2024届重庆市綦江区实验中学数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届重庆市綦江区实验中学数学高二第二学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若角是第四象限角，满足，则（）A． B． C． D．3．已知是虚数单位，，则计算的结果是（）A． B． C． D．4．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．若函数f(x)=(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1 B．0 C．－1 D．±16．曲线在处的切线斜率是()A． B． C． D．7．用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A． B．C．且 D．或8．已知，则（）A．18 B．24 C．36 D．569．函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．10．若偶函数满足且时,则方程的根的个数是()A．2个 B．4个 C．3个 D．多于4个11．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是A． B． C． D．12．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，若，则的取值范围是_____.14．若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，则的取值范围是__________．15．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．16．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，，（为自然对数的底数），且曲线与在坐标原点处的切线相同.（1）求的最小值；（2）若时，恒成立，试求实数的取值范围.18．（12分）甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下：甲：7876749082乙：9070758580（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.19．（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.20．（12分）已知函数．（1）若在处的切线过点，求的值；（2）若在上存在零点，求a的取值范围．21．（12分）设函数，（为常数），．曲线在点处的切线与轴平行（1）求的值；（2）求的单调区间和最小值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）选修4-5：不等式选讲已知.（1）求的解集；（2）若恒成立，求实数的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先根据“曲线存在垂直于直线的切线”求的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.【题目详解】由题得切线的斜率为2，所以因为,所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要不充分条件.故答案为B2、B【解题分析】

由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得的值．【题目详解】解：∴角满足，平方可得1+sin2，∴sin2，故选B．【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．3、A【解题分析】

根据虚数单位的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．【题目详解】解：，，故选A．【题目点拨】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4、C【解题分析】，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C．5、B【解题分析】

根据奇函数的性质，利用，代入即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，函数是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得，故选B.【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6、C【解题分析】

根据已知对求导，将代入导函数即可.【题目详解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴当时，.故选C.【题目点拨】本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.7、D【解题分析】解：因为用反证法证明“如果a>b，那么>”假设的内容应是＝或<，选D8、B【解题分析】，故，.9、B【解题分析】

先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项.【题目详解】为偶函数，舍去A;当时,舍去C；当时,舍去D；故选：B【题目点拨】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.10、B【解题分析】

在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【题目详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，，故当时，，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.【题目点拨】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11、D【解题分析】令，则在上有两个不等实根，有解，故,点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用12、C【解题分析】

由求出的范围，再由方差公式求出值．【题目详解】∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．【题目点拨】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：，即，再分类讨论求得的范围，综合可得结论．详解：函数函数，

由，可得，其中，

下面对进行分类讨论，

①时，，可以解得

②时，，可以解得综上，即答案为.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．14、【解题分析】

假设存在对称的两个点P，Q，利用两点关于直线成轴对称，可以设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数，建立关于的函数关系，求出变量的范围．【题目详解】设抛物线上关于直线对称的两相异点为、，线段PQ的中点为，设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程①判别式②．可得，，∵，∴⇒…③由②③可得，故答案为.【题目点拨】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于中档题．15、【解题分析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则．点睛:（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线可设双曲线方程为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点．16、【解题分析】

求导根据导数判断函数是单调递增的，再利用解得答案.【题目详解】当时，是定义在上的奇函数是在上单调递增故答案为【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性，单调性，判断函数在上单调递增是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）由于曲线与在坐标原点处的切线相同，即它们在原点的导数相同，，，且切点为原点，，解得.所以，当时，；当时，，所以当时，取得最小值为；（2）由（1）知，，即，从而，即.构造函数，利用导数并对分类讨论的图象与性质，由此求得实数的取值范围.试题解析：（1）因为，，依题意，，且，解得，所以，当时，；当时，.故的单调递减区间为，单调递增区间为.∴当时，取得最小值为0.（2）由（1）知，，即，从而，即.设，则，（1）当时，因为，∴（当且仅当时等号成立）此时在上单调递增，从而，即.（2）当时，由于，所以，又由（1）知，，所以，故，即.（此步也可以直接证）（3）当时，令，则，显然在上单调递增，又，，所以在上存在唯一零点，当时，，∴在上单调递减，从而，即，所以在上单调递减，从而当时，，即，不合题意.综上，实数的取值范围为.考点：函数导数与不等式、恒成立问题．【方法点晴】第一问是跟切线有关的问题，关键点在于切点和斜率，切点是坐标原点，由于两条曲线在原点的切线相同，故两个函数在原点的导数值相等，利用这两个条件联立方程组就能求出的值.第二问是利用导数来求解不等式，我们构造函数，利用导数来研究的图象与性质，含有参数，我们就需要对进行分类讨论.18、(I)茎叶图见解析；(II)甲.【解题分析】试题分析：(I)由图表给出的数据画出茎叶图；(II)根据公式求出两组数据的平均数及方差,结合计算结果,甲乙平均数相同,因此选方差较小的参加比赛.试题解析：解：（Ⅰ）用茎叶图表示如下：……3分（Ⅱ），，……7分而，……11分因为，，所以在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，所以我认为应该派甲去.…………12分考点：1.茎叶图；2.平均数与方差.【方法点晴】本题考查的是茎叶图和平均数与方差的计算,属基础题目.根据计算结果选出合适的人参加数学竞赛,其中平均数反映的是一组数据的平均水平,平均数越大,则该名学生的平均成绩越高;方差式用来描述一组数据的波动大小的指标,方差越小,说明数据波动越小,即该名学生的成绩越稳定;要求学生结合算出的数据灵活掌握.19、（1）；（2）（3），.【解题分析】

（1）根据题意求出A、B两点坐标，即得线段AB的长；（2）先列函数关系式，再根据二次函数确定最小值取法，即得t的取值范围；（3）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理求,解得C点坐标（用m表示），代入双曲线方程解得m的值和点C的坐标.【题目详解】（1）因为，所以令得（2）,设，则由题意得时取最小值，所以（3）由，得，设，则，所以，因为在上，所以因为点C在双曲线右支上，所以【题目点拨】本题考查双曲线弦长、直线与双曲线位置关系以及函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.20、（1）；（2）．【解题分析】

（1）求出，然后求出和，然后表示出切线方程，把点代入方程即可取出（2）由得，然后求出，的值域即可.【题目详解】解：（1）∵．∴，又∵，∴在点处的切线方程为，即．由过点得：，．（2）由，得，令，．∴，令，解得，或．易知，，，，由在上存在零点，得的取值范围为．【题目点拨】若方程有根，则的范围即为函数的值域.21、(1)k=1;(2)的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为;(3).【解题分析】

（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数切线的性质得到关于k的方程，解方程即可求得k的值；（2）首先确定函数的定义域，然后结合导函数的符号与原函数的单调性求解函数的单调区间和函数的最值即可；（3）用问题等价于，据此求解实数a的取值范围即可.【题目详解】（1），，因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，所以.（2），定义域为，令，得，当变化时，和的变化如下表：由上表可知，的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为.（3）若对任意成立，则，即，解得：.【题目点拨】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联