《微积分》(上下册)教学课件02.导数与微分高等数学第3-5节

《微积分》(上下册)教学课件02.导数与微分高等数学第3-5节汇报人：AA2024-01-25目录CONTENTS导数与微分基本概念导数计算法则与方法微分计算法则与方法中值定理及其应用导数与微分在经济学中应用01CHAPTER导数与微分基本概念VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在该邻域内时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数。几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$M(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率。导数定义导数定义及几何意义设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+Deltax$在这区间内，如果函数的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示为$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$，其中A是不依赖于$Deltax$的常数，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$是可微的，而$ADeltax$叫做函数$y=f(x)$在点$x_0$相应于自变量增量$Deltax$的微分，记作$dy$，即$dy=ADeltax$。微分$dy$表示当$Deltaxto0$时，切线的纵坐标的增量。因此，微分在几何上表示曲线在某点处的切线的纵坐标的增量。微分定义几何意义微分定义及几何意义如果函数在某点可导，那么它在该点也可微；反之，如果函数在某点可微，那么它在该点也可导。因此，可导与可微是等价的。可导与可微的等价性如果函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，那么它在该点处的导数$f'(x_0)$等于它在该点处的微分系数A，即$f'(x_0)=A$。因此，可导与可微的关系式可以表示为：$f'(x_0)=lim_{Deltaxto0}frac{Deltay}{Deltax}=lim_{Deltaxto0}frac{dy}{Deltax}$。可导与可微的关系式可导与可微关系02CHAPTER导数计算法则与方法幂函数的导数对于幂函数$f(x)=x^n$，其导数为$f'(x)=nx^{n-1}$。常数函数的导数对于常数函数$f(x)=c$，其导数为$f'(x)=0$。指数函数的导数对于指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$，$aneq1$），其导数为$f'(x)=a^xlna$。三角函数的导数对于正弦函数$f(x)=sinx$，其导数为$f'(x)=cosx$；对于余弦函数$f(x)=cosx$，其导数为$f'(x)=-sinx$。对数函数的导数对于对数函数$f(x)=log_ax$（$a>0$，$aneq1$），其导数为$f'(x)=frac{1}{xlna}$。基本初等函数导数公式复合函数求导法则链式法则对于复合函数$y=f(g(x))$，其导数可以通过链式法则求解，即$frac{dy}{dx}=frac{df}{dg}cdotfrac{dg}{dx}$。逐步求导在求解复合函数的导数时，可以按照从内到外的顺序逐步求导，直到求出最终的结果。对于隐函数方程，可以直接对方程两边关于自变量求导，然后解出隐函数的导数。对于一些常见的隐函数形式，可以直接套用相应的公式求解导数。隐函数求导法则公式法直接求导法参数方程形式参数方程通常以$x=varphi(t)$，$y=psi(t)$的形式给出。导数求解参数方程的导数可以通过求解$frac{dy}{dx}=frac{frac{dy}{dt}}{frac{dx}{dt}}$得到。其中$frac{dy}{dt}$和$frac{dx}{dt}$分别表示$y$和$x$对参数$t$的导数。参数方程求导法则03CHAPTER微分计算法则与方法微分基本公式包括常数、幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的微分公式。运算法则包括加法、减法、乘法、除法等四则运算的微分法则，以及复合函数的链式法则。微分基本公式和运算法则对于复合函数，通过将其分解为若干个基本初等函数，然后分别求微分，最后根据链式法则将各部分的微分相乘得到复合函数的微分。链式法则首先确定复合函数的构成，然后对每个基本初等函数分别求微分，最后根据链式法则求出复合函数的微分表达式。具体步骤复合函数微分法隐函数概念隐函数是指不能直接解出因变量的函数关系式，需要通过方程来确定的函数关系。隐函数微分法对于隐函数，可以通过对方程两边同时求微分的方法，得到包含因变量微分的方程，然后解出因变量的微分表达式。具体步骤首先确定隐函数的方程，然后对方程两边同时求微分，得到包含因变量微分的方程，最后通过代数运算解出因变量的微分表达式。隐函数微分法04CHAPTER中值定理及其应用定理内容如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且在区间端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=0$。几何意义罗尔中值定理表明，对于满足一定条件的连续且可导的函数，其图像上至少存在一条水平切线。应用举例在证明某些等式或不等式、求解某些方程或不等式等问题中，罗尔中值定理可发挥重要作用。罗尔中值定理定理内容01如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。几何意义02拉格朗日中值定理表明，对于满足一定条件的连续且可导的函数，其图像上至少存在一条穿过两端点的割线，且该割线的斜率等于函数在该区间内某一点的导数。应用举例03拉格朗日中值定理在求解某些极限、证明某些等式或不等式、研究函数的单调性和凹凸性等问题中具有广泛应用。拉格朗日中值定理010203定理内容如果函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g'(x)neq0$，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$frac{f'(c)}{g'(c)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。几何意义柯西中值定理表明，对于满足一定条件的两个连续且可导的函数，其图像上至少存在一点，使得这两个函数在该点的切线斜率之比等于这两个函数在区间端点处的函数值之差之比。应用举例柯西中值定理在证明某些等式或不等式、求解某些方程或不等式等问题中具有重要作用。同时，它也是研究函数之间关系的重要工具之一。柯西中值定理05CHAPTER导数与微分在经济学中应用边际量表示某个经济变量在某一点上的变化率，如边际成本、边际收益等。边际概念边际函数边际分析应用通过求导得到边际函数，可以分析经济变量之间的变化关系。在经济学中，边际分析常用于研究企业决策、市场均衡等问题。030201边际分析弹性定义弹性表示一个经济变量对另一个经济变量变化的敏感程度，如价格弹性、需求弹性等。弹性计算通过微分计算弹性系数，可以量化分析经济变量之间的相互影