广西壮族自治区百色市田东中学2024届数学高二下期末达标测试试题含解析

广西壮族自治区百色市田东中学2024届数学高二下期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设在定义在上的偶函数，且，若在区间单调递减，则（）A．在区间单调递减 B．在区间单调递增C．在区间单调递减 D．在区间单调递增2．设，若是的最小值，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．（为虚数单位），则复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．方程的实根所在的区间为（）A． B． C． D．5．在中，已知，，则的最大值为（）A． B． C． D．6．已知为正整数用数学归纳法证明时，假设时命题为真，即成立，则当时，需要用到的与之间的关系式是()A． B．C． D．7．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A． B． C． D．8．将点的极坐标化成直角坐标是(

)A． B． C． D．9．点P的直角坐标为(-3,3)，则点A．(23,C．(-23,10．己知命题P：单位向量的方向均相同，命题q：实数a的平方为负数。则下列说法正确的是A．是真命题 B．是真命题 C．是假命题 D．是假命题11．已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（）X-101mA． B． C． D．12．若函数的图象的顶点在第一象限，则函数的图像是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设、两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛队获胜的概率均为，且各局比赛相互独立，则比赛结束时队得分比队高3分的概率为__________．14．若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为_____．15．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下列结论正确的是____.①存在点，使得平面平面；②存在点，使得平面；③的面积不可能等于；④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存在点，使得.16．已知函数，若，则的值是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时,对于任意正实数，不等式恒成立，试判断实数的大小关系.18．（12分）已知函数关系式：的部分图象如图所示：（1）求，，的值；（2）设函数，求在上的单调递减区间．19．（12分）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围；（2）试比较与的大小，并说明理由；（3）设的两个极值点为，证明.20．（12分）设是抛物线的焦点，是抛物线上三个不同的动点，直线过点，，直线与交于点.记点的纵坐标分别为．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：点的横坐标为定值．21．（12分）已知函数是上的奇函数(为常数)，，.（1）求实数的值；（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若不等式成立，求证实数的取值范围.22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据题设条件得到函数是以2为周期的周期函数，同时关于对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【题目详解】由函数满足，所以是周期为2的周期函数，由函数在区间单调递减，可得单调递减，所以B不正确；由函数在定义在上的偶函数，在区间单调递减，可得在区间单调递增，所以A不正确；又由函数在定义在上的偶函数，则，即，所以函数的图象关于对称，可得在区间单调递增，在在区间单调递增，所以C不正确，D正确，故选D．【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2、B【解题分析】

当时，可求得此时；当时，根据二次函数性质可知，若不合题意；若，此时；根据是在上的最小值可知，从而构造不等式求得结果.【题目详解】当时，（当且仅当时取等号）当时，当时，在上的最小值为，不合题意当时，在上单调递减是在上的最小值且本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据分段函数的最值求解参数范围的问题，关键是能够确定每一段区间内最值取得的点，从而确定最小值，通过每段最小值之间的大小关系可构造不等式求得结果.3、A【解题分析】

通过求出，然后得到复数对应的点的坐标．【题目详解】由得所以复数在复平面对应的点在第一象限．【题目点拨】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．4、B【解题分析】

构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．【题目详解】构造函数，则该函数在上单调递增，，，，由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.【题目点拨】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．5、C【解题分析】

由题知，先设，再利用余弦定理和已知条件求得和的关系，设代入，利用求出的范围，便得出的最大值.【题目详解】由题意，设的三边分别为，由余弦定理得：，因为，，所以，即，设，则，代入上式得：，，所以.当时，符合题意，所以的最大值为，即的最大值为.故选:C.【题目点拨】本题主要考查运用的余弦定理求线段和得最值，转化成一元二次方程，以及根的判别式大于等于0求解.6、C【解题分析】分析：先根据条件确定式子，再与相减得结果.详解：因为，所以，所以,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.7、D【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】由题意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）•（﹣i），∴z＝2﹣i．则在复平面内，z所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8、A【解题分析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A9、D【解题分析】

先判断点P的位置，然后根据公式：ρ2ρ，根据点P的位置，求出θ.【题目详解】因为点P的直角坐标为(-3,3)，所以点Pρ=(-3)2+所以θ=2kπ+56【题目点拨】本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置.10、D【解题分析】

先判断命题P，命题q均为假.再逐项判断每个选项的正误.【题目详解】命题P：单位向量的方向可以是任意的，假命题命题q：实数a的平方为非负数，假命题为假命题，A错误为假命题，B错误是真命题，C错误是假命题，D正确故答案选D【题目点拨】本题考查了命题的判断，正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.11、A【解题分析】

由随机变量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出结果．【题目详解】由随机变量X的分布列得：，解得，，，．故选：A．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12、A【解题分析】

求导，根据导函数的性质解题。【题目详解】，斜率为正，排除BD选项。的图象的顶点在第一象限其对称轴大于0即b<0,选A【题目点拨】本题考查根据已知信息选导函数的大致图像。属于简单题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

比赛结束时队得分比队高3分是指前3局比赛中两胜一负，第4局比赛胜，由此能求出比赛结束时队得分比队高3分的概率．【题目详解】比赛结束时队得分比队高3分是指前3局比赛中两胜一负，第4局比赛胜，比赛结束时队得分比队高3分的概率：．故答案为：．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14、[25，57]【解题分析】

先把不等式变形为﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，结合f（x）＝x最值，找到的限制条件，结合线性规划的知识可得.【题目详解】对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得时取得最小值4，或时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝5时zmax＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝4时zmax＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立问题及利用线性规划知识求解范围问题，恒成立问题一般是转化为最值问题，线性规划问题通常借助图形求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.15、①②④【解题分析】

逐项分析.【题目详解】①如图当是中点时，可知也是中点且，，，所以平面，所以，同理可知，且，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；②如图取靠近的一个三等分点记为，记，，因为，所以，所以为靠近的一个三等分点，则为中点，又为中点，所以，且，，，所以平面平面，且平面，所以平面，故正确；③如图作，在中根据等面积得：，根据对称性可知：，又，所以是等腰三角形，则，故错误；④如图设，在平面内的正投影为，在平面内的正投影为，所以，，当时，解得：，故正确.故填：①②④.【题目点拨】本题考查立体几何的综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为，然后统一未知数去分析问题.16、【解题分析】

当时，，求出；当时，无解.从而，由此能求出结果.【题目详解】解：由时，是减函数可知，当，则，所以，由得，解得，则.故答案为：.【题目点拨】本题考查函数值的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)当时增；减；当时减；增；(2)【解题分析】

（1）求出函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）设，求导数判断函数的单调性，求出函数的极值，转化为，即可求解.【题目详解】（1）由题意，函数，则，令，解得，当时，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减.当时，在上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增.综上可得：当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增.（2）当时，设则，令，即，解得，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以，要使得不等式恒成立，只需，即，所以，故实数的大小关系为.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．18、(1).(2).【解题分析】分析：（1）根据函数图像最高点可确定A值，根据已知水平距离可计算周期，从而得出，然后代入图像上的点到原函数可求得即可；（2）先根据（1）得出g（x）表达式，然后根据正弦函数图像求出单调递减区间，再结合所给范围确定单调递减区间即可.详解：(1)由图形易得，，解得，此时．因为的图象过，所以，得．因为，所以，所以，得．综上，，．(2)由(1)得．由，解得，其中．取，得，所以在上的单调递减区间为．点睛：考查三角函数的图像和基本性质，对三角函数各个变量的作用和求法的熟悉是解题关键，属于基础题.19、(1)；（2）；理由见解析；（3）证明见解析【解题分析】

（1）根据函数在定义域内有两个不同极值点可知方程有两个不等正根，将问题转化为与在上有两个不同交点；利用过一点曲线的切线的求解方法可求出过原点与相切的直线的斜率，从而可得，解不等式求得结果；（2）令，求导后可知在上单调递减，从而可得，化简可得；（3）易知是方程的两根，令，可整理得到，从而将所证不等式化为，采用换元的方式可知只需证，恒成立；构造函数，，利用导数可知在上单调递增，可得，进而证得结论.【题目详解】（1）由题意得：定义域为；在上有两个不同极值点等价于方程有两个不等正根即：与在有两个不同的交点设过的的切线与相切于点则切线斜率，解得：过的的切线的斜率为：，解得：即的取值范围为：（2）令，则时，；时，在上单调递增；在上单调递减，即：即：（3）由（1）知，是方程的两根即：，设，则原不等式等价于：即：设，则，只需证：，设，在上单调递增即在上恒成立所证不等式成立【题目点拨】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据极值点个数求解参数范围、通过构造函数的方式比较大小、利用导数证明不等式的问题；利用导数证明不等式的关键是能够将所证不等式转化为与两个极值点有关的函数的最值的求解问题，通过求解最值可确定不等关系.20、(1)证明见解析.(2)证明见解析.【解题分析】分析：(Ⅰ)因为，所以，所以，所以(Ⅱ)因为直线过点，所以，由(Ⅰ)得，所以,因为即设点坐标为，又因为直线交于点，所以消去得，整理，即可证明点的横坐标为定值．详解：(Ⅰ)因为，所以，所以，所以(Ⅱ)因为直线过点，所以，由(Ⅰ)得，所以,因为即设点坐标为，又因为直线交于点，所以所以消去得，所以