上海市徐汇中学2024届数学高二第二学期期末检测试题含解析

上海市徐汇中学2024届数学高二第二学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数f(x)=3A． B． C． D．2．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A． B． C． D．3．曲线与直线及直线所围成的封闭图形的面积为()A． B． C． D．4．某教师有相同的语文参考书本，相同的数学参考书本，从中取出本赠送给位学生，每位学生本，则不同的赠送方法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种5．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14）内的频数为（）A．780 B．680 C．648 D．4606．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为()A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]7．如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为A． B． C． D．8．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件{两次掷的玩具底面图案不相同}，{两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则（）A． B． C． D．9．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix410．在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．1011．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.612．函数的图象大致为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为__________．14．5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m种，则m的值为_______．15．已知点在二面角的棱上，点在半平面内，且，若对于半平面内异于的任意一点，都有，则二面角大小的取值的集合为__________.16．已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。18．（12分）已知椭圆：的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.19．（12分）5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．20．（12分）已知函数，.（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；（2）若，讨论的单调性；（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且．21．（12分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市，一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟）次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.（1）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.22．（10分）如图，菱形的对角线与相交于点，，，点分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

取特殊值排除得到答案.【题目详解】f(x)=3x故答案选B【题目点拨】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.2、C【解题分析】

在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率下雨的概率【题目详解】在下雨条件下吹东风的概率为，选C【题目点拨】本题考查条件概率的计算，属于简单题．3、D【解题分析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为，结合图形可得封闭图形的面积为，应选答案D．4、B【解题分析】若本中有本语文和本数学参考，则有种方法，若本中有本语文和本参考，则有种方法，若本中有语文和本参考，则有种方法，若本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有有，故选B.5、B【解题分析】试题分析：频率分布直方图中每个小方块的面积就是相应的频率，因此所求结论为.考点：频率分布直方图.6、B【解题分析】

分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.7、A【解题分析】

取BD中点,可证，为直线AC与底面BCD所成角。【题目详解】取BD中点，由，，又侧面底面BCD，所以。所以为直线AC与底面BCD所成角。,所以。选A.【题目点拨】本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角。8、C【解题分析】

利用条件概率公式得到答案.【题目详解】故答案选C【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.9、A【解题分析】试题分析：二项式(x+i)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-ri【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式(x+i)6可以写为(i+x)6，则其通项为C6ri10、C【解题分析】

分析：现利用正态分布的意义和原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于的概率，即可求解得到其人数．详解：因为其中数学考试成绩服从正态分布，因为，即根据正态分布图象的对称性，可得，所以这个班级中数学考试成绩在分以上的人数大约为人，故选C．点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题．11、B【解题分析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B．12、B【解题分析】由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

转化为定积分求解.【题目详解】如图：,曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形,因为,曲线与直线及的交点分别为，且，，所以，.由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为.【题目点拨】本题考查定积分的意义及计算.14、1【解题分析】

根据题意，分2步进行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4个空位，再从这4个间隔选2个插入甲乙，由分步计数原理计算即可答案．【题目详解】根据题意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有种不同的顺序，排好后，形成4个空位，在4个空位中，选2个安排甲乙，有种选法，则甲乙不相邻的排法有种，即；故答案为：1．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，本题是不能相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法．15、【解题分析】

画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.【题目详解】如下图所示，过点在平面内作，垂直为点，点在二面角的棱上，点在平面内，且，若对于平面内异于点的任意一点，都有.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，即是直线与平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案为：.【题目点拨】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.16、【解题分析】

根据左右平移可得解析式；利用对称性可得关于和的方程组；结合和的取值范围可分别求出和的值，从而得到结果.【题目详解】由题意知：和的图象都关于对称，解得：，又本题正确结果：【题目点拨】本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）分析直线的斜率是否存在，若不存在不符合题意，当存在时设直线，根据直线与圆的关系中弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形求解即可；（2）设直线的方程分别为，设点，联立得得同理，计算，同理因为，可得，从而可证.试题解析：（1）因为点是椭圆上的点.即椭圆伴随圆得同理，计算当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点当直接的斜率存在时：设直线与椭圆联立得由直线与椭圆有且只有一个公共点得解得，由对称性取直线即圆心到直线的距离为直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长（2）设直线的方程分别为设点联立得则得同理斜率同理因为所以三点共线点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解题分析】

（Ⅰ）根据题中条件得知可求出直线的斜率，结合点在直线上，利用点斜式可写出直线的方程，于是可得出点、的坐标，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）可知直线的斜率不为零，由椭圆定义得出，设该直线方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式以及，并结合韦达定理可求出的值，于此可得出直线的方程．【题目详解】（Ⅰ）∵直线与圆相切于点，∴，∴直线的方程为，∴，，即，，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，代入椭圆的方程中，得：，由椭圆定义知，又，从而，设，，则，.∴，代入并整理得，∴.故直线的方程为或.【题目点拨】本题考查椭圆方程的求解、直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆中弦长的计算，解决这类问题的常规方法就是将直线与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理与弦长公式计算，难点在于计算，属于中等题．19、（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解题分析】

（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率；（2）根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；（3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人,由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数【题目详解】解：（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是,所以估计总体中分数小于50的概率0.1（2）根据频率分布直方图，第六组的频率为0.04×10=0.4,第七组频率为0.02×10=0.2,此分数为（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.2）=240人,所以样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,又因为样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,所以样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数120÷=180人,故估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数为：1200×=540人【题目点拨】本题考查概率、频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力,是基础题．20、(1)(2)见解析（3）见解析【解题分析】分析：（1）先求一阶导函数，，用点斜式写出切线方程（2）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零，函数在是减函数，故必然有一个零点。详解：（1）因为，所以；又。由题意得，解得（2），其定义域为，又，令或。①当即时，函数与随的变化情况如下：当时，，当时，。所以函数在单调递增，在和单调递减②当即时，，所以，函数在上单调递减③当即时，函数与随的变化情况如下：当时，，当时，。所以函数在单调递增在和上单调递减（3）证明：当时，由①知，的极小值为，极大值为.因为且又由函数在是减函数，