新高考热点重点难点透析-九 解题有法

解题有法

微专题16客观题速解方法

对应学生分册第76页

高考的客观题，常称小题,“小题”不小，它知识面广量大,方法精巧灵活，既综合又有深度,是有无

可比拟的区分度的.此类题型解题的关键是充分利用题干已知信息作出合理准确的解题策略判断.

运用恰当的数学方法，如直接法、排除法、特例法、数形结合法、构造法、估值法、分离参数法、

坐标法等，进行迅速准确的解答.

◎方法1直接法

直接法是从题设条件出发，认真审题,选择解题策略，运用有关概念、性质、定理、法则或公式等知

方法诠释

识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确结论的做题方法.

适用范围对于计算型试题,多通过计算求结果.

（2021年天津市模拟）已知奇函数外）在R上是增函数，若

a=-（og2"）,b=川og24.1）,c={208）,贝ija,6,c的大小关系为（）.

A.a<b<cQ.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

►C

►由题意得a=（log2：）=才og（25）,且Iog25log>24.1>2,1<2°8<2,

所以Iog25»og24.1>208,结合函数《刈的单调性有《Iog25）>《og24.1）>{208）,即c<b<a.故达

C.

|技法领悟|

比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要借助指数函数和对数函数的图象，利用

函数的单调性进行比较大小，灵活利用函数的奇偶性和单调性不仅能比较大小，还可以解不等式.

对点训练

（2021年广州市模拟）若仙）幸占,贝弘）.

A./(log3i)>/(2-5)>/(ln2)

B.<log3i)^ln2)>伯

C./(2-5)><ln2)>(端)

D*n2)>传)川唯力

AC

ax/q7占刁是定义在R上的偶函数,

.：(log3j)^log34).

i3-13

:log34>log336力。弓>29>0,1MneTn2>lnVe-=j,.:log34>ln2>2Z

当庶(0,%)时,小)：：：《<0,

(6+e-x)

.在(。，+8)上单调递减，

.<2一%>川n2)>(log3§,故选C.

（2021年成都市月考）数列｛而满足&+2且+333+...+〃％2,则竽翠+...竿的值为（）.

►B

a由题意得a+2/+3a+…+/7日片2",①

取论2,则日―2/+3自+…②

由①■②得77a片2止1,即加2—，论2,4之，

n

2,n=1,

则Sn^i2小1、o

—,n>2.

n

f+i_2人12"J_L_J,fl_J_A

当k>2时,

4k(k+1)/22k2k(k+l)2\Jck+lJ

422吗$）磊

故选B.

©方法2排除法

、、排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手

方法诠释

段对各个备选答案进行'筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰逐一排除，从而获得正确结论.

适用范围这种方法适用于用直接法解决问题很困难或者计算较繁杂的选择题.

（2021年鹰潭市模拟）我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观，形缺

数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”函数^A）=（x-i）sin腐-TTSKTT,/。）的图象可能为

().

►D

►:4-M+gsin/-M=(x-^sinA/=-4x).

.：函数4X)为奇函数，排除选项A和B.

当xe(0,1)时,sin/*/=sin

.＜才＜0,排除选项C,故选D.

排除法的使用技巧:排除法适用于不易直接求解的选择题,当题目中的条件多于一个时，先根

据某些条件找出明显与之矛盾的选项，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排

除，直到得到正确的选项.

（2021年芜湖市期末）函数外）号詈的部分图象大致为（）.

►函数AM的定义域关于原点对称，且三翳故函数Ax）是奇函数,则排除C,D,

又小）心乂）,则排除B,故选A.

（2021年淮安市模拟）已知X）力X）,且可©不，Hn（aO）]TTTF,贝ija力的值不可能是（）.

a=log25

A,C=sin31°B，

a=log43na=1

b=log455b=2

AC

►由题意得A/Q2+iHna>l』n。而y=^a2+1-dna在（0,%）上单调递

增y%+l1n。在（0,+8）上单调递减.

若a=2,则左边为西Hn2,若bfin31。，，则右边为%+l[n6<V5-dn2,即左边大于右边，排

除A;

若aWog25>2,贝Wa：+lHn4+1-Ind<V5-dn2,即左边大于右边,

排除B;

若a=1,则依不TWna=V2,g。力>1,则泰+l』n则左边大于右边，排除D.故选C.

©方法3特例法

对于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题、填空题，一般从题干（选项）出发,通过选取特殊

一〜、人皿情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，然后进行判断，特例法”小题

方法诠释

小做'’的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是特殊值、特殊点、特殊位置、

特殊数列等.

适用范围适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题.

（2021年九江市模拟）如图,四边形Z8CO是边长为2的菱形,£是边8C上靠

近点。的三等分点尸为C。的中点，则荏•加耳）.

A.2B.9c,D.-2

►C

►（法一）:荏三说号而而=而修丽言前微福

.:荏•丽［荏+：阮）G阮码）4阮25舒多4分4=多故选C.

（法二）把此菱形看成正方形，以。4,。。所在直线分别为x轴j轴,建立平面直角坐标系（图略）,

则力（2,0）,£（|,2）,片0,1）,.:荏而［4,2）（|,-1娉-2=3故选C.

I,

II

特例法解选择题时，要注意以下两点:第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理.第二，若在

不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法

求解.

I品牌照I

（2021年黑龙江省高三模拟）设a>b>1>c>0,给出下列四个结

).

A.1个B.2个C.3个D.4个

►B

►对于①,ac>bc>0,故■，所以①^误;对于②，取a=3,b=2,cW，则^=273,5/^=3V2,

acbe2

所以byva"故②错误;对于③，因为0<1七<1,且全力，所以（1・c）a«1・c）4故③正确;对于

⑷,a+c>/?+c>1,所以log从日+c）log>46+c）log>a（/7+c）,故④正确.故选B.

（2021年江西省高三期末）已知a力,ceR,且）.

/\.ac>bcB.#>〃

C.a>bD.lga>\gb

»C

a因为ab,aR,且ac2〉/?*所以a>6,60,故C正确；

若c<0,则ac〈bc做A错误；

若a=,b=-2,则彳<8故B错误；

若贝ijlga与lg/?无意义，故D错误.故选C.

©方法4数形结合法

对于一些含有几何背景的选择题、填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形,做到数

方法诠释

中思形，以形助数，并通过图形直观分析、判断,往往可以简捷地得出正确的结果.

工数形结合法是研究涉及几何意义问题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运

适用范围

算.

（2021年金华市模拟）函数A»=ln阿为mx在上的图象大致为（）.

►D

►因为«-A)gn/x/^s'mx,既不满足4-x)=4M，也不满足4/XM，

所以函数AM是非奇非偶函数，排除A.B.

令人刈=4及)=0,且Xie[-TT,O],及e[O,Tr],因为｛1)=sin1乂),所以感[0,1],又《习目n

3*sin(-3)=n尸=ln/<0,4-TT)=ln订住小rr=inu>0,所以加斗口尚，故选D.

利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确

运用数形结合法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形

中的相关结论求出结果.

(2021年达州市模拟)已知函数外)专：0'若｛xi)=｛及)，则为此曲)取值范围

是.

”[1用

►

函数4力4：2：7；的图象如图所示:

设《M)={X2)=f,柜(0,1],且M>尤，则X2+\=t.x[=t,

所以％-X2[=X1-X2=4l-t+1={班辛*=_(任0号

令/772后得止(0,1]则g(m)=-(m-^号其图象的对称轴为直线/77=1,

所以m7)在(0,3上单调递增，在由1]上单调递减,

所以p(/n)min=g(1)­=1,g(/Tf)max=g(^

所以用-X2禽取值范围是[1(]

(2021年北京市模拟)已知函数外)』I**2,若关于*的方程4A)=%只有一个实根，则实数

((x-l)3,x<2.

〃的取值范围是.

►(f0]U{1}

►函数AM』；'、'？，的图象如图所示:

((『1)3,X<2

由图可得，当4=1或左0时,与y=4的图象只有一个交点,

即方程人力=4只有一个实根.

故实数A•的取值范围是(-0]U{1}.

©方法5构造法

构造法体现了创造性思维，是综合运用各种知识和方法,依据问题的条件和结论给出的信息，把问

方法诠释

题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法.

适用范围适用于求解常规方法不能解决的问题.

(2020年全国倦)若2aHog2a=P+210g也则().

A.a>2Z?B.a<2b

C.a>t^D.a<Z^

►B

►设4M^Rog+zx,则AM为定义域上的增函数，因为2alog+2a=4。巴。924。=22009+2白,

所以4a)-426)=2aHog2a122，Hog220)=226Hog26122，Hog220)gog2；=-1<0,所以/[a)<f{2t>),

所以a<20.故选B.

构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定

构造的方向，从而通过构造新的函数、不等式或数列等模型，将不熟悉的问题转化为自己熟悉的问

题.

IESOSI

（2021年安阳市模拟）已知2加（0,6）,若当时,总有强则6的最大值为（）.

哈B.iC.1D.e

eze

答辱AB

b—11

A由可得凝如,

:a氏(0,m),.:lnQb<ln尻，即jna<iln白化简可得alnav〃nb,

设［MWnx,脏(O,/77),:alna<ttnb,a>b,

MM为(0,6)上的减函数，

则外用=1-Hnx<0在(0,/77)上恒成立，

由1Hnx<0,解得0<x<^,

e

.777的最大值为上故选B.

e

（2021年马鞍山市模拟）已知法（0,*吟不等式a"ea后gx，x恒成立，则实数a的最小值为（).

12

A.-B.-C.OD.1

ee

AA

a设AM=Ae+x,显然AM是R上的增函数，

不等式axe蚱mx+x可变形为ax依峰m*抬呼即x）,所以ax>\nx,

所以先苧令a才与，则g（X）空,

当0of<e时,g（A）>0，aM单调递增，当x>e时,gJ）<0,p（x）单调递减，

所以4%ax=«e）W，又不等式a岑恒成立,则实数即实数a的最小值是"

©方法6估值法

由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算,只需对

方法诠释其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断,这就是估算法，估算法往往可以减

少运算量.

适用范围难度稍大的函数的最值、参数的取值范围或函数图象的变化等问题，常用估值法确定选项.

函数A»=2sin*sinx^cosA）的最大值为（）.

A.1-^/2B.V2C.V2-1D.2

AA

►取xg,则有猾)=、用/苧+；渭殍2故所求函数的最大值应大于2,故排除B,C,D,

选A.

有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正

确的判断1

已知过球面上48,。三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且48=8C=C4=2,则球面

面积是().

A16TTc871c4-64TT

A—B.yC.4TTD—

答案AD

►因为球的半径/?不小于A/8C的外接圆半径髻，所以S球NTT不24TT产普>5TT.

◎方法7分离参数法

所谓分寓参数法也就是将参数与未知量分离于表达式的两边,然后根据未知量的取值范围情况决

方法诠释定参数的取值范围.这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决.当参数与变量

能分离时,函数的最值易求出.

工解决含有参数的不等式中的取值范围问题，还可以用来证明一些不等式，解决含有参数的相关函数

适用范围„„

(2021年上海市模拟)设常数aeR,函数g=a3x/.

(1)若函数4才是奇函数,求实数a的值；

(2)若函数y=4x)+2a在时有零点,求实数a的取值范围.

►(1)由题意知，函数4M的定义域为R,关于原点对称，

:仆)是奇函数即厅3"号=<°3*+5),即京+3*=-(/3*+余),

整理可得(a+1)(9x+1)=0对任意ASR都成立，

.：a*=0,解得a=A.

(2)可将问题转化为在区间[0,1]上有实数解，

即关于x的方程ay弓+2a=0在区间[0,1]上有实数根.

设r=3\-.AE[0,1],.:fe[1,3],

则原问题等价于关于/的方程2aMM)()在区间[1,3]上有实数根.

当a=0时，方程。不成立,.:界0,则方程可化为弓二k+2《国1,3]),

即函数片q与函数y=g+2《旬1,3])的图象有公共点.

:函数片"24蚓1,3])为增函数,.:该函数的值域为[3,15],

.:34%5,解得上生白即实数a的取值范围为舄,斓.

已知函数有零点(方程有实数根)求参数的值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个

函数的图象,利用数形结合的方法求解.

(2021年重庆市月考)已知函数⑨#?+a

(1)当a=9时,求函数在(0,+可上的最小值；

(2)若对任意的冰恒成立，求实数a的取值范围.

►⑴由题意得，当a=9时，函数痴*?+9=吗2,

由对勾函数的单调性可知，函数4对在(0,3)上单调递减，在(3,+8)上单调递增，

函数外)在(0,%)上的最小值为｛3)=4.

(2):对任意的底(0,+孙胡)乂)恒成立，

.：x4即*_2x+a>0,分离参数得a>-*+2x在(0,")上恒成立，.:>(-*+2万max=1,

实数a的取值范围为(1,

©方法8坐标法

坐标法是指通过建立坐标系将几何问题、向量问题转化为代数问题,通过代数运算使问题顺利得

方法诠释

到解决的方法.

适用易于建立坐标系，或利用坐标系建立几何与代数之间的联系的题型，如常将几何问题、向量问

适用范围

题转化为代数问题.

(2021年浙江省期末)在梯形中/4=90。,49=28=3,47=2,

若守在线段上运动，且£尸=1,则而•存的最小值为

►T

►

以4为原点,彳片的方向为x轴的正方向，标的方向为y轴的正方向建立如图所示的平面直角

坐标系，则eg,2),不妨设丹期,片"1,0)的任2),

则而-2),而1号,-2),

.谴而的最小值为华，当且仅当仁1时取得.

向量的基本运算处理的常用方法：

(1)向量几何化:画出合适的图形,利用向量的运算法则处理；

(2)向量坐标化:建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算处理.

(2021年上海市模拟)已知直角梯形49C。中,/。|8。/4。6>90。,力。=2,8。=1,尸是腰。。上的

动点，则『彳+3而潮最小值为.

►5

►

以赤，反的方向分别为xj轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.

设q0,a)H0£),B(1,a)，42,0),0WQa,

则同+3而气2,避+3(1,a-b)=(5,3a4。),

所以质+3而/425+(3a-4b)2N5,当。考时取得最小值，最小值为5.

(2021年新余市期末)已知在Rf/l8c中，点。为斜边8C的中点,48=66,406,荏乏前，则

AEEB=_______

►14

►

以a为坐标原点，而，通的方向分别为xj轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.

:AB=6V3,AC=e„:5(0,6V3),C(6,0),

:。为6c的中点，.:"3,36),

令£(x,力，贝IJ荏=(x,勿，

.:前=(3-x,3V5-力.

x=|(3-x),俨=1,

:荏甘的

y=1(3V3-y)I'=心

..旦1,㈣,

.次=(1西前十1,5何

.:A&-FF=-1-*-1+73*5V3=14.

微专题17函数与方程思想的应用

对应学生分册第79页

函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识，

建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的

一种思想.方程思想,就是分析数学问题中的变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程,

通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的一种思想.函数与

方程思想在一定条件下是可以互相转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，

方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系.

@应用1利用“函数关系”解决问题

(2021年浙江卷)已知数列｛前的前"项和为Sn,a1=^,S.4Sn„=3Sn-9.

(1)求数列｛a〃｝的通项；

(2)设数列｛仇｝满足3仇犬〃4)a"=O(neN*),记｛)｝的前〃项和为7k若%"仇对任意neN.恒成

立，求实数力的范围.

►⑴当时,4(&+全)=3a-9,即4/言-9=4”:金=系，

当役2时，由4S"T=3S〃-9,①

得4S"=3S〃「9,②

由①■②得4，〃+1^3n,

:奥书：O,.:a湎V.果4,又量!

.:｛a〃｝是首项为［公比为m的等比数列，

T沪a<-

⑵由3d气〃4)%=0,得d=等％=(〃~4>停),

.⑦=3号-2喉)-1*(|)内唱)+…犬〃4>第，

噌)2-24同沪…*〃*舒*〃/).(沪:

两式相减，得

139n+

J一

-一-

44啕唱)嗡+…4-4)

.:7；:4/7停)“;由7；0仇得40停广:(,<)(，恒成立，即才(/74)+3侬0恒成立,

当/7<4时,心/^二-32解得心1;

n-4n-4

当“必时，不等式恒成立；

当"2时解得力2-3.

综上,-3VN1.

(1)已知S〃求血时，不要忽略〃=)的情况;(2)对于恒成立问题,在分离参数时，要注意对变量的

符号进行讨论，如/1(〃4)+3〃20恒成立,要对〃40,"4乂),〃4<0讨论,还要注意"4<0时,分离参数

不等式要变号;(3)对于数列问题，一般建立数列的通项、前〃项和与自变量〃的函数关系，然后利

用函数的性质具体处理待求问题.

(2021年珠海市月考)已知在等比数列｛a〃｝中,数列｛6｝满足加g且

ayby+改戾+asbs+...+an-\bn-\+anbn=2^^能（店N）.

⑴求数列｛a〃｝与｛d｝的通项公式；

⑵记数列｛%｝的前"项和为S〃，数列｛d｝的前〃项和为%,若对于任意正整数6,不等式

7；vSm弘恒成立，求正整数A•的最小值.

a(1)已知+azbz+a3b3+…+a〉ibn-i+anbn=QA小C，①

多必比=3,

当n=1时,白力=24W6,所以th=4;

当<7=2时,合力+切比=24号^=22,所以切勿=6,所以念=2,

所以等比数列｛&｝的公比q震V所以a7H*6广'=23力.

当n>2时,多力+2比+自笈+…+anAbnA=24号白②

由①-②得anbn-第h,券4)=券，因为a〃=23s,所以m=5-",当n=1时，d=5-/7也成立，

所以bn=5-n(n£N').

(2)由⑴可得S〃一।］田-23吗所以4VS〃<8,即(S〃)min工

1-2

又.=(4+：n)n=-n2;9n=5乂止5)24，所以(％»2*=万=归二0,

因为对于任意正整数m,",不等式7；<Sm*4恒成立，所以对于任意正整数m,〃，不等式

恒成立，所以Q(崎maxYS〃)min=104-6,即》6,又因为A•为正整数，所以A•的最小值为7.

◎应用2转换函数关系解决问题

(2021年湖州市二模)已知平面向量a,6,G4若

/a/=/6片冉,a-b=O,/a+c1+la-cl=^,/b+c片1,则/c&的最大值是

►1+2企

►由a-b=O可知以。，又/a/=/b/=K,故可建立平面直角坐标系，使得

OA=a=｛y/3,0)^OB=b=(0,\f3),

豉次=c由Ia+cl+la-c0可知，点。到点(6,0)和点(-百,0)的距离之和为4,

所以点。的轨迹是以(冉,0)和(-、8,0)为焦点，长轴为4的椭圆，

即点C的轨迹方程为产=1.设而=4由/。丸归可知，点。的轨迹方程为圆*«yH5)2=1,

4

设Qx,历，则点C到圆心(0,45)的距离

4-4y2+(y+V3)2=-3y2+2岛+7,

当,flfnax,=\/8-=2^/2,/C-Oj4nax=dlnaxN+2A/^.

对于多元数学问题，要根据变元间的相互关系，突出主元.创设新的函数关系，有利于创造性地

解决问题，转化函数关系是关键.

向量问题处理方法通常有两种:一是建立坐标系，将向量问题代数化;二是找基底，把所求的向

量用基底表示.

（2021年杭州市模拟）如图，在A48C中毛尸是6C边上异于点8,C的一个动

点,h1Z8于点£现沿EF将尸折起到△尸守的位置，则四棱锥P-ACFE的体积的最大值

为.

答案■乎

4

►在“8C中,。

由余弦定理可得,cosBF.BI'A/-3+23W所以8』.

川工2BCBA2x75x32,716

设£F=x,则BE=PE=^x（0<x<y）,

设n月£8=8,则四棱锥尸-4C尸£的高h=PE&m0=73Asin6,

四边形AC生的面积为:小呼%百片¥亨（2,

则四棱锥Q-/IC尸E的体积为*75与小见限费2六枭.律_%2局3*-2刈,当且仅当

sin6=1,即6告时取等号，令y=^（3x-2^）（0<x<y）,

则/=（3£*）+x/2x）（1-V2A）,

令y乂），得令

所以函数月（3x-2/）（0<x<苧）在（0,苧）上单调递增，在（苧,亨）上单调递减，

所以当x考时/W（3x-2"）取得最大值，最大值为与，

所以当考时,四棱锥Q-4C在的体积取得最大值，最大值为华.

2.

N

INw

(2021年南通市模拟)舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图，。是滑槽

的中点，短杆O/V可绕点。转动，长杆解N通过/V处的较链与O/V连接,"/V上的栓子。可沿滑

槽48滑动.当点。在滑槽内作往复移动时,带动点/V绕点。转动，点例也随之而运动,记点N

的运动轨迹为G,点例的运动轨迹为G.若ON=DNf,MN忘过G上的点尸向G作切线，则切

线长的最大值为.

►VT5

►以滑槽48所在的直线为x轴Q为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示.

因为/。2勺I,所以点/V的运动轨迹G是以。为圆心,半径为1的圆，其方程为.设点N

的坐标为(cose,sin仇由/。根=/。2勺1,易得A(2cos0,0),

由/例/0=3可得而=3和，

设则(xtos0,y-sin0)=3(cos0,-sin”解得M4cos8,-2sin0),

所以点例的运动轨迹Q是椭圆，其方程为著号1

设G上的点尸的坐标为(4cosa,2sin□),则/6cos2aMsiMaN*2cos2冰16,

则切线长为，5坪手5/]石万=6,即切线长的最大值为6亏

©应用3构造函数关系解决问题

(2021年河南省月考)若函数AMW-Inx-x-a存在零点,则实数a的取值范围为

().

A.(0,1)B.[1,+8)

C加D&e]

AB

a(法一)函数«A)、xx・lnx-x刃存在零点,即方程exTn有实数根.

因为Aex=einx巧所以方程的"仁加X"也有实数根.

设f=lnx+x,贝!]即awM(右R),

令(金R),贝ij

当》0时,/>0,所以*e"在(0,%)上单调递增，

当/<0时,y'<0,所以尸e"在（-%0）上单调递减，

所以当时/有最小值，最小值为1.要使a-eH有解,只需在1.

（法二）依题意可得州）土以0弓_1伞川）«・：）.因为％>0,所以x+1>0.

令4M壬力,因为a用在（0,“）上单调递增，

所以三的《0,在4，4M）=0,即xo-HnXQ=O.

当法（0,松）时，（见<0;当法（加,也）时,（刈乂）.

所以AM在（0,的）上单调递减，在（m,士少）上单调递增.

所以XQ-XO-3=^-a.

要使外）存在零点，只需/（MmiMO,即在1.故选B.

|[^^|

（1）构造函数关系解决问题的关键是根据所给条件或所求所证问题的结构特征,构造正确的函

数，然后利用该函数的有关性质解决问题.

（2）利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路：

①利用最值或极值研究；

②利用数形结合思想研究；

③构造辅助函数研究.

lE^IO

（2021年池州市模拟）设函数外）F*（2x-1）-ax/a,其中a<1,若存在唯一的整数使得小b）<0,

则实数a的取值范围是（）.

B

A.岛1）-[-44）

C股（）。搂」）

►D

z

a设p（x）e=（2x-1）ty=ax-a,

由题意知，函数y超（切在直线片wx・e下方的图象中只有一个点的横坐标为整数.

所以函数尸p（x）的最小值为4-；）=・2益又40）=・1,虱1）壬>0,直线y=aw・a恒过定点（1,0）,且

斜率为a

故-日>^0）=-1且爪・1）=微之力・3,解得,故选D.

◎应用4转换方程形式解决问题

(2021年云南省高三模拟)已知A45C的内角48,C的对应边分别为a,b,c,且有

75cos/l(ocosB+bcosC)+as,m4=0,则A=.

2IT

Ay

a由正弦定理得75cos/4(sinCbosG抬in氏osC)sin+2/l=0,

即75cos/4sin(G+C)为iM/R,又sin(S^-C)=sin(TT-/4)=sinA,

.:sin2/l--\/3sinAcos4又/4G(0,TT),.:sinA±0,

/.sin/二•V5cosA.'tan>4=・V5,又/4G(0,TT),.:>4=^.

分析数学问题中的变量间的等量关系，建立方程、构造方程、突出主元转换方程形式,或者运

用方程的性质使转化的问题得到解决.

■rnpnI

(2021年茂名市模拟)已知庄,ir),且2cos2a=sina-1,则tana=.

a由2cos2a=sina-1,得2~sin42a=sinaA,

.：4sin2a为访。・34庄出11),解得sina],

.:cosa=-Vl-sin2a=[,即tana=^-.

(2021年云南省模拟)函数[x)=2sinACOSX-V3COS2X-1在(-TTJF)上的零点之和为

»(»=2sinACOSx-V3cos2x-1=2sin12x7・1,令4M=0,得sin卜因为Ae(-TT,iT),

I),所以2若二^或T或g或T，解得M+应为

微专题18数形结合思想的应用

对应学生分册第81页

数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种

重要的思想方法.数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含了“以形助数”和“以数解

形”两个方面.数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几

何化、几何问题代数化.

数形结合思想常用来解决函数的零点问题、方程的根与不等式问题、参数范围问题、立体几

何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题.

©应用1利用数形结合思想研究函数的零点问题

（2021年嘉兴市模拟）若函数<0,恰有4个零点，则实数A•的取值

（|x-l|-fcx2,x>0

范围是,

»(*)

►当x<0时，令<x）=O,可得A"《当x>0时，令外）=0,可得左=

令久*）4/'：<°o若0<¥<1,4刈三妥,9（刈孝旬,则4M为减函数，若

应1,4才专,g㈤哼则x2

若10<2,则9（才乂）以»为增函数，若x>2,则g（M<0，a才为减函数，«2）三.画出的图象,

如图所示.

若AM怡有4个零点，则o«q.

该类题型的解题关键:

（1）把函数的零点问题转化为函数图象的交点问题;

（2）正确画出函数的图象.

（2021年苏州市开学考试）已知函数4刈淤1/切什1/9闻若函数4切=外04恰有4个零点,则实

数b的取值范围是.

4（1，2）

1O

►当也1时,《才方-1+X+1全割

-1-1

当osx<1时,4M=1-x+xX今・2京

当-1<x<G时,《X)=1-x+x+\**=2*x,

当K-1时*x=|x,

|x,x>1,

2-1x,0<x<1,_

即AM二21画出函数z(M的图象，如图所示.

2+-x,-lVxV0,

3j-

l・gx,x<-1,

若函数4m=八）力恰有4个零点，即函数y=/W的图象和直线y=Z?有4个交点，根据数形结合

可知|幼<2.

（2021年贵州省模拟）函数外）Wog3阿力in开刈在区间［-2,同上零点的个数为（）.

A.5B.6C.7D.8

答案》B

a令网）=0,则Iog3阿=/fcinTTA/

在同一平面直角坐标系下作出函数jA）gog347和久见书in口必在区间［-2,3］的图象，

观察图象得两函数图象在卜2,0］上有两个交点，在［0,3］上有4个交点，

所以函数/（A）=log3/¥/-^inTTX/在区间［-2,3］上零点的个数为6.

◎应用2利用数形结合思想解决不等式或最值问题

（2020年北京卷）已知函数则不等式外）为的解集是（）.

A.（-1,1）B.（・g,・1）u（1,+e）

C.（0,1）D.（F,0）U（1,“）

aD

a因为所以外）乂）等价于2*>x+1,

在同一平面直角坐标系中作出%2*和y=x^的图象，如图所示.

两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),不等式的解为x<0或x>1.

所以不等式AMX的解集为(-8,0)u(1,+e).

准确画出图形是数形结合解题的关键，图形必须符合题目条件的特征,然后将问题转化为距

离、长度、斜率或图象的位置关系等分析求解.

(2018年全国倦)设函数0则满足的x的取值范围是().

A.(-8,-1]B.(0,*8)

C.(-1,0)D—O)

►D

►当胫0时，函数制)=2"是减函数，则回2{0)=1作出的大致图象，如图所示，结合

(X+1<0,

图象可知，要使心什1)12万,则需]2x<0,或{；：空°’故X。

\2x<%+1

已知国/?是两个单位向量，与a力共面的向量c满足m)•。七•"()厕©的最大值为().

A.2V2B.2C.V2D.1

►C

A

由(？-{a+b)'c+a-b=Q,c-a)-(c-b)=0,BP(c-a)±(c-b),i^DA=aJDB=b^DC=c，贝ijc-a=AC,c-b=BC,

则点C在以48为直径的圆。上运动，如图所示.

由图知，当D6AB吐QC闫DC]

设/ADC=&

则@。=/。。/以4O/=sin8yos9=&sin(0+：),所以当日三时,/。洞得最大值，最大值为叵

@应用3利用数形结合思想求解解析几何问题

(2021年江苏省三模)已知Hx,必是抛物线x上任意一点,。是圆

。(k2)24/4)2=1上任意一点,则/尸Q/仪的最小值为.

►3

►设焦点为仅1,0),由抛物线的定义有/尸々=x+1，故x=IPF/A.

又/尸Q/+/O磔/。々,当且仅当GQ尸三点共线且。为C尸与圆。的交点时,/尸。/取最小值，为

/尸。-/。。/=/尸。-1.故/尸。/伙的最小值为/QC/-1+IPFIATPCI+IPFI2.

又当尸为线段C尸与抛物线的交点时，/尸。+/月/7取最小值，

此时IPQI+x=IPCI+IPFI^2.=/C/7-2力[1-(-2)产+(0-4)2-2=3.

(1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离问题.

(2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系.

lE^lOI

(2021年山东省模拟)已知直线5-片4=0与圆O(x-1)2Hy-1)2=2,则圆。上各点到直线/的距离

的最小值为.

AV2

解一

1/

如图,过圆心作直线片4=0的垂线，则47的长即所求.

:圆。(*-1/犬尸|产=2的圆心为半径为心,

圆心C到直线/x-yM=0的距离d业那=2或，

;.AD=CD-Ag0近』池C上各点到直线/的距离的最小值为企.

(2021年南京市模拟)已知直线片争什鱼与圆Z?(xV3)2^y-1)2=3交于48两点,则直线47与

8。的倾斜角之和为.

►y

►如图所示.

直线的斜率是桌则其倾斜角为£

ODO

则N1=a],N2W+TT-£.因为AD=BD,所以/三2

OO

所以。：4+口-氏即a+0岩.

bb3

微专题19分类讨论思想的应用

对应学生分册第82页

分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的

解答，解决原问题的思维策略.分类讨论实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”，使用分类讨论

思想应明白这几点:一是引起分类整合的原因;二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一;三

是明确分类整合的步骤;四是将各类情况总结归纳.

◎应用1由概念、法则、公式引起的分类讨论

（2021年无锡市月考）已知等比数列｛%｝的前"项和S〃=?3"-2,则a=.

►2

►由题设得a=S=3a-2,

若方1厕%+""15=（33"*1-2）<33"-2）=233保3朱2（住1\1）,与q=1矛

(Q=3,

盾=a3"-2,即回=2=2'a=Q-

lq-1'

数学中的一些概念公式、方法本身就是以分类形式定义的,解题时要以所定义的概念、公式

等为依据进行分类讨论.

（2021年合肥市模拟）在钝角A/16C中，角48,。的对边分别为a,b,c,a=4,sin4=2sin8-2sinC,

则6的取值范围为

A(3,b*)u(5,+e)

a根据sin/4=2sin8-2sinG由正弦定理可得a=Q.b-2c,

由aN,即c=/>2,则

因为△&8C为钝角三角开乡,所以可能是角A为钝角，也可能是角8为钝角.

若角力为钝角，贝<。'又cos"2廿2』2：

即卜>3,3)'解得3动W7+1.

力<4,

-lVCOSBV0,oo222

a+c>b,又cosBf£IJ喘?小,

fb>a,2ac8(b-2)

S-b

-1<2^4<。解得b>5.

{b>4,

综上力的取值范围为（3,⑺+1）U（5,，8）.

（2021年重庆市月考）已知集合/kKM-aoc<2a},心（1,4）,且惦。则实数a的取值范围是（）.

A.（-8,2]B.（-8,0]

C.（一端D.[1,2]

►C

►因为磕。且。C/V,所以当例A3时,2分1-a,解得正提

1-a<2a,

当/1#0时，族N则1・。>1,无解.

2a<4,

综上，实数a的取值范围是非故选C.

©应用2由运算、性质引起的分类讨论

（2021年杭州市模拟）设4=（1,4,24,8={1,非},若医4则x<）.

A.OB.0或2C.0或-2D.0或±2

►C

»当*=4时,x=£2,

若六2,则2xN,不满足集合中元素的互异性，所以淤2;