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文档简介

§2.4卷积积分的性质

卷积代数运算

与冲激函数或阶跃函数的卷积

微分积分性质

卷积的时移特性

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。一、卷积代数运算1．交换律2．分配律3．结合律系统并联运算系统级联运算证明二、与冲激函数或阶跃函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)证：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)三、卷积的微积分性质1.证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=f2(－∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)例1例2t0f1(t)1t0f2(t)12四、卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)例求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。卷积的重要性质总结（3）微分-积分注意：要求此式才成立。（4）任意函数与冲激函数的卷积推论：（5）任意函数与单位阶跃函数的卷积推论：（7）时移性例2：求f1(t)0-11-11tf2(t)0-111tf2’(t)0-111t解：yf(t)0-112-11t-2f(t)t0例3：已知系统的单位冲激响应为求如图所示激励时系统的零状态响应。（1）（1）（-2）f(t)0t0t1-1-T-2TT2Tt●●●●●…f

(t)01t…0应用δT(t)产生周期信号

例:门函数（在电子技术中常称矩形脉冲）用符号gτ(t)表示，其幅度为

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