云南省凤庆县第二中学2024届数学高二第二学期期末检测试题含解析

云南省凤庆县第二中学2024届数学高二第二学期期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知(为虚数单位)，则A． B． C． D．2．倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点（点，分别位于轴的左、右两侧），，则的值是（）A． B． C． D．3．对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作，若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为（）A． B． C． D．4．“若，则，都有成立”的逆否命题是（）A．有成立，则 B．有成立，则C．有成立，则 D．有成立，则5．定义在区间上的函数的图象如图所示，以为顶点的△ABC的面积记为函数，则函数的导函数的大致图象为()A． B． C． D．6．在一次试验中，测得的四组值分别是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），则y与x之间的回归直线方程为（）A． B． C． D．7．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A． B．C．2 D．8．若曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．1 B． C．2 D．9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A．甲可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．甲、丁可以知道对方的成绩 D．甲、丁可以知道自己的成绩10．已知，则()A．11 B．12 C．13 D．1411．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．512．若复数满足，其中为虚数单位，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数满足条件，则的最大值为_________．14．已知函数，则的最大值是__________．15．________.16．对不同的且,函数必过一个定点,则点的坐标是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面是梯形，，，底面点是的中点．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若且与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值．18．（12分）（1）求方程的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.19．（12分）2018年至2020年，第六届全国文明城市创建工作即将开始．在2017年9月7日召开的攀枝花市创文工作推进会上，攀枝花市委明确提出“力保新一轮提名城市资格、确保2020年创建成功”的目标．为了确保创文工作，今年初市交警大队在辖区开展“机动车不礼让行人整治行动”．下表是我市一主干路口监控设备抓拍的5个月内“驾驶员不礼让斑马线”行为统计数据：月份违章驾驶员人数（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（Ⅱ）预测该路口7月份不“礼让斑马线”违章驾驶员的人数；（Ⅲ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查“驾驶员不礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过年驾龄年以上合计能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线的参数方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点，求的值.21．（12分）电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：（1）求图中的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为，求的数学期望和方差.22．（10分）已知集合，．(1)分别求，；(2)已知集合，若，求实数a的取值集合．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由题得，再利用复数的除法计算得解.【题目详解】由题得，故答案为：B【题目点拨】本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.2、D【解题分析】

设，则，由抛物线的定义，得，，进而可求BE、AE，最后由可求解.【题目详解】设，则A、B两点到准线的距离分别为AC、BD，由抛物线的定义可知：，过A作，垂足为E..故选：D【题目点拨】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.3、D【解题分析】

根据可画出满足题意的点所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【题目详解】由定义可知，若曲线为边长为的等边三角形，则满足题意的点构成如下图所示的阴影区域其中，，，，，，又又阴影区域面积为：即点集所表示的图形的面积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.4、D【解题分析】

根据逆否命题定义以及全称命题否定求结果.【题目详解】“若，则，都有成立”的逆否命题是:有成立，则,选D.【题目点拨】对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.5、D【解题分析】

连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【题目详解】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选D．【题目点拨】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题．6、A【解题分析】分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．详解：∵，∴这组数据的样本中心点是（4，5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选A．点睛：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．7、A【解题分析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【题目详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【题目点拨】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．8、B【解题分析】

求出原函数的导函数，根据题意列出关于的方程组，计算即可得到结果【题目详解】，则，在点处的切线与直线垂直则，，将点代入曲线中有，即，故选【题目点拨】本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程，两条直线垂直与斜率的关系，同时要求学生掌握求导法以及两直线垂直时斜率满足的条件。9、D【解题分析】

先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了.【题目详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D.【题目点拨】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.10、B【解题分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合题意,舍去)；∴n的值为12.故选：B.11、C【解题分析】把三视图还原为原几何体为一个四棱锥，底面是边长为3的正方形，侧棱底面ABCD，四个侧面均为直角三角形，则此几何体各面中直角三角形的个数是4个，选C.12、A【解题分析】

由，得，则，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

作出平面区域，则表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率．求解最大值即可．【题目详解】作出实数x，y满足条件的平面区域如图所示：由平面区域可知当直线过A点时，斜率最大．解方程组得A（1，2）．∴z的最大值为=1．故答案为：1．【题目点拨】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.14、【解题分析】分析：对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的单调区间，进而得到函数的最值.详解：函数，设，函数在故当t=时函数取得最大值，此时故答案为：.点睛：这个题目考查了函数最值的求法，较为简单，求函数的值域或者最值常用的方法有：求导研究单调性，或者直接研究函数的单调性，或者应用均值不等式求最值.15、【解题分析】

将定积分分为两部分，前一部分根据奇函数积分为0，后一部分转化为几何面积得到答案.【题目详解】为奇函数表示半径为3的半圆面积：为故答案为：【题目点拨】本题考查了定积分的计算，根据奇函数的性质可以简化运算.16、【解题分析】

根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求出函数f（x）必过的定点坐标．【题目详解】根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令4﹣2x＝0，x＝2，∴f（2）＝+3＝4，∴点A的坐标是（2，4）．故答案为（2，4）．【题目点拨】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（I）根据已知条件得到，，由此证得平面.从而证得,结合，证得平面，进而证得.（II）作出与平面所成的角，通过线面角的大小计算出有关的边长，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.【题目详解】（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以．又由是梯形，，，知，而，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又，点是的中点，所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．（Ⅱ）解：如图所示，过作于，连接，因为平面，平面，所以，则平面，于是平面平面，它们的交线是．过作于，则平面，即在平面上的射影是，所以与平面所成的角是．由题意，．在直角三角形中，，于是．在直角三角形中，，所以．过作于，连接，由三垂线定理，得，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，，．在直角三角形中，，所以二面角的正弦值为．【题目点拨】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的应用，考查面面角的求法，属于中档题.18、（1）56；（2）840种，计算过程见解析【解题分析】

（1）利用隔板法求结果；（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序.【题目详解】（1）若定义，其中，则是从方程的非负整数解集到方程的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程正整数解得个数是从而方程的非负整数解得个数也是56；（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。从1个安检口通过共有：种方案；从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：种方案；从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：种方案；从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：种方案；从4个安检口通过共有：种方案，所以这4个旅客进站的不同方案有：种.【题目点拨】本题考查利用隔板法解决不定方程非负整数解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.19、(1);(2)66;(3)有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.【解题分析】分析：（1）由表中数据知：，代入公式即可求得，，从而求得违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）把代入回归直线方程即可；（3）求得观测值，从而即可得到答案.详解：（Ⅰ）由表中数据知：∴，，∴所求回归直线方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则人,（Ⅲ）由表中数据得，根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．点睛：求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为，常数项为，这与一次函数的习惯表示不同．)20、(Ⅰ)直线的参数方程为(为参数)极坐标方程为()(Ⅱ)5【解题分析】

(Ⅰ)直线的普通方程为，可以确定直线过原点，且倾斜角为，这样可以直接写出参数方程和极坐标方程；(Ⅱ