东莞市重点中学2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

东莞市重点中学2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．2．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种3．设函数f(x)＝axA．193 B．163 C．134．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（）A．72种 B．52种 C．36种 D．24种5．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A． B． C． D．7．如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为A． B． C． D．8．设是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件9．用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是（）A．在上没有零点 B．在上至少有一个零点C．在上恰好有两个零点 D．在上至少有两个零点10．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A． B． C． D．11．抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．12．在的展开式中，的系数是（）A． B． C．5 D．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，且函数为奇函数，则________.14．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，代表“生活不能自理”，按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，则被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为___15．在的二项展开式中，常数项为________（结果用数值表示）16．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，．(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P(2,6)，且倾斜角为34π，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于点A,B，求|PA|+|PB|．19．（12分）在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）（1）求证：当时，；（2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.21．（12分）已知函数.（1）画出函数的大致图象，并写出的值域；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.22．（10分）统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较，环比是指本期统计数据与上期比较，如年月与年月相比，同比是指本期数据与历史同时期比较，如年月与年月相比.环比增长率（本期数上期数）上期数，同比增长率（本期数同期数）同期数.下表是某地区近个月来的消费者信心指数的统计数据：序号时间年月年月年月年月年月年月年月年月消费者信心指数2017年月年月年月年月年月年月年月年月年月求该地区年月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）；除年月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？由以上数据可判断，序号与该地区消费者信心指数具有线性相关关系，写出关于的线性回归方程（，保留位小数），并依此预测该地区年月的消费者信心指数（结果保留位小数，参考数据与公式：，，，，）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【题目详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【题目点拨】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2、C【解题分析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有种.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.3、D【解题分析】

由题，求导，将x=-1代入可得答案.【题目详解】函数f(x)的导函数f'(x)=3ax解得a=10故选D【题目点拨】本题考查了函数的求导，属于基础题.4、C【解题分析】

当丙在第一或第五位置时，有种排法；当丙在第二或第四位置时，有种排法；当丙在第三或位置时，有种排法；则不同的排法种数为36种.5、A【解题分析】，所以，选A.6、D【解题分析】

是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【题目点拨】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.7、A【解题分析】

取BD中点,可证，为直线AC与底面BCD所成角。【题目详解】取BD中点，由，，又侧面底面BCD，所以。所以为直线AC与底面BCD所成角。,所以。选A.【题目点拨】本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角。8、B【解题分析】

求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【题目详解】解：设是实数，若“”则：，即：，不能推出“”若：“”则：，即：，能推出“”由充要条件的定义可知：是实数，则“”是“”的必要不充分条件；故选：B．【题目点拨】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9、D【解题分析】分析：利用反证法证明，假设一定是原命题的完全否定，从而可得结果.详解：因为“至多有一个”的否定是“至少有两个”，所以用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是在上至少有两个零点，故选D.点睛：反证法的适用范围是，（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．10、C【解题分析】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．11、D【解题分析】根据题意，抛物线y=4x2的标准方程为x2=，其焦点在y轴正半轴上，且p=，则其准线方程为y=﹣；故选：D．12、A【解题分析】

由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【题目详解】因为的展开式的通项为，令，则的系数是.故选A【题目点拨】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据奇函数求值.【题目详解】因为为奇函数令，故.【题目点拨】本题考查根据函数奇偶性求值，属于基础题.14、【解题分析】

先确定抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数，再根据古典概型概率求解.【题目详解】因为350人中健康指数大于0和不大于0各有280，70人，所以根据分层抽样抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数分别为4，1；因此被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为故答案为：【题目点拨】本题考查分层抽样以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.15、【解题分析】

利用二项展开式的通项公式Tr+1中x的幂指数为0即可求得答案．【题目详解】，令＝0，得：r＝3，所以常数项为：＝20,故答案为20.【题目点拨】本题考查二项式展开式中的特定项，利用其二项展开式的通项公式求得r＝3是关键，考查运算能力，属于中档题．16、【解题分析】

利用间接法，计算取3张卡片的总数，然后分别计算取3张同色，2张红色的方法数，最后做差，可得结果.【题目详解】由题可知：16张取3张卡片的所有结果为取到3张都是同色的结果数为取到2张都是红色的结果数为.故答案为：【题目点拨】本题考查组合的应用，巧用间接法，审清题意，细心计算，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，(2)【解题分析】

(1)根据题干解不等式得到，，再由集合的交并补运算得到结果；（2）由(1)知，若，分C为空集和非空两种情况得到结果即可.【题目详解】(1)因为，即，所以，所以，因为，即，所以，所以，所以．，所以．(2)由(1)知，若，当C为空集时，.当C为非空集合时，可得.综上所述.【题目点拨】这个题目考查了集合的交集以及补集运算，涉及到指数不等式的运算，也涉及已知两个集合的包含关系，求参的问题；其中已知两个集合的包含关系求参问题，首先要考虑其中一个集合为空集的情况.18、（1）x=2-22ty=6+2【解题分析】试题分析：（1）将代入直线的标准参数方程x=x0+tcosθy=y0+tsinθ，便可求得参数方程，利用二倍角公式对试题解析：（1）因为直线l过点P(2,6)，且倾斜角为3π4所以直线l的参数方程为x=2-22t由ρ=20sin(π所以曲线C的直角坐标方程为x2（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(-3-22t)Δ=82>0，可设t1,t又直线l过点P(2,6)，所以|PA|+|PB|=|t考点：直角坐标与极坐标的转换，点到直线的距离.【思路点睛】直角坐标系与极坐标系转化时满足关系式，即，代入直角坐标方程，进行化简可求极坐标方程；对于三角形的最大面积，因为底边已知，所以只要求得底边上的高线的最大值，即可求得最大面积，在求圆上点到直线的距离时，可以用公式法求，即圆心到直线的距离再加上半径，也可以用参数法，距离关于的函数的最值.19、在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．【解题分析】

先完成列联表，计算的观测值，对照表格数据即可得结论【题目详解】由已知条件得列联表如下：药物处理未经药物处理合计青花病25185210无青花病60200260合计85385470提出假设：经过药物处理跟发生青花病无关系．根据列联表中的数据，可以求得的观测值.因为当成立时，的概率约为0.005，而此时，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．【题目点拨】本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题20、（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析.【解题分析】

（1）利用综合法证明即可；（2）利用反证法证明，假设是同一个等差数列中的三项，分别设为am，an，ap，推出为无理数，又为有理数，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项．【题目详解】解：（1）∵（）2＝2a+2•，0，0且a+2≠a﹣2，∴，∴2（2）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为am，an，ap，则为无理数，又为有理数，矛盾．所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项．【题目点拨】反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设；②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．21、（1）作图见解析；值域为（2）【解题分析】

（1）将转化为分段函数，即可画出函数图象；（2）根据（1）求得分段函数，可得分段函数表达式，画出其函数图象，求得，即可求得实数的取值范围.【题目详解】（1）∵，∴的图象的图像如图，的值域为.根据图象可得：的值域为.（2）由（1）得，画出其函数图象：根据其分段函数图象特征可得:，由关于的不等式有解等价于，即.【题目点拨】本题主要考查了求分段函数的值域和根据不等式有解求参数范围问