天津市和平区2023-2024学年高二上学期期末质量调查数学试卷（含答案解析）

和平区2023—2024学年度第一学期高二年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题共36分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效．3．本卷共9小题，每小题4分，共36分．一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若直线l的一个方向向量为，求直线的倾斜角（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.【详解】直线l的一个方向向量为，则直线斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C2.平行六面体中，化简（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】如图所示，.故选：B.3.已知直线：，直线：，若，则实数（）A.－4或0 B.0或1 C.－4 D.0【答案】A【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解.【详解】由题意直线：，直线：，且，所以，解得或.故选：A.4.已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程.【详解】由题意圆：和圆：，将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得.故选：B.5.设正项等比数列的前项和为，若，，则（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】先由等比中项求出，再根据等比数列通项公式以及前项和公式计算即可.【详解】因为是正项等比数列，所以，则可化为，解得，或(舍）设等比数列的公比为，则,所以，则.故选：.6.设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可.【详解】由直线可得，所以直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，所以.故选：C.7.经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令圆心为，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为，又圆经过原点和点，所以，整理可得，故圆心为，所以半径平方，则圆的方程为.故选：D8.直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案.【详解】设，，则直线l的斜率为代入，得，两式相减得：.又线段AB的中点为点，则.则.经检验满足题意.故选：D9.椭圆的两个焦点为，，点M是椭圆上一点，且满足．则椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为当为短轴端点时，，即，进而可以求离心率的取值范围.【详解】点M是椭圆上一点，且满足，设短轴端点，当时，必存在点，使，如图：此时，所以，所以，即，即，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围关键是要根据题目条件构造关于的不等式，然后解不等式即可.第Ⅱ卷（非选择题共64分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共10小题，共64分．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个给2分，全部答对的给4分）10.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“竹九节”问题，现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面节的容积共，下面节的容积共，则第节的容积为_______，节竹总容积为_______.【答案】①.②.【解析】【分析】设第节的容积为，根据等差数列的性质可求得的值，利用等差数列的求和公式可求得节竹总容积.【详解】设第节的容积为，则数列为等差数列，由已知可得，，所以，，，所以，，节竹总容积为.故答案为：；.11.已知直线和圆相交于两点；弦长，则______．【答案】1【解析】【分析】利用垂径定理求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为则由题意可得，则.故答案为：.12.设点F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线C上，点，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，代入两点间的距离公式即可得解.【详解】因为抛物线C：的焦点为，所以，由抛物线的定义知（不妨设A在第一象限），所以.故答案为：13.在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为______；【答案】【解析】【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，再利用点到面的距离公式求解即可.【详解】解：以D坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设面的一个法向量为，则，当，面的一个法向量为，则到平面的距离.故答案为：【点睛】本题考查空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是基础题.14.双曲线的左、右焦点分别为点，，过点作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则______．【答案】【解析】【分析】先根据双曲线的方程求出和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式可求出，在中，由余弦定理求得，即可得解.【详解】由，得，渐近线方程为，所以，所以，，由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等，不妨取渐近线，则，直角中，，，故，中，由余弦定理得，，所以，所以.故答案为：.15.设数列、的前n项和分别为、，若，，，则下列4个结论中，正确结论的个数是______个．①；②；③无论实数m取何值，直线恒过定点；④椭圆的两个焦点分别为点、，点P为椭圆上的任意一点，则的周长与的值相同．【答案】3【解析】【分析】当，两式作差得数列为等比数列，进而确定数列的通项公式，再利用直线过定点及椭圆定义逐个判断即可得答案.【详解】因为，当，两式作差得，所以①又，令，所以，，故满足①，故是以为首项为公比的等比数列，，又，所以，易得对①，，故①正确对②，，故②正确对③，，即，则解得，故直线过定点，即定点，故③正确对④，易知椭圆，且其长半轴长为，半焦距为，所以的周长为，故④错误.综上，正确结论为①②③故答案为：三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知数列的各项均为正数，且．（1）证明：数列为等差数列；（2）若，求数列的前n项和，并证明．【答案】16.证明见解析17.，证明见解析【解析】【分析】（1）将条件变形为即可证明；（2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和，观察可得答案.【小问1详解】由数列的各项都为正数，且，有，即，所以，数列是以1为公差的等差数列；【小问2详解】因为，由（Ⅰ）有，所以，则，，又因为，所以，所以得证．17.如图，在直三棱柱中，，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，只需证明，即就可以了.（2）分别求出两平面的法向量，由法向量夹角的余弦的绝对值即可得解.【小问1详解】因为，所以，又面，面，所以，即两两垂直，依题意，以为原点，分别以、、方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，因为，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点．则，，，，，，，，．所以，易知平面的一个法向量为，因为，所以，又平面，所以平面．【小问2详解】设平面的法向量为，，，，取，有，易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18.已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，满足，，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据题意分别利用等差等比数列知识分别求出通项公式，从而求解.（2）由(1)知，然后利用错位相减法求和，从而求解.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，有，，故．由，，有，则，故．所以数列的通项公式为；数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，所以①②由①－②得，得，所以．故数列的前项和为.19.已知椭圆的左顶点为点A，上、下顶点分别为点B、C，左焦点为点F，且椭圆的焦距为，为等边三角形．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设过原点O且斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P、M均在第一象限．若的面积是的面积的2倍，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为（2）【解析】【分析】（1）设椭圆左顶点为，上顶点为，下顶点为，左焦点为，由题意可得，解方程即可求出，可得椭圆的方程及离心率；（2）设直线l的方程为，由结合题意可得，即，分别联立直线l与直线和椭圆的方程解得，，再代入，解方程即可得出答案.【小问1详解】设椭圆左顶点为，上顶点为，下顶点为，左焦点为．因为为等边三角形，所以，即，因为焦距为，所以，又，故，，，所以