2024届河北省定州市、博野县数学高二下期末质量检测试题含解析

2024届河北省定州市、博野县数学高二下期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝2．已知复数满足，则的共轭复数为()A． B． C． D．3．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为（）A． B． C． D．4．利用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=，（a≠1，nN）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a35．已知函数，若、，，使得成立，则的取值范围是（）．A． B． C． D．或6．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．7．若函数f(x)的导函数的图像关于原点对称，则函数f(x)的解析式可能是（）A．f(x)=3cosx B．f(x)=x38．若a，b为实数，则“”是“”的A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分必要条件9．已知函数的图象关于点对称，则在上的值域为（）A． B． C． D．10．在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率小于其恰好发生2次的概率，则事件在一次试验中发生概率的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为A． B． C． D．12．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线的参数方程为：(为参数)，椭圆的参数方程为：(为参数)，若它们总有公共点，则取值范围是___________．14．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为________15．数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，，的标准差为，数据，，，，的标准差为，则________16．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个“阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的“阶色序”.若某圆的任意两个“阶色序”均不相同，则称该圆为“阶魅力圆”.“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示年份2010+x（年）01234人口数y（十万）5781119(1)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；(2)据此估计2015年该城市人口总数．18．（12分）已知函数，且.（Ⅰ）若是偶函数，当时，，求时，的表达式；（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的值域为，求a的取值范围．20．（12分）如图，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到的距离分别为4公里和5公里.（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）21．（12分）设函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围.22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A（2，1）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程．（2）求｜AP｜•｜AQ｜的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数．【题目详解】对于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定义域为R，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，当x＜0时，由y＝2x，y＝﹣2﹣x递增，可得在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递增，故A正确；y＝f（x）＝x2+1满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故B不满足条件；y＝f（x）＝（）|x|满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，故C不满足题意；y为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f（x）单调递减，故D不满足题意．故选：A．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．2、A【解题分析】

根据复数的运算法则得，即可求得其共轭复数.【题目详解】由题：，所以，所以的共轭复数为.故选：A【题目点拨】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.3、D【解题分析】分析：求出,代入回归方程计算，利用平均数公式可得出的值.详解：,,,解得，故选D.点睛：本题主要考查平均数公式的应用，线性回归方程经过样本中心的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于基础题.4、C【解题分析】考点：数学归纳法．分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．解：用数学归纳法证明：“1+a+a1+…+an+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a1．故选C．5、B【解题分析】

对的范围分类讨论，当时，函数在上递增，在上递减，即可判断：、，，使得成立.当时，函数在上单调递增，即可判断：一定不存在、，，使得成立，问题得解.【题目详解】当时，，函数在上递增，在上递减，则：、，，使得成立.当时，，函数在上递增，在也递增，又，所以函数在上单调递增，此时一定不存在、，，使得成立.故选：B【题目点拨】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。6、C【解题分析】

求导，把分别代入导函数和原函数，得到斜率和切点，再计算切线方程.【题目详解】将代入导函数方程，得到将代入曲线方程，得到切点为：切线方程为：故答案选C【题目点拨】本题考查了曲线的切线，意在考查学生的计算能力.7、A【解题分析】

求出导函数，导函数为奇函数的符合题意．【题目详解】A中f'(x)=-3sinx为奇函数，B中f'(x)=3x2+2x非奇非偶函数，C中f'(x)=2故选A．【题目点拨】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性．解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质．8、B【解题分析】

根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【题目详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【题目点拨】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.9、D【解题分析】由题意得，函数的图象关于点对称，则，即，解得，所以，则，令，解得或，当，则，函数单调递减，当，则，函数单调递增，所以，，所以函数的值域为，故选D.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，其中解答中根据函数的图象关于点对称，列出方程组，求的得值是解得关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.10、D【解题分析】

设事件发生一次的概率为，根据二项分布求出随机事件恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的概率，建立的不等式关系，求解即可.【题目详解】设事件发生一次的概率为，则事件的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得，所以.又，故.故选:D.【题目点拨】本题考查独立重复试验、二项分布概率问题，属于基础题.11、A【解题分析】

根据二项式定理展开式的通项公式，求出m，n的值，即可求出k的值．【题目详解】展开式的通项公式为Tt+1＝x5﹣t（2y）t＝2tx5﹣tyt，∵kxmyn（k是实常数）是二项式（x﹣2y）5的展开式中的一项，∴m+n＝5，又m＝n+1，∴得m＝3，n＝2，则t＝n＝2，则k＝2t224×10＝40，故选A．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m，n的值是解决本题的关键．12、B【解题分析】,所以选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点，对判别式进行计算即可.【题目详解】直线l的参数方程为（t为参数），消去t化为普通方程为ax﹣y﹣1＝0，且,椭圆C的参数方程为：（θ为参数），消去参数化为．联立直线与椭圆，消y整理得，若它们总有公共点，则，解得且,故答案为．【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．14、【解题分析】

通过中点坐标公式，把点的坐标转移到上，把点的坐标代入曲线方程，整理可得点的轨迹方程。【题目详解】设点的坐标为，点，因为点是线段的中点，所以解得，把点的坐标代入曲线方程可得，整理得，所以点的轨迹方程为故答案为：【题目点拨】本题考查中点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题。15、2【解题分析】

根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果.【题目详解】因为数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，所以，因此，即故答案为：2【题目点拨】本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题.16、1【解题分析】分析：由题意可得，“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种，从两个方面进行了论证，即可得到答案．详解：“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种，一方面，n个点可以构成n个“4阶色序”，故“4阶魅力圆”中的等分点的个数不多于1个；另一方面，若n=1，则必需包含全部共1个“4阶色序”，不妨从（红，红，红，红）开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，红，红，蓝，红，蓝”符合条件．故“4阶魅力圆”中最多可有1个等分点．故答案为：1．点睛：本题主要考查合情推理的问题，解题的关键分清题目所包含的条件，读懂已知条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）196万.【解题分析】试题分析：（1）先求出五对数据的平均数，求出年份和人口数的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出a的值，从而得到线性回归方程；（2）把x=5代入线性回归方程，得到，即2015年该城市人口数大约为19.6（十万）.试题解析：解：（1），=0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132，=故y关于x的线性回归方程为（2）当x=5时，，即据此估计2015年该城市人口总数约为196万.考点：线性回归方程.18、(1)见解析;(2).【解题分析】分析：⑴根据偶函数性质，当时，，求出表达式⑵复合函数同增异减，并且满足定义域详解：（Ⅰ）∵是偶函数，所以，又当时，∴当时，，∴，所以当时，.（Ⅱ）因为在上是减函数，要使在有意义，且为减函数，则需满足解得,∴所求实数的取值范围为.点睛：本题主要考查了复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数范围。19、（1）增区间是，单调减区间是；（2）或【解题分析】

（1）利用导数求出的单调区间以及，时的范围，即可得到函数的单调区间；（2）先利用有解求出的大致范围，再证明在该范围内即可。【题目详解】（1）当，，所以，由于，可得．当时，，是减函数；当时，，是增函数；因为当时，；当时，所以函数的单调增区间是，单调减区间是（2）由题意知必有解，即有解，所以，即直线与曲线有交点．则，令得和；令得和．所以和，为增函数；和，为减函数．，当时，恒成立；所以时，；当时，，所以时，；，即时，，的图像如图所示．直线与曲线有交点，即或，所以或，下证，先证，设，则，当时，，函数h（x）单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即；当时，若，因为在时的值域是，又因为函数连续，所以：；当时，若，，当时，，时；所以时，又因为函数连续，所以，综上，或．【题目点拨】本题考查导数在函数研究中的应用，综合性强，属于中档题。20、（1）（；（2）.【解题分析】

（1）以垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为，由圆心到两点的距离相等求出，即圆心坐标，再求出半径，可得圆方程，圆弧方程在圆方程中对变量加以限制即可。（2）设校址坐标为，，根据条件列出不等式，由函数单调性求最值解决恒成立问题。【题目详解】（1）以直线为轴，为轴，建立如图所求的直角坐标系，则，，设圆心为，则，解得。即，圆半径为，∴圆方程为，∴铁路线所在圆弧的方程为（。（2）设校址为，，是铁路上任一点，则对恒成立，即对恒成立，整理得对恒成立，记，∵，∴，在上是减函数，∴，即，解得。即校址距点最短距离是。【题目点拨】本题考查求点的轨迹方程、求圆的方程，考查不等式恒成立问题。不等式恒成立可转化为通过求函数的最值得以解决，属于中档题。21、(1)(2)【解题分析】

（1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集；（2）因为，得，再利用绝对值的定义，去掉绝对值号，即可求解。【题目详解】（1）因为，所以的解集为.（2）因为，所以，即，则，所以.