北京市十五中2024届数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

北京市十五中2024届数学高二第二学期期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面四边形，，，则四边形的面积为（）A． B． C．15 D．2．已知在R上是奇函数，且A．-2 B．2 C．-98 D．983．三个数，，之间的大小关系是()A． B．C． D．4．已知A={|}，B={|}，则A∪B=A．{|或} B．{|} C．{|} D．{|}5．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（）A． B． C． D．6．在一次期中考试中，数学不及格的人数占，语文不及格占，两门都不及格占，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（）A． B． C． D．7．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．在时，取极大值8．若二项式的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A． B． C．160 D．2409．已知，，，若、、三向量共面，则实数等于（）A． B． C． D．10．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成（）A．7队 B．8队 C．15队 D．63队11．在四边形中，如果，，那么四边形的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形12．对于实数，下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的焦点为、，为椭圆上的一点，，则__________．14．定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合的所有非空子集依次记为，则________15．设a、b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是：_____16．在复数范围内，方程的根为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式中，前三项系数成等差数列.（1）求含项的系数；（2）将二项式的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．18．（12分）已知函数f(x)=xlnx，（I）判断曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线与曲线y=g(x)的公共点个数；（II）若函数y=f(x)-g(x)有且仅有一个零点，求a的值；（III）若函数y=f(x)+g(x)有两个极值点x1,x2，且19．（12分）已知数列满足，，.（1）求，，；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由.20．（12分）若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数为“恒切函数”，①求实数的取值范围；②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：.21．（12分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本万元.此外，每生产件这种产品还需要增加投入万元.经测算，市场对该产品的年需求量为件，且当出售的这种产品的数量为（单位：百件）时，销售所得的收入约为（万元）.（1）若该公司这种产品的年产量为（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量的函数；（2）当该公司的年产量为多少时，当年所得利润最大？最大为多少？22．（10分）已知函数，.（1）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；（2）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

首先根据得到，再求四边形的面积即可.【题目详解】因为，所以，所以四边形的面积.故选：C【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题.2、A【解题分析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2019)＝－2.故选A3、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性求解【题目详解】,故故选：A【题目点拨】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．4、D【解题分析】

根据二次不等式的解法得到B={|}=，再根据集合的并集运算得到结果.【题目详解】B={|}=,A={|},则A∪B={|}.故答案为:D.【题目点拨】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．5、B【解题分析】

恒成立等价于恒成立，令，则问题转化为，对函数求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案。【题目详解】恒成立等价于恒成立，令，则问题转化为，，令，则，所以当时，所以在单调递减且，所以在上单调递增，在上的单调递减，当时，函数取得最大值，，所以故选B【题目点拨】本题考查利用导函数解答恒成立问题，解题的关键是构造函数，属于一般题。6、A【解题分析】

记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为，根据条件概率的计算公式，和题设数据，即得解.【题目详解】记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为：故选：A【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于基础题.7、C【解题分析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.详解：根据导函数图象可知，在上先减后增，错；在上先增后减，错；在上是增函数，对；在时，取极小值，错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.8、D【解题分析】

由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为，由此得到，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.【题目详解】由已知得到，所以，所以展开式的通项为，令，得到，所以展开式的常数项为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、C【解题分析】

由题知，、、三个向量共面,则存在常数，使得，由此能求出结果.【题目详解】因为，，，且、、三个向量共面,所以存在使得.所以，所以，解得.故选:C.【题目点拨】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.10、D【解题分析】

根据题意，分析可得男队员的选法有7种，女队员的选法有9种，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，则男队员的选法有7种，女队员的选法有9种，由分步乘法计数原理，知共可组成组队方法；故选：．【题目点拨】本题主要考查分步计数原理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．11、A【解题分析】

由可判断出四边形为平行四边形，由可得出，由此判断出四边形的形状.【题目详解】，所以，四边形为平行四边形，由可得出，因此，平行四边形为矩形，故选A.【题目点拨】本题考查利用向量关系判断四边形的形状，判断时要将向量关系转化为线线关系，考查转化与化归思想，同时也考查了推理能力，属于中等题.12、D【解题分析】试题分析：对于A．若，若则故A错；对于B．若，取则是假命题；C．若，取，则是错误的，D．若，则取，又，所以，又因为同号，则考点：不等式的性质的应用二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解题分析】分析：根据椭圆的方程，得到，由知为直角三角形，在中利用勾股定理得|．再根据椭圆的定义得到，两式联解可得，由此即可得到Rt△F1PF2的面积为S=1．详解：∵椭圆方程为，且，可得

∵，∴…①

根据椭圆的定义，得|，

∴…②

②减去①，得，可得

即答案为：8点睛：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．14、【解题分析】

首先设，由二项式定理展开可知，然后利用赋值法令求解.【题目详解】设设中只有1个元素，中有2个元素，中有3个元素，中有4个元素，由二项定理可知令，,.故答案为：【题目点拨】本题考查二项式定理和集合子集的综合问题，意在考查转化与计算能力，本题的关键是将所求乘积的和转化为二项式定理问题，属于难题.15、③【解题分析】试题分析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1．[来源:Z§考点：不等式性质16、【解题分析】

根据复数范围求根公式求解【题目详解】因为，所以方程的根为故答案为：【题目点拨】本题考查复数范围解实系数一元二次方程，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）7；（2）.【解题分析】

（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出的值，再利用二项式展开式通项可求出项的系数；（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为，总共是项，利用排列思想得出公共有种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率．【题目详解】（1）∵前三项系数、、成等差数列．，即．∴或(舍去）∴展开式中通项公式T，，，1．令，得，∴含x2项的系数为；（2）当为整数时，．∴展开式共有9项，共有种排法．其中有理项有3项，有理项互不相邻有种排法，∴有理项互不相邻的概率为【题目点拨】本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题．18、（I）详见解析；（II）a=3；（III）a>【解题分析】

（I）利用导函数求出函数y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程，和函数y=g(x)联立后由判别式分析求解公共点个数；（II）写出函数y=f(x)-g(x)表达式，由y=0得到a=x+2x+lnx，求函数h(x)=x+（III）写出函数y=f(x)+g(x)的表达式，构造辅助函数t(x)=-x2+ax-2+xlnx，由原函数的极值点是其导函数的零点分析导函数对应方程根的情况，分离参数a后构造新的辅助函数，求函数的最小值，然后分析当a大于函数最小值的情况，进一步求出当x【题目详解】解：（I）由f(x)=xlnx，得f'(x)=lnx+1，∴f'（1）=1，又f（1）=0，∴曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=x-1，代入y=-x2+ax-2∴当a<-1或a>3时，△=(1-a)当a=-1或a=3时，△=(1-a)当-1<a<3时，△=(1-a)（II）y=f(x)-g(x)=x由y=0，得a=x+2令h(x)=x+2x+lnx∴h(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，因此，hmin(x)=h（1）（III）y=f(x)+g(x)=-x令t(x)=-x∴t'(x)=-2x+a+1+lnx，即a=2x-1-lnx有两个不同的根x1，x令λ(x)=2x-1-lnx⇒λ且当a>ln2时，(x2-当x2a=2x∴x此时a=2ln2即x2a>2ln2【题目点拨】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数零点的求法，考查了利用导数求函数的最值，充分利用了数学转化思想方法，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目．19、(1)，，.(2)是首项为，公比为的等比数列；理由见解析.【解题分析】分析：（1）先根据递推关系式求，，；，再求，，；（2）根据等比数列定义证明为等比数列.详解：(1）由条件可得：，将代入，得，而，∴，将代入，得，∴，∴，，.（2）是首项为2，公比为3的等比数列.由条件可得：，即，又，∴是首项为2，公比为3的等比数列.点睛：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法20、（1）见解析；（2）【解题分析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）①设切点为，求出，设，根据函数的单调性求出故实数的取值范围为；②当取最大值时，，，，，，因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，，由得，，设，，根据函数的单调性证明即可.详解：（1）.当时，恒成立，函数在上单调递减；当时，得，由得，由得，得函数在上单调递减，在上递增.（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图象与直线相切，设切点为，则且，即，.因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，，即，得，，设.则，，得，得，故在上单调递增，在上单调递减，从而故实数的取值范围为.②当取最大值时，，，，，，因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，，由得，，设，则，得，得，故在上单调递减，在上单调递增，1.在单调递增区间上，，故，由，得；2.在单调递增区间上，，，又的图象在上不间断，故在区间上存在唯一的，使得，故.此时由，得，函数在上递增，，，故.综上所述，.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.2