高考数学导数的应用必考知识点整理

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一、函数的单调性

在(a，b)内可导函数f(*)，f′(*)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0。

f′(*)≥0?f(*)在(a，b)上为增函数。

f′(*)≤0?f(*)在(a，b)上为减函数。

1、f′(*)0与f(*)为增函数的关系：f′(*)0能推出f(*)为增函数，但反之不肯定.如函数f(*)=*3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(*)≥0，所以f′(*)0是f(*)为增函数的充分不须要条件。

2、可导函数的极值点需要是导数为0的点，但导数为0的点不肯定是极值点，即f′(*0)=0是可导函数f(*)在*=*0处取得极值的须要不充分条件.例如函数y=*3在*=0处有y′|*=0=0，但*=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。

3、可导函数的极值表示函数在一点四周的状况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的状况，是对函数在整个区间上的函数值的比较。

二、函数的极值

1、函数的微小值：

函数y=f(*)在点*=a的函数值f(a)比它在点*=a四周其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点*=a四周的左侧f′(*)0f=*=0，那么点a叫做函数y=f(*)的微小值点，f(a)叫做函数y=f(*)的微小值。

2、函数的极大值：

函数y=f(*)在点*=b的函数值f(b)比它在点*=b四周的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点*=b四周的左侧f′(*)0，右侧f′(*)0，那么点b叫做函数y=f(*)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(*)的极大值。

微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值。

三、函数的最值

1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(*)在[a，b]上必有最大值与最小值。

2、假设函数f(*)在[a，b]上单调递增，那么f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;假设函数f(*)在[a，b]上单调递减，那么f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。

四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法

1、确定函数f(*)的定义域;

2、求f′(*)，令f′(*)=0，求出它在定义域内的一切实数根;

3、把函数f(*)的间断点(即f(*)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺次排列起来，然后用这些点把函数f(*)的定义区间分成假设干个小区间;

4、确定f′(*)在各个开区间内的'符号，依据f′(*)的符号判定函数f(*)在每个相应小开区间内的增减性.

五、求函数极值的步骤

1、确定函数的定义域;

2、求方程f′(*)=0的根;

3、用方程f′(*)=0的根顺次将函数的定义域分成假设干个小开区间，并形成表格;

4、由f′(*)=0根的两侧导数的符号来判断f′(*)在这个根处取极值的状况.

六、求函数f(*)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

1、求函数在(a，b)内的极值;

2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);

3、将函数f(*)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

性质

单调性

〔1〕假设导数大于零，那么单调递增；假设导数小于零，那么单调递减；导数等于零为函数驻点，不肯定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

〔2〕假设已知函数为递增函数，那么导数大于等于零；假设已知函数为递减函数，那么导数小于等于零。

依据微积分基本定理，对于可导的函数，有：

假如函数的导函数在某一区间内恒大于零〔或恒小于零〕，那么函数在这一区间内单调递增〔或单调递减〕，这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或微小值〔即极值可疑点〕。进一步判断那么需要知道导函数在四周的符号。对于满意的一点，假如存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之那么为微小值点。

*改变时函数〔蓝色曲线〕的切线改变。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

凹凸性

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。假如函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向