2024届海南省海口市名校高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届海南省海口市名校高二数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题不正确的是（）A．研究两个变量相关关系时，相关系数r为负数，说明两个变量线性负相关B．研究两个变量相关关系时，相关指数R2越大，说明回归方程拟合效果越好．C．命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定命题为“∃x0∈R，cosx0＞1”D．实数a，b，a＞b成立的一个充分不必要条件是a3＞b32．已知二项式的展开式的第二项的系数为，则（）A． B． C．或 D．或3．的展开式中的系数为（）A．1 B．9 C．10 D．114．组合数恒等于（）A． B． C． D．5．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}6．下列函数既是偶函数，又在上为减函数的是（）A． B． C． D．7．若，则（）A．8 B．7 C．6 D．58．设随机变量服从正态分布，若，则（）A． B． C． D．与的值有关9．已知点和，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①；②；③；④．其中是“椭型直线”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④10．下列等式中，错误的是（）A． B．C． D．11．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A．70种 B．140种 C．420种 D．840种12．已知为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则的值为_____________.14．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.15．已知角的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是．16．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（1）设，计算，，的值，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.18．（12分）已知定义在R上的函数fx（1）求b的值，并判断函数fx（2）若对任意的t∈R，不等式ft2-2t19．（12分）已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，点与点分别为椭圆的上顶点与左焦点，且的面积为（点为坐标原点）.（1）求的方程；（2）直线过且与椭圆交于两点，点关于的对称点为，求面积的最大值.20．（12分）已知复数满足（为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．21．（12分）已知函数（1）若当时，恒成立，求实数的取值范围.（2）设，求证：当时，.22．（10分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据相关系数、相关指数的知识、全称命题的否定的知识，充分、必要条件的知识对四个选项逐一分析，由此得出命题不正确的选项.【题目详解】相关系数为负数，说明两个变量线性负相关，A选项正确.相关指数越大，回归方程拟合效果越好，B选项正确.根据全称命题的否定是特称命题的知识可知C选项正确.对于D选项，由于，所以是的充分必要条件，故D选项错误.所以选D.【题目点拨】本小题主要考查相关系数、相关指数的知识，考查全称命题的否定是特称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.2、A【解题分析】分析：根据第二项系数，可求出；由定积分基本性质，求其原函数为，进而通过微积分基本定理求得定积分值。详解：展开式的第二项为所以系数，解得所以所以选A点睛：本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题。3、D【解题分析】

根据组合的知识可求展开式的含和的项，分别乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解.【题目详解】因为展开式中含项的系数为,含项的系数为,乘以后含项的系数为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了用组合知识研究二项展开式的特定项的系数，属于中档题.4、D【解题分析】

根据组合数的公式得到和，再比较选项得到答案.【题目详解】．，可知故选：D．【题目点拨】本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型.5、C【解题分析】试题分析：由题意知q真，p假，∴|x－1|<1．∴－1<x<3且x∈Z．∴x＝0,1,1．选C．考点：命题否定6、B【解题分析】

通过对每一个选项进行判断得出答案.【题目详解】对于选项：函数在既不是偶函数也不是减函数，故排除；对于选项：函数既是偶函数，又在是减函数；对于选项：函数在是奇函数且增函数，故排除；对于选项：函数在是偶函数且增函数，故排除；故选：B【题目点拨】本题考查了函数的增减性以及奇偶性的判断，属于较易题.7、D【解题分析】

由得，即，然后即可求出答案【题目详解】因为，所以所以即，即解得故选：D【题目点拨】本题考查的是排列数和组合数的计算，较简单.8、A【解题分析】分析：根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得，从而求出即可.详解：随机变量服从正态分布，正态曲线的对称轴是，，而与关于对称，由正态曲线的对称性得：，故.故选：A.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.9、C【解题分析】

先确定动点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中的直线与椭圆是否有公共点后可得正确的选项.【题目详解】由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为．对于①，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”；对于②，把代入，整理得，所以是“椭型直线”；对于③，把代入，整理得，由，知是“椭型直线”；对于④，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．故：C．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，此类问题一般联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量后通过方程的解的个数来判断位置关系，本题属于基础题.10、C【解题分析】分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等.详解：通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C.点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.11、C【解题分析】

将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【题目详解】2男1女时：C52女1男时：C共有420种不同的安排方法故答案选C【题目点拨】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.12、B【解题分析】分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．详解：由，则成立，反之：如，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

用赋值法，在所给的等式中，分别令和1，即可求出对应的值．【题目详解】在中，令，得，即；令，得，．故答案为：1．【题目点拨】本题考查二项式定理展开式的系数问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意赋值法的应用．14、【解题分析】

利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。【题目详解】当时，符合，当时，符合，【题目点拨】一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。15、【解题分析】试题分析：由题意得.考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.16、40【解题分析】

将问题分成三步解决，首先将排列，再将插空排列，再根据已排好的位置将整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果.【题目详解】第一步：将进行排列，共有种排法第二步：将插空排列，共有种排法第三步：将整体插空放入，共有种排法根据分步乘法计数原理可得共有：种排法本题正确结果：【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析．【解题分析】分析：直接计算，猜想：；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即③证明当时，成立。详解：（1）解：，，，，猜想；（2）证明：①当时，猜想成立.②设时，命题成立，即，由题意可知.所以，，所以时猜想成立.由①、②可知，猜想对任意都成立.点睛：推理与证明中，数学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意先归纳猜想，利用数学归纳法证明猜想。数学归纳法证明必须有三步：①当时，计算得出猜想成立.②当时，假设猜想命题成立，③当时，证明猜想成立。18、⑴a=b=1；⑵(-∞ 【解题分析】试题分析：(1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a 试题解析：⑴∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴，∴b=1．∴f(x)=1-2xa+2即a(2x-1)=∴a=1，∴a=b=1．⑵不等式f(t2-2t)+f(2又f(x)是R上的减函数，∴t2∴k<3t2-2t=3∴k<-1即实数k的取值范围是(-∞ 考点：函数的奇偶性和单调性.【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域[0,+∞).19、（1）；（2）见解析.【解题分析】分析：（1）由题意得，，即可求出答案；（2）设直线的方程为联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理表述出，，又，化简整理即可.详解：（1）∵的面积为，∴，即.又∵椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，∴，即.∴，∴∴，∴的方程为.（2）由题意可知，点为的中点，则.设直线的方程为，联立，可得，∴，∴∴设，则∵函数在上单调递减，∴当时，取得最大值.点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．20、【解题分析】

先由求出复数，再由求出复数，计算出其复数，可得出以复数为根的实系数方程为，化简后可得出结果.【题目详解】由，得，，.，，因此，以复数为一个根的实系数方程为，即，即.【题目点拨】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.21、(1)；(2)证明见解析【解题分析】

（1）解法一：求得函数导数并通分，对分成两种情况，结合函数的单调性、最值，求得实数的取值范围.解法二：将原不等式分离常数，得到，构造函数，利用导数结合洛必达法则，求得的取值范围，由此求得的取值范围.（2）解法一：先由（1）的结论，证得当时成立.再利用导数证得当时，也成立，由此证得不等式成立.解法二：将所要证明的不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，进而证得，也即证得.【题目详解】解：（1）【解法一】由得：①当时，由知，在区间上为增函数，当时，恒成立，所以当时，满足题意；②当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数.这时当时，，令，则即在上为减函数，所以即在上的最小值，此时，当时，不可能恒成立，即有不满足题意.综上可知，当，使恒成立时，的取值范围是.【解法二】当时，等价于令，则只须使设在上为增函数，所以在上为增函数，当时，由洛必达法则知即当时，，所以有即当，使恒成立时，则的取值范围是（2）解法一：由（1）知，当时，当时，又成立故只须在证明，当时，即可当时，又当时，所以，只须证明即可；设由得：当，时当时，即在区间上为增函数，在区间上为减函数，当时，成立综上可知，当时，成立.（2）解法二：由（1）