划艇比赛成绩的模型

2024/2/22.5数学模型1首先我们一起来欣赏一组图片

单人艇比赛过程图12024/2/22.5数学模型2单人艇比赛过程图22024/2/22.5数学模型3双人艇比赛过程图32024/2/22.5数学模型4双人艇比赛过程图42024/2/22.5数学模型5四人艇比赛过程图52024/2/22.5数学模型6八人艇比赛过程图6返回2024/2/22.5数学模型72.5划艇比赛的成绩

赛艇是一种靠桨手前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种.各种艇虽大小不同，但形状相似.T.A.McMahon比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩(包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，见表5第1至6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系.2024/2/22.5数学模型8表5各种艇的比赛成绩和规格

艇种2000m成绩t(min)艇长l(m)艇宽b(m)l/b艇重w0(kg)桨手数n1234平均单人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3双人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7返回2024/2/22.5数学模型9问题的提出由于各种艇虽大小不同，但形状相似。比较各种赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩，发现它们之间有相当一致的差别。提出：比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系？？？（到底什么联系呢？）2024/2/22.5数学模型10问题分析赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力.艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力.建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩(航行一定距离所需时间)之间的数量规律.

如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系．注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的.2024/2/22.5数学模型11问题分析

前进阻力~浸没部分与水的摩擦力

前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定

运用合适的物理定律建立模型2024/2/22.5数学模型12我们进一步分析为了分析所受阻力的情况，调查了各种艇的几何尺寸和重量，表5第7至10列给出了这些数据.可以看出，桨手数n增加时，艇的尺寸l,b及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0/n变化不大．若假定l/b是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系.若假定w0/n是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系.此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型.2024/2/22.5数学模型13模型假设1.各种艇的几何形状相同，l/b为常数；艇重w0与桨手数n成正比.这是艇的静态特性.2.艇速v是常数，前进时受的阻力f与sv2成正比(s是艇浸没部分面积).这是艇的动态特性.3.所有桨手的体重都相同，记作w;在比赛中每个桨手的划桨功率p保持不变，且p与w成正比．返回2024/2/22.5数学模型14模型假设分析假设1是根据所给数据作出的必要且合理的简化.根据物理学的知识，运动速度中等大小的物体所受阻力f符合假设2中f与sv2成正比的情况.假设3中w,p为常数属于必要的简化，而p与w成正比可解释为：p与肌肉体积、肺的体积成正比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与体重w成正比.2024/2/22.5数学模型15模型构成·有n名桨手的艇的总功率np与阻力f和速度v的乘积成正比，即np∝fv(1)由假设2,3，f∝sv2,p∝w代人(1)式可得v∝(n/s)1/3(2)由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积s与艇的某特征尺寸c的平方成正比(s∝c2)，则艇排水体积A必与c的立方成正比(A∝c3)，于是有s∝A2/3

(3)2024/2/22.5数学模型16模型构成又根据艇重w0与桨手数n成正比，所以艇和桨手的总重量w'=w0+nw也与n成正比，即w'∝n(4)而由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量w'成正比，即A∝w'(5)(3),(4),(5)式给出s∝n2/3(6)将（6）代入（2）式，当w是常数时得到v∝n1/9（7）因为比赛成绩t（时间0与）v成反比，所以t∝n-1/9(8)(8)式就是根据模型假设和几条物理规律得到的各种艇的比赛成绩与浆手数之间的关系2024/2/22.5数学模型17模型检验为了用表5中各种艇的平均成绩检验(8)式，设t与n的关系为t=αnβ

(

9)其中α,β为待定常数．由(9)式logt=α'+βlogn(10)利用最小二乘法根据所给数据拟合上式(只有4个点的数据，故比较粗糙)，得到t=7.21n−0.111

（11)可以看出(8)式与这个结果吻合得相当好．2024/2/22.5数学模型18评注这个模型建立在一些不太精细的假设的基础上,因为我们只关心各种艇之间的相对速度,所以数学工具只用到比例方法.用这种方法建模虽然不能得到关于艇速的完整的表达式,但是对于我们的建模目的来说已经足够了.最后的结果与实际数据吻合得如此之好,恐怕有很大巧合的成分.2024/2/22.5数学模型19附录新华网雅典(2004年)８月２２日体育专电第二十八届奥运会赛艇比赛２２日结束，共决出了１４枚金牌。决赛成绩公报和奖牌统计如下：男子单人双桨第一名：奥·蒂夫特（挪威），６分４９秒３０第二名：尤·简森（爱沙尼亚），６分５１秒４２第三名：伊·亚纳科夫（保加利亚），６分５２秒８０男子双人单桨无舵手第一名：德·吉恩／詹·汤姆金斯（澳大利亚），６分３０秒７６第二名：西·斯凯林／尼·斯凯林（克罗地亚），６分３２秒６４第三名：多·谢茨／拉·布莱格沃特（南非），６分３３秒４０男子双人双桨第一名：阿·哈迪/塞·维埃耶当（法国），６分２９秒００第二名：卢·斯皮克／伊·乔普（斯洛文尼亚），６分３１秒７２第三名：罗·加尔塔罗萨／阿·萨尔多里（意大利），６分３２秒９３男子轻量级双人双桨第一名：汤·库恰尔斯基／罗·西茨（波兰），６分２０秒９３第二名：帕·图龙／弗·迪富尔（法国），６分２１秒４６第三名：瓦·玻利梅罗／尼·斯克亚蒂斯（希腊），６分２３秒２３2024/2/22.5数学模型20附录二男子四人单桨无舵手第一名：英国队，６分６秒９８第二名：加拿大队，６分７秒０６第三名：意大利队，６分１０秒４１男子四人双桨有舵手第一名：俄罗斯队，５分５６秒８５第二名：捷克队，５分５７秒４３第三名：乌克兰队，５分５８秒８７男子轻量级４人单桨第一名：丹麦队，６分１秒３９第二名：澳大利亚队，６分２秒７９第三名：意大利队，６分３秒７４男子８人单桨有舵手第一名：美国队，５分４２秒４８第二名：荷兰队，５分４３秒７５第三名：澳大利亚队，５分４５秒３８2024/2/22.5数学模型21思考！

对于8人有舵手赛艇建立t与n的关系(艇上有n+1个人但划船的是n人,n=8).2024/2/22.5数学模型22显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录，为简单起见，不妨以下表中的数据为例，请根据这些数据建立一些经验模型。思考（举重成绩的比较）举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举和挺举。表中给出了到1977年底为止九个重量级的世界纪录。2024/2/22.5数学模型23255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺举（公斤）抓举（公斤）成绩重量级（上限体重）2024/2/22.5数学模型24谢谢！

拟合所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1,λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。一组观测结果的数字统计与相应数值组的吻合。形象的说,拟合就是把平面上一系列的点,用一条光滑的曲线连接起来.因为这条曲线有无数种可能,从而有各种拟合方法.拟合的曲线一般可以用函数表示.根据这个函数的不同有不同的拟合名字。

在MATLAB中可以用polyfit

来拟合多项式。2024/2/2252024/2/22.5数学模型26Matlab程序代码n=[1248];t=[7.2156.8786.345.835];xi=log(n);yi=log(t);b=polyfit(xi,yi,1);a=b(1);