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润

总额增速

D.2012年—2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值

【答案】C

【解析】

【分析】根据折线图给出的数据进行计算可判断出答案.

【详解】对于A,2018年电子信息制造业企业利润总额增速为负数，从2017到2018利润总额下降，故A

不正确；

对于B,2015年工业企业利润总额增速为负数，从2014到2015利润总额下降，2019年工业企业利润总额

增速为负数，从2018到2019利润总额下降，故B不正确；

对于C,2012年—2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，所以利润总额均较上一年实现增长，

且其增速均大于当年工业企业利润总额增速，故C正确；

对于D,2012年一2021年工业企业利润总额增速的均值为

5.3+12.2+3.3—2.3+8.5+21+10.3-3.3+4.1+34.3

=9.34，2012年—2021年电子信息制造业企业利

10

7.9+19.7+17.1+5.9+12.8+22.9-3.1+3.1+17.2+38.9

润总额增速的均值为=14.24,9.34<14.24,

10

故D不正确.

故选：C

x+y-4<0,

5.若实数满足约束条件<y>0,则z=x+2y的最大值是（）

x-y>0.

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的最优解.

x+y-4<0,

【详解】画出约束条件<>20,所表示的平面区域，如图所示，

x-y>0.

1z

目标函数z=x+2y,可化为直线y=--x+-,

22

当直线y=-l犬+三过点A时在卜上的截距最大，此时目标函数取得最大值,

22

x+y-4=0

又由《解得A(2,2),

x-y=0

所以目标函数Z=X+2y的最大值为Zmax=2+2x2=6.

故选：c.

6.下列命题中错误的是()

A.在回归分析中，相关系数，•的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强

B.对分类变量x与丫，它们的随机变量K?的观测值上越小，说明“x与y有关系”的把握越大

c.线性回归直线$=标+&恒过样本中心(元歹)

D.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好

【答案】B

【解析】

【分析】相关系数，.来说，”越接近1，相关程度越大，说明拟合效果更好可判断A；由随机变量K2的观

测值Z可判断B；由线性回归直线一定恒过样本中心可判断C；由残差平方和越小，模型的拟合效果越好,

可判断D.

【详解】对于A,回归分析中，对于相关系数「，

卜|越接近1，相关程度越大，说明拟合效果更好，A对；

对于B,对分类变量X与F，它们的随机变量K?的

观测值上越小，说明“X与y有关系”的可能性越小，B错；

对于C,由线性回归直线$=+&,其中&=歹一后\

所以一定恒过样本中心伉了)，所以C正确；

对于D,在回归分析中，残差平方和越小，模型的

拟合效果越好，D正确.

故选：B

7.若函数/(x)=x(x+a)2在x=l处有极大值，则实数。的值为()

A.1B.-1或一3C.-1D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的导数可得/'(1)=0,解出。的值之后验证函数在x=l处取得极大值.

【详解】函数4x)=x(x+a)2,/"(x)=(x+a)2+2x(x+a)=(x+a)(3x+a),

函数/(x)=x(x+a)2在x=l处有极大值，可得/"⑴=(l+a)(3+a)=0,解得a=-l或a=-3,

当a=T时，/，(x)=(x-l)(3x-l),时r(x)<0,xe(l,+oo)时>0,

〃x)在(；』］上单调递减，在(1,+8)上单调递增，在％=1处有极小值，不合题意.

当°=一3时，/"(x)=(x-3)(3x-3),xe(-8,1)时,/x)>0,%«1,3)时/'(句<0,

“X)在(一8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，/(x)在x=l处有极大值，符合题意.

综上可得，a=—3.

故选：D

8.已知直线/,〃?和平面%尸.若aJ_£,/d_a,则“/，加”是"加，尸”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系即可判断.

【详解】因为

若加_L£,则可得/_L〃z,必要性成立；

若/_Lm,则加//a或机ua都有可能，但是加，万不一定成立，充分性不成立.

所以“/，加”是“加，，”的必要不充分条件.

故选:B.

9.已知数列｛为｝的前〃项和为S“.若q=2,a,m=S“，则Sg=()

A.512B.510C.256D.254

【答案】C

【解析】

【分析】根据s”与。“的关系，结合等比数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】由4+i=S,,=>S”+]-S”=Sn=>Sn+l-2Sn,

所以数列｛S“｝是以2为首项，2为公式的等比数列，于是§8=2,27=256,

故选：C

10.日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择

性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用/°=/,科~"’表示其总衰减规律，其中

K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，〃（单位：坎德拉）和/。（单位：坎

德拉）分别表示在深度。处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%,则该海区消光

系数K的值约为（）（参考数据：ln2«0.7,In3»l.l,ln5«1.6）

A.0.12B.0.11C.0.07D.0.01

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，列出方程，得到30%=eT°K,两边取对数后，求出K的值.

OK

【详解】由题意得：3O%Zo=/oe-',即30%=eT°K，

两边取对数得：-10K=ln3—lnl0=ln3-ln2—ln5,

In2+In5—In30.7+1.6—1.1

故K=-------------h------------=0.12.

1010

故选：A

11.已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为36万，则该正四棱锥的体积

为（）

168及832

A.—B.C.-D.一

3333

【答案】D

【解析】

【分析】作图，分外接球的球心在锥内和锥外2种情况，运用勾股定理分别计算.

【详解】设四棱锥为P—ABCD,底面ABCD的中心为O,

设外接球的半径为R,底面正方形的边长为2a,四棱锥的高为PO=h,则4兀W=36肛R=3,B0=伍，

当外接球的球心在锥内时为0,在Rt_PBO中，BO2+PO2=PB2，

即2a?+/「=%…①，在Rt80。中，00；+80?=30：,即（"一3）?+2〃=3?…②，

联立①②，解得a=2,k=2<R（舍）；

当外接球的球心在锥外时为。2，在RtPBO中，BO2+PO2=PB2，

即2a2+/=12…③，在Rt-BOO2中，B02+00i=80；,BP2«2+（3-/i）2=32

i932

联立③④解得a=2,h=2,四棱锥的体积VP_ABCD=-x（2x2）-x2=y；

故选：D.

12.已知平面向量0、b、c满足a$=0，,卜忖=1，（。一4（。"）=；，则/一《的最大值为（）

53

A.0B.1+-C.-D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】在平面内一点。，作04=。，OB=b，OC=c>取A3的中点E，计算出,目、因的值,

利用向量三角不等式可求得卜-4的最大值.

【详解】在平面内一点。，作°4=a，OB=b，OC=c，则a2=0408=0，则OA_LOB,

因为W=W=i,则囱=囱=1,故MOB为等腰直角三角形，则网=加,

取AB的中点E，则OE=OA+AE=OA+^AB=0A+g(0B—QA)=g(QA+08)=+b

/\2.2.2

所以，(a+〃)=a+Z?+2a・Z?=2,所以,

2

因为卜_。).卜_〃)=。2_(>(〃+Z?)=g,

所以‘新_">+6)+(.；"=c~^~=(OC-OE^=EC=\^贝|“石4=1,

所以,|c-a|=|0C-0/l|=|AC|=|AE+EC|'|<|AE|+|EC|=^+I.

当且仅当AE、EC同向时，等号成立，故卜一@的最大值为等+1.

故选：B.

第II卷（非选择题，共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.在公差为d的等差数列｛凡｝中，已知4+4+%=3,%+4=4,贝44=

【答案】《

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式，将已知等式化简，两式相减即可求得答案.

【详解】由题意公差为d的等差数列｛4｝中，q+/+%=3，%+4=4,

则3q+3d=3,2〃|+8d=4,即6+d=I,4+4d=2,

故3d=1,.二d二L

3

故答案为：-

3

14.1x-展开式中常数项为

【答案】240

【解析】

【分析】先求出二项式（x-5］的展开式的通项公式,

令x的指数等于0,求出厂的值,即可求得展开式

中的常数项.

【详解】展开式的通项公式刀+1=C/6f=C：x(—2)'xx2,

3

令6—〃=3=＞厂=4,所以的展开式的常数项为C：x2’=24(),故答案为240.

2

【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热

点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公

式（+i=C/"-’少；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数

和；（3）二项展开式定理的应用.

22

15.已知双曲线J—白=1（。>0/>0）与圆f+,2=2c2（C为双曲线的半焦距）的四个交点恰为一个

正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为.

【答案】正立！

2

【解析】

【分析】将双曲线方程和圆的方程联立可求得>2,由曲线对称性和正方形特征知/=y2,由此构造齐

次方程求得离心率.

"22

土一二二1〃2扇2人2

【详解】由b2得：必=2/+丝,丁=2/_竺_,

2,2o2C"C

x=2c

两曲线交点恰为一个正方形四个顶点，，x2=>2,即2a2+咚=2/一咚，

整理可得:c4—3a2c2+a4=0»e4—3e2+1=0,

23土岳p.23+旧6+26(有+1)y/5+1

解得：e=------，又e>l,..e=-------=--------=------,贝iJe=-----•

22412J2

故答案为：县1.

2

16.已知函数/(x)=sin2x-sinx+Z,XG[O,TI].有下列结论:

①若函数/(%)有零点，则上的范围是卜应；；

②函数“X)的零点个数可能为0,2,3,4；

③若函数/(x)有四个零点玉,々，工3，*4，则且％+工2+七+%4=2兀；

④若函数/(X)有四个零点%,,々,毛,工4(石<%<毛<七)，且%,%2，%％4成等差数列，则超为定值，且

其中所有正确结论的编号为.

【答案】②③④

【解析】

【分析】令sinx=/,因x«0,可，则，w[0,l].

对于①，f(x)=sm2x-sinx+k=0=>k=t-r,则函数/(x)有零点相当于函数

g(f)=r-产"e[0,1]的图像与直线y=女有交点，做出相关图像可得答案；

对于②，由图可得答案；

对于③，由图可得％时，g(。=t-t?,tw[0,1]的图像与直线y=A:有2个点，即产一/+左=0

有两个根4，t2,得sin尤=乙，sinx=/2.方程sinx=4,sinx=与在[0,可上均有两个根，设为

石，x4,x2,w•即可得答案；

11

对于④，由③可知，sin芭+sin4=1，无2+尤3=，设数列公差为d,则d=口-2x2,

sm-Ji)+sinx=1,说明方程sin(3%一口)+sin%=1在而J上有唯一解即可.

【详解】令sinx=t,因尤e[0,可，贝心目0』.

对于①，f(x)=sin2x-sinx+k=O=^k=t-r,

则函数〃x)有零点相当于函数g(f)=/—*"€[0,1]图像与直线y=&有交点，

做出g(t)=t-t2,te[0,1]的图像，

由图可得若函数/(x)有零点，则上的范围是0,1,故①错误；

对于②，由图，当ZG(-8,0)U；,+。，时，g(。=f一e[o,i]的图像与宜线丁=女无交点，

得/(x)有0个零点；

当k=0,Z=t—厂nf=()或r=l，得sinx=O或sinx=l,解得xe0,-,nk

.2

即此时/(x)有3个零点；

当女由图可得，此时g(f)=f-e[0,1]的图像与直线y=々有2个交点，

即方程女=/-*有2个解，设为。t2,

又方程sinx=%,sinx=与各有两个解，即此时/(%)有4个零点；

当k=L,k=t-r=>Z=—,得sinx=—=>%=上或x=型，

42266

即此时/(X)有2个零点.综上函数/(x)的零点个数可能为0,2,3,4,故②正确.

对于③，当由图可得，此时g(。=/一/"[0,1]的图像与直线y=女有2个交点，即方

程％="“有2个解，设为。t2,

又方程sinx=jsinx=与各有两个解，即此时/(%)有4个零点.设方程sinx=。两根为％,x4,方

程sinx=f2两根为冗2，，

因sin%=sinx4=sinx2=sinx3=t2,

则占+4=兀，%JI=>Xj+x2+x3+x4=2n,故③正确;

对于④，由③分析知％=/-，有2个解，设为G，2,则由韦达定理有4+L=L

n，冗2+巧=R，X<X<X<X

又尤1+%4]234f

则0v%<x2<^<x3<x4〈”.

又sin%,=sinx4=t]9sinx2=sinx3=t2,贝！Jsinx,+sinx2=1.

设数列公差为d,则W—%2=%2一%=d，又不2+忍=兀，

nJI

可得d=JI-2X,%=3X-兀,因％则天G

22HZ

代入sinx,+sinx2=1,得sin(3%一町+sinx2=1,

JIJI

令h(x)=sin(3x—冗)+sinx-I,xe

J,2

(马

则"(x)=3cos(3x一")+cosx,因3x—ne0,-,贝iJ”(x)>0,

I2J

上单调递增，又

71.冗7nJi

h=sin0+sin---1<0,h7叫=sin一4-sin----1>2sin----1=().

J36186

兀7兀

则存在唯一实数尤2G，使得)=0.得巧为常数，为方程sin(3%-力+sin%=1在

兀7兀、

—上的唯一解.故④正确.

31O

故答案为：②③④.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用图像和导数研究函数的零点，难度较大.

判断①②③时，利用图像可较为简介地解决问题；对于④，常规思路为求出演的值，但因难以求出，故建

立与4有关的方程，说明其解的唯一性并确定范围.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小吐

2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，

共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.己知

某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分(单位：

分)分成6组：[40,50),[50,60),,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(2)从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X,求随

机变量X的分布列和期望.

【答案】(1)加=0.012

3

(2)分布列见解析，E(X)=-

【解析】

【分析】(1)利用直方图中各矩形面积和为1列方程求解即可.

(2)先求出评分不低于80分的队伍数，以及评分不低于90分的队伍数，确定随机变量X的取值，求出概

率，写出分布列，求得期望.

【小问1详解】

由(0.004x2+0.022+0.030+0.028+m)x10=1,

解得根=0.012.

【小问2详解】

由题意知不低于80分的队伍有50x(0.12+0.04)=8支，

不低于90分的队伍有50x0.(M=2支.

随机变量X的可能取值为0,1,2.

P（x=o）42

/P（X=1）_—C26c-l2_H，P（X=2）jc'Jc3

33

〜c8Zoc28

3

4

18.记的内角A8,C所对边分别为a,6,c.已知2=sinC+cosC.

a

（1）求A的大小；

（2）若2缶inB=3sinC，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求.一ABC的面积.

条件①：asinC=2；条件②：ac-2>/10.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）A=：；

4

（2）3.

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求A；

（2）若选①，由正弦定理求。，由条件求b,结合三角形面积公式求面积，

若选②，由条件可设c=2e〃z/=3加（机>0）,利用余弦定理求切，结合三角形面积公式求面积.

【小问1详解】

b

sinC+cosC,

,r\

由正弦定理知任一=sinC+cosC

即sinB=siMsinC+sinAcosC.

sinA

在中，由JB=7T—（A+C）,

sird?=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC+sinAcosC.

/.cosAsinC=sinAsinC.Ce(0,71),sinCw0.

sinA=cosA.

【小问2详解】

若选择条件①，由正弦定理三=，二,得asinC=csiM=《Zc=2.

sinAsinC2

c—2•

又2&sinB=3sinC，即2任=35

:、b=3.

SARr=—bcsinA=—x3x2\/2sin—=3.

ABC224

若选择条件②，由2扬inB=3sinC，即2任=30.

设c=lyflm,b=3m(m>0).

则〃=/+。2-2hccosA=5m2./.a=#mi・

由QC=2JIU，得加=1.

/.a—V5,Z?=3,c=25/2.

/.SABC二;bcsinA=；x3x2V^sin：=3.

19.如图①，在等腰宜角三角形ABC中，/A=90,A5=3,。,石分别是AC,5C上的点，且满足

QE//AB.将.COE沿。£折起，得到如图②所示的四棱锥P—ABEZ).

（1）设平面ABPc平面。石P=/,证明：平面AOP；

（2）若PA=EDE=2,求直线PO与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）B

3

【解析】

【分析】（1）由。E//AB得到线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，得到/证

明出线面垂直，

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.

【小问1详解】

〃AB,2平面PAB,45u平面Q4J5,

.•.OE//平面八48.

DEu平面PDE，平面POE平面P43=/,

：.DEHl.

由图①得。

:.lLDA,lLDP.

DA,DPu平面ADP,DAcDP=D,

平面ADP；

【小问2详解】

由题意，得DE=DP=2,DA=1.

AP=#>=JDP、DA?,;.DA±DP.

又DELDP,DELDA,以o为坐标原点，。4。2。尸的方向分别为苫轴，y轴，z轴正方向，建立如

图所示的空间直角坐标系Dxyz.

则D（0,0,0）,E（0,2,0）,3（1,3,0）,P（0,0,2）,

PD=(O,O,-2),PE=(0,2,-2),P8=(1,3,-2).

设平面PBE的一个法向量为n=(x,y,z).

n-PB=(x,y,z>(l,3,-2)=x+3y_2z=0

则〃=〈,、,、，

n-PE=(x,y,z)-(0,2,-2)=2y-2z-0

令z=l，得y=l,x=-l,故〃=(-1,1,1).

设PO与平面PEB所成角为0.

•sin”cos3mJ"」(T，l，l>(°，°，—2)|_2

..sincz—COS\rL/)——n---------------------------/=--------------------.

'/“图2x71+1+12x63

二直线PD与平面包B所成角的正弦值为正.

3

20.已知椭圆C:；+]=l（a>b〉0）的左，右焦点分别为£,招，上顶点为。，且鸟为等边三角

a-b~

形.经过焦点居的直线/与椭圆C相交于AB两点，-45的周长为8.

（1）求椭圆C的方程；

（2）试探究：在x轴上是否存在定点T，使得力4.7B为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请

说明理由.

22

【答案】（1）—+^-=1

43

（2）存在定点T，使得为定值

【解析】

【分析】（D根据等边三角形三边长相等可知a=2c,根据.片A8周长为4a可求得。，结合椭圆a,）,c关

系可求得结果；

（2）假设存在满足题意定点T（f,O）,设/:x=〃?y+l,与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据向量

数量积的坐标运算表示出rV73,代入韦达定理的结论整理可得7）1・78=巴尊空」+（1-根

3m2+4'/

6/-159

据rbrs为定值可构造方程[一=-1求得。的值，从而得到定点坐标.

【小问1详解】

・一•△小然为等边三角形，|班|=。周=巧/=4,|£凰=2c,.•.a=2c；

--.FtAB周长为8,.[A制+忸制+|A6|=|A耳|+|跖|+|4段+忸段=4a=8,

222

解得：a=2f/.c=l,b=a—c=3^

椭圆。的方程为：工+匕=1.

43

【小问2详解】

假设在x轴上存在定点了（/,0）,使得TA-TB为定值;

由（1）知：6（1,0）,直线/斜率不为零，

，可设/:x=/ny+l,A（x“J,B（x2,y2）,

x=my+1

222

由<x2y2_，得:(3m+4)y+6my-9=0,则A=48(3m+3)>0,

43

6m9

y+%=---；—，

-'23m2+43m2+4

..TATB=(x,-Z)(x2-/)+^y2=(myt+l-t)(/ny2+l-t)+y,y2

=(加2+l)M%+m(lT)(y+%)+(一『=^^-^^+(一)2

(6r—15)"广—9,、2

------/-----+(17)

3m2+4--v7

-、1...6t—159.11...135

m.费为定值，・.•=-=-"解z得："耳，此时定值M为一瓦;

，存在定点使得DVTB为定值.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中定点、定值问题的求解，求解此类问题的基本思路

如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；

②利用A>o求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出所求量，代入韦达定理可整理消元确定定值或根据定值求得定点.

21.已知函数/(x)=ln(ar),a>0.

(1)当a=l时，若曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y="+"证明：f(x)<kx+b.

(2)若/(工)<(%—1)3一",求〃的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)(0,1],

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并求出最值作答.

(2)由给定不等式构造函数，结合零点存在性定理分类讨论求解不等式恒成立的〃的范围作答.

【小问1详解】

当a=l时，/(x)=lnx,

依题意，曲线y=〃x)在尤=1处的切点为(1,0),而/'(x)=J有/'(1)=1,

即曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y=x-l,记g(x)=/(x)-依一8=lnx-x+1,

求导得g'(x)=一，当x«0,l)时,g'(x)>(),g(x)递增，当时，g'(x)<0,g(x)递

减，

因此g(x)Wg(l)=0,所以/(x)<区+8成立.

【小问2详解】

记=一/(x)=-Iru•—lna,x>0,依题意，/z(x)>0恒成立，

求导得〃'(x)=xe*Y—Lx>0,令y=/(x)=.5」》=(*+1产+二>0,

XX

则〃(x)在(0,+8)上单调递增，又//'(；)=(■

"-2<0,“(a+l)=(a+l)e-——>0,

a+\

则上°€(,。+1],使得〃'(与)=0,即1

=一成立，

%

则当X«0,玉))“(X)<0,/z(x)单调递减;当X€三(七,+8),“(力>0,〃(%)单调递增,

%e*-"=L得e®-"=-V，a=Xo+21nXo,

版x)min=〃(％)=(玉)T)e"-"-Irn;,-Ina,由.

/X。

于是得//(%)=乩J-kuo-ln(xo+21nxo),当

|X€(1,+。)时，令=

xoX

有，（x）=0―"（：+2）＜0j（x）在（I,”）上单调递减,

而x+21nx在（1,+0。）上单调递增，即有函数〉=-ln（x+21nx）在（1,+8）上单调递减，

于是得函数Q（X）=±J-10¥-111（%+211«：）在（1,+00）上单调递减，

则当天e（l,+o。）时，〃（玉））=°（玉））＜0（1）=0，不合题意；

当且升+21叫）＞0时，由⑴中lnx＜x-l知，-lnx0＞l-x0,有

+21m^）＞1—（jQ；+21nx0）,

x一]x一]

0

从而〃（玉））二°?---lnx（）—In（玉）+21rix（））＞2---lnx0+1—（x（）+21ILX（））

%0*0

=月-31nx0-x0+l＞与-3（x0-l）-x0+l=（1—%）（2”1）（2%+1）,

X。玉）苍

由瓦€（3,1知〃（%）之0,因此满足/