2024届吉林省吉林市长春汽车经济开发区第六中学数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届吉林省吉林市长春汽车经济开发区第六中学数学高二下期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足，则z的共轭复数（）A．i B． C． D．2．已知变量x，y呈现线性相关关系，回归方程为，则变量x，y是（）A．线性正相关关系 B．线性负相关关系C．由回归方程无法判断其正负相关关系 D．不存在线性相关关系3．已知是虚数单位，则（）A． B． C． D．4．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．5．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（）A． B． C． D．6．已知为虚数单位，则复数=（）A． B． C． D．7．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．8．若a=72-12，b=27A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b9．由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是（）A．144 B．192 C．216 D．24010．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆+y2=1和双曲线-y2=1，P是它们的一个交点，则ΔF1PF2的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝有三角形 D．等腰三角形11．抛物线上的点到定点和定直线的距离相等，则的值等于（）A． B． C．16 D．12．自2020年起,高考成绩由“”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是______．14．设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_____．15．已知曲线在点处的切线为，则点的坐标为__________．16．对于自然数方幂和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，将上面各式左右两边分别，就会有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，类比以上过程可以求得，A，B，C，D，E，FR且与n无关，则A＋F的值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．18．（12分）已知等式.（1）求的展开式中项的系数，并化简：；（2）证明：（ⅰ）；（ⅱ）.19．（12分）设函数.（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.20．（12分）已知抛物线：的焦点为，过作互相垂直的直线,分别与交于点、和、.（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21．（12分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22．（10分）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若的极小值点，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由条件求出z，可得复数z的共轭复数．【题目详解】∵z（1+i）＝1﹣i，∴zi，∴z的共轭复数为i，故选A．【题目点拨】本题主要考查共轭复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2、B【解题分析】

根据变量x，y的线性回归方程的系数0，判断变量x，y是线性负相关关系．【题目详解】根据变量x，y的线性回归方程是1﹣2x，回归系数2＜0，所以变量x，y是线性负相关关系．故选：B．【题目点拨】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．3、B【解题分析】

根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【题目详解】.故选B【题目点拨】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.4、A【解题分析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【题目点拨】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.5、B【解题分析】试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:,故选B.考点：独立事件概率计算.6、A【解题分析】

根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【题目详解】由复数的运算，可得复数，故选A.【题目点拨】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、C【解题分析】

根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.【题目详解】如图：抛物线的准线方程为，焦点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得,圆的圆心为，半径，可得的最大值为，由，可令，则，即，可得：，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值为故选：C【题目点拨】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.8、D【解题分析】

利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解.【题目详解】因为27-1故选：D【题目点拨】本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、C【解题分析】

由题意可得，满足条件的五位数，个位数字只能是0或5，分别求出个位数字是0或5时，所包含的情况，即可得到结果.【题目详解】因为由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字且能被5整除的5位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0；当个位数字是0时，共有种可能；当个位数字是5时，共有种情况；因此，由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的5位数的个数是个.故选C【题目点拨】本题主要考查排列的问题，根据特殊问题优先考虑的原则，即可求解，属于常考题型.10、B【解题分析】根据椭圆和双曲线定义：又；故选B11、C【解题分析】

根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，进而根据定点坐标求得．【题目详解】根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，且，，解得：.故选：C.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，考查对概念的理解，属于容易题．12、D【解题分析】分析：直接利用组合数进行计算即可.详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为种.故选D.点睛：本题考查组合的应用，属基础题..二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】设切点为，又，所以切点为（0,1）代入直线得b=114、【解题分析】

由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【题目详解】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.，即函数在上的最小值为-1.函数为直线，当时，，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.故实数m的取值范围是.【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.15、.【解题分析】分析：设切点坐标为，求得，利用且可得结果.详解：设切点坐标为，由得，，，即，故答案为.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求切点即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.16、.【解题分析】分析：先根据推导过程确定A,F取法，即得A＋F的值.详解：因为,，所以,所以,,所以.点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)证明见解析.【解题分析】解：(1)方程7x－4y－12＝1可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)证明：设P(x1，y1)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x1，y1)处的切线方程为y－y1＝(1＋)·(x－x1)，即y－(x1－)＝(1＋)(x－x1)．令x＝1得，y＝－，从而得切线与直线x＝1，交点坐标为(1，－)．令y＝x，得y＝x＝2x1，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x1,2x1)．所以点P(x1，y1)处的切线与直线x＝1，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x1|＝2．曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为2．18、（1）；（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析.【解题分析】

（1）的展开式中含的项的系数为，二项式定理展开，展开得到含项的系数，利用，即可证明；（2）（ⅰ）用组合数的阶乘公式证明；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论和组合数的性质得到，最后结合（1）的结论证明.【题目详解】（1）的展开式中含的项的系数为由可知的展开式中含的项的系数为，，；（2）（ⅰ）当时，；（ⅱ）由（1）知，，.【题目点拨】本题考查二项式定理和二项式系数和组合数的关系，以及组合数公式的证明，意在考查变形，转化，推理，证明的能力，属于难题，本题的（ⅱ）的关键步骤是这一步用到了（ⅰ）的结论和组合数的性质.19、（1）（2）【解题分析】

（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值转化为或或求解.（2）由（1）函数的最小值为2，得到，再由柯西不等式求的最小值.【题目详解】（1）原不等式等价于：或或，解得或，所以不等式的解集是.（2）由（1）函数的最小值为2，所以，所以，所以，所以，当且仅当时，取等号.所以的最小值是.【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的解法和柯西不等式求最值，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）（2）存在，使得恒成立，详见解析【解题分析】

（1）由题意可设的方程为，代入可得，通过韦达定理与中点坐标公式求出的中点坐标，即圆心坐标，由焦点弦公式求出直径，进而得出答案。（2））假设存在常数，设直线的方程为，则直线的方程为．将的方程代入得：，利用韦达定理与弦长公式可得，，列式解出常数【题目详解】解：（1）由题意可设的方程为，代入可得．所以，由韦达定理得，所以所以的中点坐标为，即圆心坐标为又，所以半径所以以为直径的圆的方程为．（2）假设存在常数，使得恒成立．设直线的方程为，则直线的方程为．将的方程代入得：．由韦达定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【题目点拨】本类题型常用的方法是设而不求法，即设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理，弦长公式等结合题意解答。21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）通过证明，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值.【题目详解】（1）平面，平面，所以，由已知条件得：，，所以平面.（2）由（1）结合已知条件以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则：各点坐标为，，，，，所以，，，，，设是平面的一个法向量，则，即：，取，则得：，同理可求：平面的一个法向量.设：平面和平面成角为，则.【题目点拨】此题考查线面垂直的证明和求二面角的余弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，根据法向量的关系求解二面角的余弦值.22、（1）单调减区间为，单调增区间为（2）【解题分析】

(1)将参数值代入得到函数的表达式，将原函数求导得到导函数，根据导函数的正负得到函数的单调区间；（2），因为是的极小值点，所以，得到；分情况讨论，每种情况下是否满足x=1是函数的极值，进而得到结果.【题目详解】（1）由题由，得由，得；由，得的单调减区间为，单调增区间为（2），因为是的极小值点，所以，即，所以1°当时，在上单调递减；在