《小学数学课程标准与教材教学研究》课件 9.1数量关系-式与方程

数与代数领域“数的认识”——数量关系小学数学课程标准与教材教学研究课程内容：数量关系数量关系主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。课程内容：数量关系

简易方程引入的价值在于，为学生提供用代数方法解决问题的途径。小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。基本的数量关系模型，一是求和的关系（部分十部分＝整体）；二是求积的关系（每份数×份数＝总量）。具体的表现为加、减、乘、除的意义。算术方法解决问题基本上是根据加减乘除四则运算的含义，分析问题中的数量关系，列出一个算式。这个算式的基本特征是将已知的数量构成的算术式使其结果等于所求的数量。在具体情境中能用字母表示数。结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。式与方程内容分析《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“学段目标”中提出，经历用字母表示数的过程，形成符号意识、运算能力、推理意识。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“课程内容”中提出，根据具体情景理解等式的基本性质。在具体情景中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。1、课程要求式与方程内容分析教学内容主要有：用字母表示数和解简易方程。其中，在解简易方程部分又包括以下四个方面内容：方程的意义、等式的性质、解方程、实际问题与方程。具体结构图如下：1、课程要求1．用字母表示数例1用字母表示数量关系a+30例2用字母表示数量关系6x例3用字母表示运算定律和计算公式例4用字母表示数量关系1200-3x例5用字母表示数量关系3x+4x2．解简易方程方程的意义方程的意义等式的性质等式的性质1等式的性质2解方程例1方程的解解方程例2～例5解不同类型的方程实际问题与方程例1x+b=c的应用例2ax-b=c的应用例3ax+ab=c的应用例4x+bx=c的应用例5ax+bx=c的应用这些内容是在学生具备一定的算术知识（如整数、小数的四则运算及其应用），已初步接触了一点代数知识（如用字母表示运算定律，用“○”“△”或“□”表示数）的基础上进行学习的。数量关系内容分析2、教材分析

用字母表示数的内容充分体现了学生的认知规律：从具体到一般（抽象概括）、再到具体（代入应用）的正、反两个思维过程，最后进行拓展应用，为数学归纳法的学习进行了很好的前期渗透。

例1反映的两个数量之间的加减关系，更加充分体现了“具体→一般→具体”的学生认知过程。同时，由于这是学生正式学习简易方程的第一个例题，其中渗透了学生学习代数知识所必备的抽象概括能力、函数思想及代入求值的解题方法。五年级上第七单元（1）用字母表示数数量关系内容分析2.教材分析例2反映的是两个数量之间的乘除关系，重点突出了从具体到一般的抽象概括能力，并使学生体会到了符号化的简洁性。进一步体现了数学归纳法的学习过程，同时强调了代数式的表示方法及书写习惯。五年级上第七单元（1）用字母表示数数量关系内容分析2.教材分析例3是通过含有字母的代数式表示运算定律和计算公式，让学生体会到了代数式可以表示两个量之间的任意数量关系，更加体会到了代数式的优越性（或是符号化的优越性），同时为学生渗透了代入法求值的解题方法。五年级上第七单元（1）用字母表示数数量关系内容分析2.教材分析五年级上第七单元前面三个例题，从两个量之间的数量关系入手，为学生学习用字母表示数、建立符号意识打下了基础。例4、例5则从多个量之间的数量关系开始，为学生的符号化意识、代数思想进行拓展，让学生体会到了代数式的功能性作用，为学生学习用方程解决实际问题奠定了基础。（1）用字母表示数数量关系内容分析2.教材分析（2）方程的意义通过动手操作、直观体会、对比感知等手段，使学生建立方程的概念，感知方程的多样性，能判断一个式子是否为方程。在这个过程中，一定要突出含有未知数、等式这两个必须满足的客观条件，从而进一步加深学生对方程的认识。数量关系内容分析2.教材分析（3）等式的性质等式的性质旨在通过两幅“天平游戏”的主题图向学生分别揭示等式的基本性质。因此，在进行这部分内容教学时，教师一定要让学生通过动手实验、双向观察、细致分析，从而使学生的思维从天平联想到等式，从同时增加、减少相同质量的砝码联想到同时加上或减去同一个数，从物体质量同时成倍扩大或缩小整数倍联想到同时乘或除以同一个不为0的数。通过这样一个个联系的纽带，水到渠成地总结出等式的基本性质。五年级上第七单元数量关系内容分析这部分内容是学习方程的重点。教材首先向学生揭示的是方程的解、解方程这两个学生容易混淆的概念，然后用了5个不同的例题呈现出对五种不同类型方程的解答，从中不难发现解答方法是一致的：即运用等式的基本性质进行解答，并且这是教材中强调的小学生解方程的唯一方法。同时，通过这5个例题也强调了用代入法的方式来进行验算。例1强调用等式的加减性质解答形如的方程，并运用转化思想解答形如的方程，同时建立方程的解与解方程两个概念；（4）解方程五年级上第七单元数量关系内容分析教学例2强调用等式的乘除性质解答形如的方程，同时要让学生尝试解答形如的方程；教学例3强调解答形如的方程，但更重要的是在于让学生通过转化的思想，联系例3的解答，尝试解答形如的方程；教学例4、例5是转化思想、运用整体意识解答具有较复杂数量关系的方程。（4）解方程五年级上第七单元数量关系内容分析实际问题与方程的内容属于方程应用部分，也是方程的难点。通过学习培养学生运用数学知识解决实际问题能力。例6通过简单的数量关系教学形如的应用，同时告诉学生通过观察、运用，体会到列方程解题的基本方法和步骤，特别是要强调等量关系式对于列方程解题的重要性；例7通过对形如的应用，使学生进一步体会到列方程解题的基本方法，更加体会到列方程解题的优越性。通过例6、例7的学习，引导学生总结列方程解题的三个基本步骤，突出等量关系式对于列方程的重要性。（5）实际问题与方程五年级上第七单元数量关系内容分析例8、9、10是列方程解答含有稍复杂数量关系的实际问题。例8解决的是运用形如这样的方程解决实际问题，在这部分可以鼓励学生通过几个不同的等量关系式列方程解题，体现出方程解题的多样性，也再一次突出等量关系式对于列方程的重要性；例9教学运用两个未知数列形如方程，并进行解答；（5）实际问题与方程五年级上第七单元数量关系内容分析例10强调在列方程之前可以通过线段图帮助学生对数量关系的理解，在此基础上再列方程并解方程。（5）实际问题与方程五年级上第七单元数量关系内容分析关注由具体到一般的抽象概括过程。字母与方程的知识大多数都比较抽象，教学时要充分利用学生原有的认知经验和基础，关注到由具体实例到一般意义的抽象概括过程。如爸爸比小红大30岁，当小红是1岁、2岁、3岁……时，学生会用“1+30，2+30，3+30…”这样的式子表示爸爸的年龄，然后在教师的引导下，学生用一个式子来表示任何一年爸爸的年龄即“”。之后教师可以继续追问：这里的表示什么？又表示什么？让学生明白“”既表示爸爸的年龄，还能反映出爸爸和小红年龄之间的关系，这样表示既简明又高度概括了爸爸和小红的年龄情况。使学生体会由特殊到一般的认识需要，初步感知抽象的作用。适当加强用含有字母的式子表示数量的训练。用含有字母的式子表示数量的训练，也就是写代数式的训练。如：“一本书有页，张华每天看8页，看了天，用式子表示还没有看的页数”“商店原有120kg苹果，又运来10箱，每箱重kg。用式子表示出商店一共有多少箱苹果”等，这是列方程的基础。加强这方面的训练可以是书面作业的形式，也可以采用口答方式（个别口答、集体口答、小组互说、同桌互说均可），以提高练习的效率。3.教学建议（1）理解用字母表示数的意义和作用，掌握用字母表示数的一般方法数量关系内容分析可由分类揭示方程的意义。对于方程的概念的建立，教师可以引导学生通过观察下面的式子：50+50=100，100+x>200,100+x<300,100+x=250等，让学生自己分类，从中获得像这样100+x=250,3x=2.4……这样含有未知数的等式就是方程。注意引导学生经历由生活语言到用数学语言，逐步数学化的过程。当学生看到天平平衡时会用生活语言：“空杯子和水共重250克”来表述他们所看到的。教师引导：谁能用一个式子来表示？学生可能用“100g+水的质量=250g”来表示。教师进一步引导：你能用一个含有字母的式子来表示吗？学生可能用“100+x=250”也可能用“100+A=250”等来表示。在教学“3本练习本共用2.4元”时，也可以采用这样的方法。让学生经历数学化的过程，可以更好地帮助学生理解方程的意义和作用。3.教学建议（2）初步理解方程的意义和作用，掌握列方程的一般方法数量关系内容分析通过天平游戏，让学生充分感知天平等值变换过程。关于天平游戏教师可以用实物进行演示，让学生真真切切地看到天平游戏中平衡的天平两边加上（或减去）同样重量的物品，天平保持平衡。如果受到条件的限制，建议也要用动画来进行游戏，将这一过程让学生有充分的感知，从而确认这一事实。教材中是两边加上的是杯子，教师也可改变一下物体（如两边同时加上一把茶壶等）。这样便于概括出：平衡的天平两边加上（或减去）同样重量的物品，天平保持平衡。等式的性质2的教学也建议如此。教学解方程时，可以由方程的意义入手，先让学生看图列出方程“x+3=9”。再让学生明确所谓解方程实际上是这样一个问题：求x的值是多少时，方程左右两边才能相等？明确解题目标之后，可以先让学生自己思考、探索x的值，也可以组织小组讨论并交流。学生介绍自己的想法时，教师要注意引导学生不仅说出自己是怎样推算的，还要启发他们说出推算的依据，同时利用书上的图进行演示加以论证。在学生确信x的值是6时，教师可以引出解方程的概念，明确指出：方程的解是一个数，而解方程是一个推算的过程。随后教师一定要追问：为什么要减去3？而不是其他的数呢？让学生明确解方程的一般思路。3.教学建议（3）理解等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程数量关系内容分析要重视解题步骤和书写格式的指导，促进学生规范书写和自觉检验的良好学习习惯的形成。解方程实际上是在进行一个方程的同解变形的过程，因此教师要强调解方程时一定要在原有的方程下面再写出一个方程来，不能连着写等号。学习解方程一定要强调解方程之后要进行检验，一方面为后期继续学习打下坚实基础，另一方面在此培养学生良好的学习习惯。对于稍复杂的方程，解答时可以采用化繁为简的策略，引导学生自主探索。例4的教学，首先要关注学生列方程的练习，根据数量关系列方程是教学重点，也是教学的难点。在方程的意义教学时要注意加强这方面的训练，随后的学习中要不断训练，这里的教学是一个很好的契机。解答3x+4=40时，应先把3x看成一个整体。至于为什么要把3x看成一个整体？这是教学的难点。3.教学建议（3）理解等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程数量关系内容分析首次学习列方程解决问题，应以四则运算和数量关系为基础，注意从算术思路到方程（代数）思路的过渡和对比，掌握列方程解决问题的思考方法和特点：将未知的数用字母表示，分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程。要向学生明确说明这是一种新的解决问题的方法，今后的学习中会用得非常多。在“做一做”和后面的练习中不提倡用算术方法解答，要求学生用方程解答，以强化列方程解决问题的基本思路和一般方法。3.教学建议（4）掌握列方程解决问题的基本思路和一般方法，学会用方程解决实际问题数量关系内容分析列方程解决问题的关键是要会分析问题中的数量关系，找出等量关系。因此在开始学习时要加强根据具体问题情境，寻找等量关系的练习。①要求学生在练习时像教材中那样写出等量关系。