福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校2024届数学高二第二学期期末统考试题含解析

福建省漳州市平和一中、南靖一中等五校2024届数学高二第二学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A． B． C． D．2．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为l1:y=0.68x+a，计算其相关系数为r1，相关指数为R12.经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为l2A．r1>0,C．a=0.12 D．3．用反证法证明“”时，应假设（）A． B．C． D．4．某样本平均数为，总体平均数为，那么（）A． B． C． D．是的估计值5．有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（）A．922 B．716 C．96．已知=（为虚数单位），则复数（）A． B． C． D．7．的展开式中的系数是A．－20 B．－5 C．5 D．208．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．设，，，则A． B． C． D．10．已知为抛物线的焦点，点的坐标为，过点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，延长、交抛物线于、两点设直线的斜率为，则（）A．1 B．2 C．3 D．411．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．12．已知展开式的常数项为15，则（）A． B．0 C．1 D．-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在四棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为_________14．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是，且用料最省，则水桶的底面半径为____.15．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则______.16．已知是定义在上的函数,若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到数据如表所示（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：常喝不常喝合计肥胖28不肥胖18合计30(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整；(Ⅱ)是否有99％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由.0.0500.0103.8416.635参考数据：附：18．（12分）一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为p、、，且每题答对与否相互独立．(1)当时，求考生填空题得满分的概率；(2)若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的p值．19．（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为类同学），现用分层抽样方法（按类、类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学.（1）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如图，按照统计学原理，根据频率分布直方图计算这100名学生身高数据的平均数和中位数（单位精确到0.01）；（2）如果以身高达到作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到列联表：体育锻炼与身高达标列联表身高达标身高不达标合计积极参加体育锻炼60不积极参加体育锻炼10合计100①完成上表；②请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？参考公式：.参考数据：0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数；（2）已知跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，现在从跑步千米数在的跑友中抽取3名代表发言，用表示所选的3人中跑步千米数在的人数，求的分布列及数学期望.21．（12分）函数，，实数为常数.（I）求的最大值；（II）讨论方程的实数根的个数.22．（10分）一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（Ⅰ）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是偶数的概率；（Ⅱ）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件．详解：框图首先给累加变量S赋值1，给循环变量k赋值1．判断1＞6，执行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6；判断6≤6，输出S的值为35，算法结束．所以判断框中的条件是k＞6？．故答案为:D.点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题．2、B【解题分析】

根据相关性的正负判断r1和r2的正负，根据两个模型中回归直线的拟合效果得出R12和R2【题目详解】由图可知两变量呈现正相关，故r1>0,r2>0故A正确，B不正确.又回归直线l1:y=0.68x+a必经过样本中心点(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回归直线l2:y=bx+0.68必经过样本中心点所以b=0.44，也可直接根据图象判断0<b<0.68（比较两直线的倾斜程度），故D【题目点拨】本题考查回归分析，考查回归直线的性质、相关系数、相关指数的特点，意在考查学生对这些知识点的理解，属于中等题。3、A【解题分析】

根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．【题目详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P（x0）成立的否定是使得P（x0）不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为∃x0∈R，0故选：A．【题目点拨】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意“改量词否结论”4、D【解题分析】

统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值.【题目详解】解：样本平均数为，总体平均数为，

统计学中，利用样本数据估计总体数据，

∴样本平均数是总体平均数的估计值.

故选：D.【题目点拨】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题.5、A【解题分析】

先求出从12人中选3人的方法数，再计算3人中有1人是老师的方法数，最后根据概率公式计算．【题目详解】从12人中选3人的方法数为n=C123=220，3人中愉有∴所求概率为P=m故选A．【题目点拨】本题考查古典概型，解题关键是求出完成事件的方法数．6、D【解题分析】试题分析：由，得，故选D.考点：复数的运算.7、A【解题分析】

利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可【题目详解】由二项式定理可知：；要求的展开式中的系数，所以令，则；所以的展开式中的系数是是-20；故答案选A【题目点拨】本题考查二项式定理的通项公式的应用，属于基础题。8、B【解题分析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布9、D【解题分析】

依换底公式可得，从而得出，而根据对数函数的单调性即可得出，从而得出，，的大小关系．【题目详解】由于，；，又，．故选．【题目点拨】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用．10、D【解题分析】

设，，联立直线方程与抛物线方程可得，设，，则，，设AC，BD所在的直线方程可得，，由此可得的值．【题目详解】设过点F作斜率为的直线方程为：，

联立抛物线C：可得：，

设A，B两点的坐标为：，，

则，

设，，

则，同理，

设AC所在的直线方程为，

联立，得，

，同理，，

则．

故选：D．【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．11、A【解题分析】因为,若,则,，故选A.12、A【解题分析】

先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项，再根据常数项为15，求得的值．【题目详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，由此求得，故选：．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2；【解题分析】

根据法向量的求法求得平面的法向量，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果.【题目详解】设平面的法向量则，令，则，点到底面的距离：本题正确结果：【题目点拨】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.14、3【解题分析】

设圆柱的高为h，半径为r,得πr2h＝27π，即，要使用料最省即求全面积的最小值，将S全面积表示为r的函数，令S＝f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径【题目详解】用料最省，即水桶的表面积最小.设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则πr2h＝27π，即水桶的高为，所以(r>0).求导数，得.令S′＝0，解得r＝3.当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0.所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省.故答案为3【题目点拨】本题主要考查导数的实际应用,圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．15、2【解题分析】

直接利用余弦定理得到答案.【题目详解】，，（舍去）故答案为2【题目点拨】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.16、【解题分析】

由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联立，解得中点在得，从而在有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.【题目详解】因为，，所以时满足；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，而在上，所以，从而在有两不等的实数根，令，所以。【题目点拨】本题主要考查了二次型复合函数的性质，考查了转化与化归的能力，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)有99％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．【解题分析】分析：（1）先根据条件计算常喝碳酸饮料肥胖的学生人数，再根据表格关系填表，（2）根据卡方公式求，再与参考数据比较作判断.详解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有人，.常喝不常喝合计肥胖628不胖41822合计102030（2）由已知数据可求得：因此有99％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．点睛：本题考查卡方公式以及列联表，考查基本求解能力.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）设考生填空题得满分为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出考生填空题得满分的概率．（2）设考生填空题得15分为事件B，得10分为事件C，由考生填空题得10分与得15分的概率相等，利用互斥事件概率加法公式能求出．【题目详解】设考生填空题得满分、15分、10分为事件A、B、C（1）（2）因为，所以得【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19、（1）174，174.55；（2）①列联表见解析；②.【解题分析】

（1）根据频率分布直方图的平均数与中位数的公式即可求解；（2）①根据频率分布直方图求出身高达标与不达标的比例，结合积极参加体育锻炼和不积极参加体育锻炼的比例，完成表格；②根据公式计算出即可下结论.【题目详解】（1）平均数，前两组频率之和为0.25，前三组频率之和为0.8，所以中位数在第三组中位数为.（2）根据频率分布直方图可得身高不达标所占频率为0.25，达标所占频率为0.75，所以身高不达标25人，达标75人，根据分层抽样抽取的积极参加体育锻炼75人，不积极参加体育锻炼的25人，所以表格为：身高达标身高不达标合计积极参加体育锻炼601575不积极参加体育锻炼151025合计7525100假设体育锻炼与身高达标没有关系.所以有把握认为体育锻炼与身高达标有关系.【题目点拨】此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，计算指定组的频率，完成列联表进行独立性检验，关键在于数量掌握相关数据的求解方法，准确计算并下结论.20、（1）60人；（2）分布列见解析，.【解题分析】

（1）由图可得（2）先求出跑步千米数在的人数，再依题意求出其他区间的人数，可知跑步千米数在的人数为2，跑步千米数在的人数为5，列出分布列求解即可【题目详解】（1）由频率分布直方图可得跑步千米数不小于70千米的人数为.（2）由频率分布直方图可知，跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为.因为跑步千米数在的人数为，所以跑步千米数在的人数为，则跑步千米数在的人数为.所以的所有可能取值为0，1，2，则；；.所以的分布列为012故数学期望.【题目点拨】本题考察的频率分布直方图的识别和超几何分布21、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解题分析】

（1）直接对函数进行求导，研究函数的单调性，求最大值