2024届陕西省渭南市潼关县数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2024届陕西省渭南市潼关县数学高二下期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24 B． C．64 D．2．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．3．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．4．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（）A．B．C．D．5．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（）A．种 B．种 C．种 D．种6．设i是虚数单位，则复数的虚部是（）A． B．2 C． D．7．某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为108．设，则（）A． B． C． D．9．已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知，则（）附：若，则，A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.022811．曲线在处的切线与直线垂直，则（）A．-2 B．2 C．-1 D．112．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若，则________14．下图三角形数阵为杨辉三角：按照图中排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为______（用含的多项式表示）．15．的展开式中，的系数是___．（用数字填写答案）16．已知圆C1：，圆C2：，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为轴上的动点，则的最小值_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）用0，1，2，3，4五个数字组成五位数.（1）求没有重复数字的五位数的个数；（2）求没有重复数字的五位偶数的个数.18．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线相切．（1）求与；（2）设该椭圆的左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点．求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型．19．（12分）已知复数满足：，且在复平面内对应的点位于第三象限.（I）求复数；（Ⅱ）设，且，求实数的值.20．（12分）已知抛物线与椭圆有共同的焦点，过点的直线与抛物线交于两点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若，求直线的方程.21．（12分）选修4-5：不等式选讲设的最小值为.（1）求实数的值；（2）设，，，求证：.22．（10分）已知数列满足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为．故侧面积为．即需要的茅草面积至少为．选B．2、D【解题分析】

先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【题目详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【题目点拨】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．3、D【解题分析】

构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.【题目详解】构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项.由得，即，排除B选项.由得，即，排除C，选项.由得，即，D选项正确，故选D.【题目点拨】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.4、B【解题分析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是，所以，故选B.5、B【解题分析】

直接根据乘法原理计算得到答案.【题目详解】每个学生有3种选择，根据乘法原理共有种不同方法.故选：.【题目点拨】本题考查了乘法原理，属于简单题.6、B【解题分析】

利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【题目详解】，因此，该复数的虚部为，故选B.【题目点拨】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.7、B【解题分析】分析：根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，从而即可选出答案.详解：密度函数，该市这次考试的数学平均成绩为80分该市这次考试的数学标准差为10，从图形上看，它关于直线对称，且50与110也关于直线对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解.8、A【解题分析】

利用指数与对数函数的单调性即可得出．【题目详解】因为，，所以，故选A.【题目点拨】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9、C【解题分析】当时，画出函数图像如下图所示，由图可知，无解，不符合题意，故排除两个选项.当时，画图函数图像如下图所示，由图可知，或，解得不符合题意，故排除选项，选.点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查复合函数的研究方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点问题题.题目所给的分段函数当时，图像是确定的，当时，图像是含有参数的，所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中，围绕的解的个数来进行.10、D【解题分析】

由随机变量，所以正态分布曲线关于对称，再利用原则，结合图象得到.【题目详解】因为，所以，所以，即，所以.选D．【题目点拨】本题主要考查正态分布曲线及原则，考查正态分布曲线图象的对称性.11、B【解题分析】分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.详解：由题可知：切线的斜率为：由切线与直线垂直，故，故选B.点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题.12、B【解题分析】根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列。可得从第11项到20项为60，72,84,98,112,128,144,162,180,200.所以此数列第20项为200.故选B。【题目点拨】从前10个数观察增长的规律。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

考虑的奇偶性，利用奇偶性解决问题.【题目详解】令，则有，且定义域为，关于原点对称，所以是奇函数，则，即，所以.【题目点拨】本题考查类奇偶函数的运用，难度较易.关键是先构造出奇偶函数，然后利用新函数的值去分析结果.14、【解题分析】

按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…找到规律及可求出。【题目详解】按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，则第行（）从左向右的第3个数为。【题目点拨】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题。15、28【解题分析】分析：由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数，先写出二项式的通项，使得变量x的指数等于5，解出r的值，把r的值代入通项得到这一项的系数．详解：要求x5的系数，

∴8-=5，

∴r=2，

∴x5的系数是（-1）2C82=28，

故答案为28点睛：本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的通项，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．16、【解题分析】

求出圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到的最小值.【题目详解】如图所示，圆关于轴对称圆的圆心坐标，以及半径，圆的圆心坐标为，半径为，所以的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即.【题目点拨】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把的最小值转化为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）96（2）60【解题分析】分析：（1）首位有种选法，后四位所剩四个数任意排列有种方法根据分部乘法计数原理，可求没有重复数字的五位数的个数；（2）由题意，分2类：末尾是0的五位偶数；末尾不是0的五位偶数，最后根据分类加法计数原理，可求没有重复数字的五位偶数个数.详解：（I）首位有种选法，后四位所剩四个数任意排列有种方法根据分部乘法计数原理，所求五位数个数为（II）由题意，分2类末尾是0的五位偶数个数有个末尾不是0的五位偶数个数有个∴根据分类加法计数原理，没有重复数字的五位偶数个数为个点睛：本题考查排列组合知识的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．18、（1），．（2），该曲线为抛物线（除掉原点）．【解题分析】

（1）由题可知，直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径，结合离心率，即可求出与.（2）求出焦点坐标，设点坐标，从而得出的坐标，同时设，利用垂直关系可得出关于的式子即为的轨迹方程.【题目详解】解：（1），，．（2），两点分别为，，由题意可设那么线段中点为，设是所求轨迹上的任意点由于，即，所以．又因为，消参得轨迹方程为.该曲线为抛物线（除掉原点）．【题目点拨】本题主要考查椭圆的简单几何性质，包括离心率、短半轴长、焦点坐标，还涉及中点坐标公式，以及两直线垂直时斜率相乘为-1，还利用消参法求动点的轨迹方程.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（I）设,利用复数相等的概念求出复数z;（Ⅱ）先计算出，再求a的值.【题目详解】解；（Ⅰ）设，则，解得或（舍去）..（Ⅱ），，，.【题目点拨】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、(Ⅰ)抛物线的方程为;(Ⅱ)直线的方程为或.【解题分析】分析：(Ⅰ)由题意可知椭圆的焦点坐标为,则,抛物线的方程为.(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为．联立直线方程与抛物线方程可得,结合韦达定理可得则,解得．直线的方程为或．详解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点坐标为,而抛物线与椭圆有共同的焦点，所以,解得，所以抛物线的方程为.(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为．联立,整理得,由题意,,所以或．则.则,.则又已知,所以,解得．所以直线的方程为或．化简得直线的方程为或．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21、（1）；（2）见详解.【解题分析】

(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.【题目详解】（1）当时，取得最小值，即.