2024届河南省郸城县第二高级中学高二数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届河南省郸城县第二高级中学高二数学第二学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A． B． C． D．2．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A． B． C． D．3．设，，，……，，，则（）A． B． C． D．4．如果，则的解析式为（）A． B．C． D．5．从5名男公务员和4名女公务员中选出3人，分别派到西部的三个不同地区，要求3人中既有男公务员又有女公务员，则不同的选派议程种数是（）A．70 B．140 C．420 D．8406．将点的直角坐标(－2，2)化成极坐标得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2，类似地不难得到＝（）A． B．C． D．8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A． B． C． D．9．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）10．若函数在处取得极小值，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．611．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（）A． B． C． D．12．若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f(x)=ex+x3，若f(14．若，则的定义域为____________.15．已知函数，则函数的最大值为__________．16．设定义域为的偶函数满足，当时，，若关于的方程恰有两个根，则实数的取值范围为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵若,函数在上的最小值是2,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.18．（12分）已知函数．Ⅰ求函数的定义域；Ⅱ求满足的实数的取值范围．19．（12分）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.（1）求圆的标准方程：（2）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，请说明理由.20．（12分）已知函数f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)求证ln(n＋1)>(n∈N*)．21．（12分）已知数列{an+1﹣an}是首项为，公比为的等比数列，a1＝1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（3n﹣1）•an}的前n项和Sn．22．（10分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【题目详解】则．故选C．【题目点拨】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2、D【解题分析】试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为f(2)=8-e2,0<8-e2<1，所以排除A,B选项；当x∈[0,2]时，y'=4x-ex有一零点，设为3、B【解题分析】

根据题意，依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得fn+4（x）＝fn（x），据此可得f2019（x）＝f3（x），即可得答案．【题目详解】根据题意，＝sinx，f1（x）＝＝cosx，f2（x）＝＝﹣sinx，f3（x）＝＝﹣cosx，f4（x）＝＝sinx，则有f1（x）＝f4（x），f2（x）＝f5（x），……则有fn+4（x）＝fn（x），则f2019（x）＝f3（x）＝﹣cosx；故选：B．【题目点拨】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式．4、C【解题分析】

根据配凑法，即可求得的解析式，注意定义域的范围即可．【题目详解】因为，即令，则，即所以选C【题目点拨】本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题．5、C【解题分析】

试题分析：先分组：“个男个女”或“个女个男”，第一种方法数有，第二种方法数有.然后派到西部不同的地区，方法数有种.考点：排列组合.6、A【解题分析】

由条件求得、、的值，可得的值，从而可得极坐标.【题目详解】∵点的直角坐标∴，，∴可取∴直角坐标化成极坐标为故选A.【题目点拨】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用、、(由所在象限确定).7、C【解题分析】

根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【题目详解】令，即，即，解得(舍)，故故选：C【题目点拨】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.8、B【解题分析】

由条件概率的定义，分别计算即得解.【题目详解】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.9、B【解题分析】

先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【题目详解】当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），则当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，则不等式logax≥1不成立，当a＞1时，则由logax≥1=logaa，则a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．10、B【解题分析】

先对函数求导，根据题意，得到，再用导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果.【题目详解】因为，所以，又函数在处取得极小值，所以，所以，因此，由得；由得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以；故选B【题目点拨】本题主要考查导数的应用，根据导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.11、D【解题分析】

首先根据三角函数的定义求出，再求即可.【题目详解】，.故选：D【题目点拨】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查三角函数的定义，属于简单题.12、C【解题分析】试题分析：因为,所以四边形ABCD为平行四边形，又因为,所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(1,2)【解题分析】因为f'(x)=ex+3x2>0，所以函数f(x)为增函数，所以不等式14、【解题分析】

根据幂函数和对数函数的性质即可求得．【题目详解】由题解得【题目点拨】本题考查函数定义域，属于基础题．15、【解题分析】

对求导，然后令，判断的单调性，再根据的值确定函数的最大值．【题目详解】，，令，，，令，则，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在，上单调递增，函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，当，即，时，，函数的最大值为．故答案为．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和三角函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．16、【解题分析】

根据满足，得到的周期是4，再根据方程恰有两个根，转化为两个函数图象交点问题求解.【题目详解】因为满足，所以，所以函数的周期是4，又因为是偶函数，且当时，，作出的图象，如图所示：已知，所以，当时，，，当时，，，因为关于的方程恰有两个根，所以实数的取值范围为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)=-2ln2+ln3【解题分析】

导数部分的高考题型主要表现在：利用导数研究函数的性质，高考对这一知识点考查的要求是：理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．⑴∵,∴当时,;当x<0时,∴当x>0时,;当时,∴当时,函数⑵∵由⑴知当时,,∴当时,当且仅当时取等号∴函数在上的最小值是,∴依题意得，∴；⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=-2ln2+ln318、Ⅰ，或；Ⅱ.【解题分析】

Ⅰ由函数的解析式可得，解一元二次不等式，求出的范围，从而可得结果；Ⅱ由，可得，结合对数函数的定义域可得，，解一元二次不等式组，可求得实数的取值范围．【题目详解】Ⅰ对于函数，应有，求得，或，故该函数的定义域为，或．Ⅱ，即，，即，求得或，即实数x的取值范围为．【题目点拨】本题主要考查对数函数的定义域，对数的运算以及利用一元二次不等式的解法不等式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．19、(1).(2)不存在这样的直线.【解题分析】

试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知解得a=1或a=，又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=1．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l与圆C相交于不同的两点，联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k-2)2-21(1+k2)=3k2-6k-5>0，解得或．x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2)+6=，，，假设∥，则，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.20、（1）最小值为f(1)＝1.（2）a<.（3）见解析【解题分析】试题分析：（1）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，即时命题成立；设当n=k时，命题成立，即成立，再去证明n=k+1时，成立即可（需用好归纳假设）．试题解析：（1），定义域为．在上是增函数．．（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解．即有的解当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．或：有的解即有的解，即有的解，的最大值，（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，．，．(法二)当时，．，，即时命题成立．设当时，命题成立，即．时，．根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．考点：1．利用导数求闭区间上函数的最值；2．利用导数研究函数的单调性；3．数学归纳法．21、（Ⅰ）an＝；（Ⅱ）Snn（3n+1）+5﹣（3n+5）•（）n．【解题分析】

（Ⅰ）先求{an+1﹣an}的通项公式，再利用迭代法可得通项公式；（Ⅱ）根据通项公式的特点，利用分组