2024届山东省邹平县黄山中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届山东省邹平县黄山中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点到平面的距离B．直线与平面所成的角C．三棱锥的体积D．△的面积2．不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列3．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A． B．与所成角为C．平面 D．与平面所成角的余弦值为5．设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则6．已知m＞0，n＞0，向量则的最小值是（

）A． B．2 C． D．7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度8．只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A． B． C． D．9．如图所示十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线有()A．24种 B．16种 C．12种 D．10种10．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20B．24C．16D．11．函数在区间上的最大值是（）A． B． C． D．12．记为等比数列的前项和.若，，则（）A．2 B．-4 C．2或-4 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设集合，，则_______.14．已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点，则其焦点到准线的距离为________.15．已知函数,若存在实数，满足，且，则的取值范围是______________.16．用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数的图象与轴__________”．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，且对任意,恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．18．（12分）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为，某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.19．（12分）已知，是正数，求证：.20．（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.21．（12分）设等差数列的前项和为，是等比数列，且，，，，是否存在，使，且？若存在，求的值．若不存在，则说明理由．22．（10分）设函数.（1）求该函数的单调区间;（2）求该函数在上的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.考点：空间点线面位置关系.2、B【解题分析】由已知条件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.3、A【解题分析】分析：利用祖暅原理分析判断即可.详解：设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，根据祖暅原理可知，p是q的充分不必要条件.故选：A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.4、C【解题分析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【题目详解】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），2≠0，∴A1E与BF不垂直，故A错误；（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），cos，0，∴A1F与BD所成角为90°，故B错误；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，﹣2），•0，0，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故C正确；（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），设A1F与平面ABCD所成角为θ，则sinθ，∴cosθ．∴A1F与平面ABCD所成角的余弦值为，故D错误．故选：C．【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5、C【解题分析】试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C选项，，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.6、C【解题分析】分析：利用向量的数量积为0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m＞0，n＞0，向量，可得，则，当且仅当时，表达式取得最小值.故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．7、B【解题分析】

由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【题目详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.【题目点拨】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.8、B【解题分析】

以重复使用的数字为数字为例，采用插空法可确定符合题意的五位数的个数；重复使用每个数字的五位数个数一样多，通过倍数关系求得结果.【题目详解】当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同满足题意的五位数共有：个本题正确选项：【题目点拨】本题考查排列组合知识的综合应用，关键是能够明确不相邻的问题采用插空法的方式来进行求解；易错点是在插空时，忽略数字相同时无顺序问题，从而错误的选择排列来进行求解.9、C【解题分析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有种，故选C.10、A【解题分析】试题分析：该几何体为一个正方体截去三棱台，如图所示，截面图形为等腰梯形，，梯形的高，，所以该几何体的表面积为，故选A．考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积．11、B【解题分析】

函数，，令，解得x．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数的单调性．【题目详解】函数，，令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．【题目点拨】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.12、B【解题分析】

利用等比数列的前项和公式求出公比，由此能求出结果．【题目详解】∵为等比数列的前项和，，，∴，解得，∴，故选B．【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质以及其的前项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

解出集合中的方程，然后直接求【题目详解】解：由已知，故答案为：【题目点拨】本题考查集合的交集运算，是基础题.14、【解题分析】

根据抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，且过点,可以设出抛物线的标准方程,代入后可计算得,再根据抛物线的几何性质可得答案.【题目详解】因为抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，且过点,所以可设抛物线的标准方程为:,将代入可得,解得,所以抛物线的焦点到准线的距离为.故答案为:.【题目点拨】本题考查了求抛物线的标准方程,考查了抛物线的焦准距,属于基础题.15、【解题分析】

根据函数的性质得出之间的关系，从而可求得取值范围．【题目详解】设，则与的图象的交点的横坐标依次为（如图），∵，且，，∴，，∴，，∴，∵，∴，故答案为．【题目点拨】本题考查函数零点与方程根的分布，解题关键是确定之间的关系及范围．如本题中可结合图象及函数解析式得出．16、至少有个交点【解题分析】分析：反证法证明命题，只否定结论，条件不变。详解：命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，结论的反面为“与轴至少有个交点”。点睛：反证法证明命题，只否定结论，条件不变，至多只有个理解为，故否定为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析.【解题分析】试题分析：（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点．（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.试题解析：（1），当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（2）∵函数在处取得极值，∴，∴，令，，可得在上递减，在上递增，∴，即．（3）证明：，令，则只要证明在上单调递增，又∵，显然函数在上单调递增．∴，即，∴在上单调递增，即，∴当时，有．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．18、（1）（2）见解析，【解题分析】

设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，可得，.（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出．（2）的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，，，，，，，，，，利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出概率、分布列及其数学期望．【题目详解】解：设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件A表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，，∴的分布列为：01234所以【题目点拨】本题考查了用频率估计概率、随机变量的数学期望、二项分布列的性质、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、见证明【解题分析】

运用基本不等式即可证明【题目详解】证明：因为，是正数，所以.所以.即.当且仅当，时取等号【题目点拨】本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件20、（1）增区间为，减区间为；（2）【解题分析】

（1）将