奇偶性与对称性和周期性

(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有________，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的____________．(2)性质：①f(x＋T)＝

f(x)常常写作

f

＝f

；

②

f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周期为____．最小正周期一、函数的周期性f(x＋T)＝f(x)(1)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称之为最小正周期．今后提到的三角函数的周期，如未特别指出，一般都是它的最小正周期．(2)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)＝C，所有的正数都是它的周期，但其中没有最小值，故常数函数没有最小正周期．2.最小正周期(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b＋x)或

f(a

－

x)＝f(b

－

x)则函数f(x)的周期T＝|a－b|.(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b＋x)或

f(a

－

x)＝－f(b

－

x)则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.3.与周期有关的结论1.定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+b),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称

特别的：定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.二、函数的对称性2.定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(-x+b),则函数y=f(x)的图象关于

点（

，0

对称

特别的：定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于

点(a,0)对称.3.定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)+f(-x+b)=2c,则函数y=f(x)的图象关于

点（

，c)

对称

定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+a)+f(-x+a)=2c,则函数y=f(x)的图象关于

点（a，c)

对称

4.定义在R上的函数y=f(x),,y=f(x+a)与y=f(-x+b)的图象关于直线

对称

5、函数y=f(x)满足f(x+a)是偶函数，

y=f(x)一定关于x=a对称。函数y=f(x)满足f(x+a)是奇函数，y=f(x)一定关于点（a,0)对称。6、函数y=f(2x+1)的对称中心是（1，0）。则

f(x)的对称中心是（）

f(2x)的对称中心是（）

函数y=f(2x+3)的对称中心是（)

函数y=f(2x+1)是偶函数则

f(x)的对称轴是（）f(2x)的对称轴是（）．函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周期为____．三、由函数的对称性看周期

1.定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a，x=b对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.2.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于点（a，0）,（b，0）对称，f(x)的周期T＝2|a－b|.3.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a,（b，0）,对称，则f(x)的周期T＝4|a－b|.

例：.定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称，且是一个奇函数，则________是它的一个周期。定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称，且是一个偶函数，则_______是它的一个周期。4a2a

4.定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称，且f(x)的周期T＝2|a－b|.则y=f(x)满足关于x=b对称5.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于点（a，0）,且函数f(x)的周期T＝2|a－b|，则函数f(x)关于（b，0）对称，6.若定义在R上的函数y=f(x)满足关于点x=a对称，且f(x)＝－f(2|a－b|

＋x)，则函数f(x)关于（b，0）对称。1）定义在R上的函数y=f(x)满足关于x=a对称，2a是它的一个周期，则_____________________y=f(x)是一个偶函数，

2a是它的一个周期，y=f(x)满足____________________________.例：y=f(x)是一个偶函数.关于x=a对称.2）若定义在R上的函数y=f(x)满足关于点（a，0）对称，且2a是它的一个周期，则_______________。y=f(x)是奇函数2a是函数y=f(x)的一个周期，y=f(x)是奇函数，函数y=f(x)满足__________________________。关于点（a，0）对称函数性质的应用3.3.7.(2009·全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则()DA.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数由f(x+1)为奇函数，可知f(x)的图象关于点（1，0）对称；由f(x-1)为奇函数，可知f(x)的图象关于点（-1，0）对称，则f(x)为周期函数，且T=4，则f(x+3)=f(x-1)，故选D.8.9.(2009·山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=

.-8因为f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-4)=f(-x).所以函数f(x)的图象关于直线x=-2对称，且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间［0,2］上是增函数，所以f(x)在区间［-2，0］上也是增函数.故函数f(x)的大致图象如图所示.那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.10.11.f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋3)＝f(3－x)．若x∈(0,3)时，其解析式为y＝x2＋1，求x∈(－6，－3)时，函数f(x)的解析式．【解析】因为f(x)在R上是奇函数，所以f(6＋x)＝f[3＋(3＋x)]＝f[3－(3＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋6)．当x∈(－6，－3)时，x＋6∈(0,3)，所以f(x＋6)＝(x＋6)2＋1，则f(x)＝－x2－12x－37(x∈(－6，－3))．

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．12(3)f(0)