通信电子类课后习题答案

Mathematica

撤号实龄考制软导

王为洪编

山东水利职业学院

2004.6

Mathematica数学实验

计算机科学的发展，为我们学习和应用数学提供了一个科学的现代化的手段.把计算机

引入到数学学习中，使用计算机进行数学运算，这种用计算机代替纸和笔以及部分脑力劳动

进行数学学习和应用的手段称为数学实验.数学实验为从事与数学研究有关的人们提供了实

验手段和研究工具，有着非常重要的作用，代表着数学研究的方向，是未来科学研究中不可

缺少的方法.本书中，我们主要选择高等数学中的一些基本问题作为实验内容，并采用数学

软件Mathematica作为实验平台.

Mathematica是由美国的Wolfram公司开发的一个功能强大的计算机数学系统，以符号

演算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的绘图功能.高等数学实验的大部分计算和

绘图作业都需要使用Mathematica辅助完成.本书介绍的命令可以适用于Windows操作系统

下的Mathematica4.0.

一、Mathematical。的操作

l.Mathematica4.0的进入与退出

如果你的计算机已经安装了Mathematica4.0,系统会在Windows“开始”菜单的“程序”

子菜单中加入启动Mathematica4.0的菜单项物Mathematical,用鼠标单击它就可以启动

Mathematical。，进入Mathematica4.0的系统工作界面：

图1Mathematica4.0系统工作界面

Mathematica4.0系统工作界面是Mathematica4.0与用户的接口，是Mathematica4.0的工

作屏幕.界面上方的主菜单类似于Windows中的Word软件.其中的空白位置称为Notebook

用户区，在这里可以输入文本、实际的Mathematica4.0命令和程序等来达到使用

Mathematical。的目的.在用户区输入的内容被Mathematica4.0用一个扩展名为".nb”的文

件来记录，该文件名是退出Mathematica4.0时保存用户区输入内容的默认文件名，一般是

"Untitled-Lnb”.

退出Mathematica4.0系统像关闭Word软件一样，只要用鼠标点击Mathematica4.0系统

集成界面右上角的“关闭”按钮即可.关闭前，屏幕会出现•个对话框，询问是否保存用户

区的内容，如果单击对话框的“Save”按钮，则出现“另存为”对话框，在对话框中填上合

适的路径及文件名后，单击“保存”按钮，用户区中的内容便以给定文件名存盘并退出

Mathematical。系统；如果单击对话框的“Don'tSave”按钮，则不保存用户区的内容，直

接退出Mathematica4.0系统.

2.表达式的输入和计算

向Notebook用户区写入文字和数学表达式的方式是用键盘直接输入.

［例1］计算18!和66+88

解：在工作窗口中输入18!

66+88

同时按下Shift键和回车键进行计算.

系统完成计算后，会输出结果并自动在输入行加入显示标记在输出行加入

显示标记“Out[l]="、"Out[2]=".如:

In[l]:=18!

66+88

Out[l]=6402373705728000

Out[2]=154

二、常数、变量与函数

l.Mathematica4.0中的数据类型

整数型：可以表示任意长度的精确整数.如：31558

有理数型：可以表示任意的既约分数.如：2/3

实数型：可以表示任意精确度的近似实数.如：E

复数型：可以表示复数.如：2-31

2.系统中的数学常数

系统中的数学常数见表1.

表1系统中的数学常数

符号功能

Pi圆周率n

E自然对数的底e

Degree度

Infinity无穷大8

-Infinity负无穷大-8

I虚数单位i

以上均为精确值，在近似计算时可用下式取任意精确度的近似值.

格式1：N[表达式]

功能：以系统默认的精确度输出表达式的值.

格式2：N[表达式,n]

功能：以n位精确度输出表达式的值.

[例2]取圆周率n的前20位有效数字.

解:键入：N[Pi,20]

运行后得：3.1415926535897932385

3.变量与函数的命名规则

①变量名与函数名不能以数字开头，可以是任意长度的字符串或数字串，但其中不能有

空格及其它的运算符号.

②系统区分大小写，在变量名中，字母大小写的意义不同，一般规定系统变量名和系统

函数名以大写字母开头，复合词的每个字头都大写.为与系统变量和系统函数相区别，自定

义的变量与函数名一般用小写字母开头.

③变量名与函数名一般采用完整的英语单词.

4.变量赋值与变量替换

•个变量在参与表达式运算或输出之前，必须先获得确定的值，可通过变量赋值或变量

替换来实现.变量赋值就是把一个值赋予变量，赋值号为“=”.变量替换是在计算表达式时

临时用一个值替换变量，表达式求值完毕后变量保持原来的性态，替换形式为：“/.变量

举例如表2.

表2变量赋值与变量替换实例

格式功能

x=6赋值（将数值6赋予变量x）

x=表达式赋值（将表达式的值赋予变量X）

x=.取消赋值

表达式/.x->6变量替换（计算时暂时用6替换表达式中的x）

Clear[x]清除X的定义及其赋值

5.四则运算

（1）四则运算符号（表3）

表3四则运算符号

运算符号对应函数

加+Plus

减-Minus

乘*Times

除/Divide

乘方APower

（2）四则运算优先级

①乘方〉乘、除〉加、减.

②同级运算从左到右.

③乘方运算从右到左.

④括号最优先.

6.Mathematica4.0常用数学函数表（表4）

表4Mathematica4.0常用数学函数表

函数功能

Sqrt[x]X的算术平方根

Log[x]x的自然对数Inx

Log[b,x]以b为底x的对数logb*

Sin[x]x的正弦sinx

Cos[x]X的余弦COSX

Tan[x]x的正切tanx

Cot[x]X的余切cotx

Sec[x]x的正割secx

Csc[x]X的余割CSCX

ArcSin[x]x的反正弦arcsinx

ArcCos[x]x的反余弦arccosx

ArcTan[x]x的反正切arctanx

ArcCot[x]x的反余切arccotx

Abs[x]X的绝对值1x1

Exp[x]以e为底的指数函数e'

Sign[x]符号函数sgnx

Round[x]接近X的整数（四舍五入）

Max[xi,X2,X3，..]X],X2,X3…中的最大值

Min|xi,X2,X3.-]X],X2,X3…中的最小值

GCD[ni,n2,n3...]川,112,由…的最大公约数

LCM[ni,mm…]山,叱,由…的最小公倍数

n!n的阶乘

n!!n的双阶乘

Mod[m,n]m被n整除的余数，余数与n的符相同

Quotient[m,n]m/n的整数部分

Random[]产生0~1之间的随机数

Random[Real,x]产生0~x之间的随机数

Random[Real,{XhX2}]产生X1~X2之间的随机数

Floor[x]不大于X的最大整数

Ceiling[x]不小于X的最小整数

7.自定义函数

格式1：f[x」:=表达式

功能：定义一元函数f(x)

格式2：f[x_,y_]:=表达式

功能：定义二元函数f(x,y)

格式3：Clear[f]

功能：取消对f的定义

注意：

①函数定义中只能使用方括号,如:f[x_]；不能使用圆括号,如：f(x_).

②在定义函数中f[x」与f[x]意义不同，f[x」中X.称为形式参数，当X.取•参数时，其

右端表达式中的X将会随所取参数而变化.而f[x]的定义仅对对象X起作用，当X改变时，其

右端表达式中的X不会改变.

③自定义函数定义之后，程序执行该语句时不产生任何实际操作，也不计算函数值，仅

仅表明该函数代表某一表达式.调用时，只需用实际参数(变量或数值)代替形式参数X.即可.

[例3]比较f[x_]与f[x]的用法:

键入：

f[x」:=3x+l(用形式参数X-定义函数f(x))

f[l](计算f(D)

fix](计算f(X»

f[yl(计算f(y))

f[Sin[y]](计算f(siny))

g[x]=3x+l(用变量x定义函数g(x))

g[l]+g[x]+g[y]

运行后分别得：

4

l+3x

l+3y

i+3Sin[y]

l+3x

l+3x+g[l]+g[y]

8.关系表达式与逻辑表达式(表5,表6)

表5关系表达式

关系表达式功能

x=yX等于y

x!=yx不等于y

x>yX大于y

x<yx小于y

x>=yx大于等于y

x<=yx小于等于y

x=y==zx,y,z都相等

x!=y!=zx,y,z都不相等

表6逻辑表达式

逻辑运算符功能逻辑表达式举例

Not非Not[x==l]

And或&&与x!=0&&y<3或And[x!=0,y<3]

Or或II或x==0lly==0或Or[x=0,y=0]

9.定义分段函数

定义分段函数的方法有以下两种：

(1)在函数定义表达式的后面加写符号“/；”，指定自变量的范围.

[例4]定义分段函数

,_fx+Vxx>0

)[x2x<0

并求x=4和x=-4时的值.

解：键入：

y[x」:=x+Sqrt[x]/;x>=0

y[x_|:=xA2/;x<0

y[4]

y[-4]

运行后得：

6

16

(2)使用函数Which或If将在分支结构介绍.

三、表的使用方法

1.表的概念

表代表特定的数据结构.它是将若干表达式用{}括起来，构成的一个整体对象.表的数据

类型是List.表可以用来表示各种对象,如:数据表{1,5,9,3.6,3.14}、变量表{x,y,z,t,u,v}、3X

3矩阵{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}、解集{{x->2,y->3}}.

表的成员称为元素，表中元素的个数称为表的长度.若表中的元素还是表，称其为子表，

子表的元素称为第二层元素.类似地，可以定义第三层、第四层元素…

2.表的元素的表示(表7)

表7表的元素的表示

格式功能

t[Ln]]表t中的第n个元素

t[[-n||表t中的倒数第n个元素

First[t]表t中的第1个元素

Last[t]表t中的最后一个元素

t[[i,j]]表t中第i个子表的第j个元素

也,…}]]或由t中的第ngz,…等元素组成的新表

Part[t,{nI,*,…}]

3.表的构造方法

(1)直接法

当表中的元素较少时，可采用直接向表中键入各个元素的方法建造表，格式为：

表名={元素1,元素2,…}

如:data={张,{1,2,3,4},5678}

(2)利用表的生成函数Table

当表中的元素较多时，可用表的生成函数Table来建造表.表的建造使用循环描述方式来

实现，循环描述的调用格式为：

格式：{k,ko,k1,d)

功能：k为循环变量，必为循环初值，K为循环终值，d为步长增量；循环初值、循环

终值、步长增量可以取整数、有理数或实数；当步长为1时可以省略，当循环初值为1时也

可以省略.例如:

{k,10}表示k的取值范围是1到10的整数

{k,3,9}表示k的取值范围是3,4,5,6,7,8,9

{k,8,6}表示k的取值范围是空集

用表的生成函数建造表的格式为：

格式I：Table[通项公式f(n),{n,no,ni,d}]

功能：按照通项公式生成表中的元素，元素的个数由循环描述确定.

格式2：Table[f(m,n),{m,mo,mi,di},{n,no,ni,d2}]

功能：生成二重嵌套表.

[例5]构造1到10的立方表，步长为2.

解：键入：

Table1nA3,{n,1,10,2}]

运行后得：

{1,27,125,343,729}

[例6]构造30°到40。之间的余弦函数表，间隔取为1°.

解：键入：

Table[N[Cos[xDegree]],{x,30,40}]

运行后得：

{0.866025,0.857167,0.848048,

0.838671,0.829038,0.819152,0.809017,

0.798636,0.788011,0.777146,0.766044)

4.对表中元素的调整

在使用表的过程中，调整表中元素的系统函数见表8.

表8调整表中元素的系统函数

格式功能

Rest[表名]从给定的表中去掉第一个元素

Prepend[表名,a]将元素a加到该表的第一位

Append[表名,a]将元素a加到该表的末尾

Insert[表名,a,k]将元素a加到该表的第k位

ReplacePart[表名,a,k]用元素a替换该表的第k个元素

Take[表名,{m,n}]从给定的表中取出从m位到n位的元素

Drop[表名,{m,n}]从给定的表中去掉从m位到n位的元素

Apply[f,表名]将函数f作用到该表的每一位元素

[例7]生成1到10的整数表，取名a,从a中取出第3位到第9位的元素，计算它们的

和.

解：键入：

a=Table[n,{n,10}]

a39=Take[a,{3,9)]

Apply[Plus,a39]

运行后得：

{1,2,345,6,7,8,9,10}

{3,4,53,7,8,9}

42

四、程序设计

在进行较复杂的操作时，一般要把一系列Mathematica命令组合起来，称为批命令或程

序.•个程序为了完成其既定的任务必须有效地控制其流程，下面主要介绍程序设计中的循

环结构和分支结构.

L循环结构

当反复进行同一类操作时可使用循环结构.这里主要介绍三种方式.

(1)函数Do

格式1：Do[循环体,[k,k0,k|,d|]

功能：重复执行循环体，循环次数由循环变量k决定，循环变量k从k0变化到的，步

长为d.

格式2：Do[循环体,[k,ko,k

功能：二重循环.

在使用循环结构时，若要中断循环，可使用“B代ak”命令进行中断，跳出循环体.使用

格式为“Breaks”.

[例8]已知数列{a“}满足a”=-------,《)=x,求a3.

解：键入：1+四，1

a=x;Do[a=l/(l+n*a),{n,L3}];

Print「匕3=",a]

运行后得：

1+x

注：若命令后面有分号“：”时不显示该命令的执行结果，继续执行下命令.

(2)函数While

格式：While[条件表达式涵环体|

功能：对条件表达式进行检验，若为真时则继续执行循环体，否则终止循环.其中循环

体可以是一条命令，也可以是若干条命令.

[例9]已知1加4=0,给定e=10"，求N,使当n>N时，[■<£

解：键入：〃〃

n=1;While[l/nA2>=10A-4,n=n+1];

Print["n=",n]

运行后得：

n=101

(3)函数For

格式：For[k=k0,条件表达式,k++,循环体]

功能：对■条件表达式进行检验，若为真时则继续执行循环体，否则终止循环.k的初始

值为k0,k++表示循环控制变量k的值加1.

[例10]输出不大于3的自然数.

解:键入：

For[k=l,k<=3,k++,Print[k]]

运行后得：

1

2

3

2.分支结构

在编程时，当需要根据判别条件来确定程序流向时，可使用分支结构.

(1)函数函

格式：If[条件表达式，命令1,命令2,命令3]

功能：首先对条件表达式进行检验，若值为真，则执行命令1,若值为假，则执行命令

2,若不能判断，则执行命令3.

[例11]定义分段函数

X1x<0

>，=Ux>05

解：健入：

y[x_]:=If[x<0,xA2,xA(l/2)]

y[-2]

y[4|

运行后得：

4

2

(2)函数Which

格式：Which[条件表达式1,命令1,条件表达式2,命令2,...]

功能：依次对条件表达式进行检验，当首次遇到条件表达式为真时，执行相应的命令.

[例12]使用Which定义分段函数

"x<0

y-<Vxx>2

x0<x<2

并求x=-l和x=15时的值.

解：键入：

y[x_]:=Which[x<0,xA2,x>2,Sqrt[x],x>=0&&x<=2,x]

y[-H

y[i5]

运行后得：

715

3.输出

Mathematica命令的显示结果是表达式的值，若想改变输出形式，可用函数Print.该函数

具有计算功能，对于表达式，先计算然后输出结果；对于字符串，原样输出.

格式:Print[表达式1,表达式2,…]

功能：依次输出表达式1,表达式2,…

[例13]键入：

Print["2+6=",2+6]

运行后得：2+6=8

习题一

上机完成如下的实验任务:

1.定义分段函数

并求x=-2和x=2时的值.

2.定义分段函数

-(x+1)x<-i

y=<y/l-x2-1<x<1

0x>1

并求x=-2,x=0和x=4时的值.

3.生成1到9的整数表，取名a,并构造a中元素的平方表.

4,定义分段函数

xz+ly

_____x____x>0,y>0

+2y+1

r+y+i

x>0,y<0

3sin(x+y)x<0,y<0

并求x=2,y=-3时的值.ioo

5.分别用D。函数、While函数和For函数求

6.编程求工〃!

实验一一元函数作图

实验目的：使学生掌握在Mathematica系统下绘制••元函数图形的基本方法.

实验内容：Mathematica系统提供了多种绘制一元函数图形的工具，具体如下：

1.显函数作图

格式：Plot[f[x],{x,a,b}]

功能：作一元函数y=f(x)在区间[a,b]上的图形，其中{x,a,b}表示x的变化范围，即作图

区间.

[例1]作出y=cotx在[-2n,2页]上的图形.

解：键入：

Plot[Cot[x],{x,-2Pi,2Pi}]

运行后得：

Plot函数还可以在同一坐标系中作出多个函数的图像.

格式：P10t[{fi[x]吐[x],...},{XAb}]

功能:同时画y="x),y=f2(x),…在区间[a,b]上的图形.

[例2]同时画出y=x?和y=6在区间。2]上的图形.

解：键入：

Plot[{x^2,Sqrt[x]},{x,0,2}]

运行后得：

2.参数方程作图

Plot函数只能绘制一元显函数的图形.Mathematica系统还提供了用于参数方程作图的函

数ParametricPlot口，其调用格式为：

格式:ParametricPlot[{/«),g(f)}]

功能：作出由参数方程⑺所确定的函数在心,川上的图形.

\y=g(t)

[例刃作椭圆！x=2cos’的图形

y=sint

解：键入：

ParametricPlot[{2Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}]

运行后得：

图4

习题二

上机完成如下的实验任务:

作下列函数的图形：

l.y=x3-5x2+3x+5

2.y=xsin4x

4Jx=2cos31

y=2sin31

5k=2(r-sinr)

[y-2(1-cosr)

实验二一元函数极限的计算

实验目的：使学生掌握使用Mathematica软件进行极限计算的基本方法.

实验内容：求极限命令的调用格式为：

格式1：Limit[f[x],x->x0]

功能：求极限lim/(x),其中由减号与大于号组成.

格式2：Limit[f[x],x->xo,Directions1]

功能：求左极限烟"(X)

格式3：Limit[f[x],x->xo»Direction->-1]

功能：求右极限hm/(x)

[例]计算下列极限

e'-1

(l)lim-——(2)lim2r

XT。Xxf0+

-Jx+2

(3)lim-----------------(4)lim(l+-)3H

一x-\M—>00〃

(5)lim(J产

(6)limex

解：键入：

Limit[(Exp|x]-l)/x,x->0]

Limit[2A(l/x),x->0,Direction->-1]

Limit[(Sqrt[x+2]-Sqrt[3])/(x-l),x->l]

Limit[(1+l/n)A(3n),n->Infinity]

Limit[((2x-l)/(2x+l))A(x+l),x->+Infinity]

Limit[Exp[l/x],x->0,Directions1]

运行后得：

I

co

1

23

a3

1

a

0

习题三

上机完成如下的实验任务:

计算下列极限:

c「X-cosX

2.lim-----------

18X

3.lim(-),anv

XTO+x

4.limlnxln(l-x)

x->r

5+1严

'•理(〃+2)/

tanx-sinx

6.lim------------

x—>0X

rsinx

7.lim——

x->0X

8.lim~~——;

6/—12x+1

实验三导数的计算

实验目的：使学生掌握使用Mathematica软件求导数的方法.

实验内容：

格式1：D[f[x],x]

功能:求y=f(x)对x的导数.

格式2：D[f[x],{x,n}]

功能：求y=f(x)对x的n阶导数.

[例1]求y=xD的导数及5阶导数.

解：键入：

D[xAn,x]

D[x^n,{x,5)J

运行后得：

nx-|+"

(-4+n)(-3+n)(-2+n)(-l+n)nx-5+n

[例2]求y=sin2xcos3x在x=n处的导数.

解法一：键入：

u=D[Sin[2x]Cos[3x],x]

u/.x->Pi

运行后得：

2Cos[2x]Cos[3x]-3Sin[2x]Sin[3x]

-2

或键入：

D[Sin[2x]Cos[3x],x]/.x->Pi

运行后得：

-2

求f(x)的导数也可以用f」x],求f(x)在X。处的导数也可以用flx。].同理，求二阶导数

可用f‘'[x]和f”[xo],….(注意二阶导数的符号''为连续输入两个单引号，而不能一次输入一

个双引号.)

解法二：键入：

f[x_]:=Sin[2x]Cos[3x]

f'[x]

f[Pi]

f”[x]

f”[Pi]

运行后得：

2Cos[2x]Cos[3x]-3Sin[2x]Sin[3x]

-2

-13Cos[3x]Sin[2x]-12Cos[2x]Sin[3x]

0

习题四

上机完成如下的实验任务：

1.计算下列函数的导数：

(l)y=x2+xlnx

(2)arcsin—+yJ\-x2

2

⑶工产、

(4)y=ln3(x2)

(5)y=x2sin—

x

2.计算下列函数的二阶导数：

2

(l)y=excosx

(2)y=x2sin2x

(3)y=xcosx

实验四导数的应用

实验目的：使学生掌握使用Mathematica软件求一元函数极值和拐点的方法.

实验内容：

[例]求f(x)=x3-3x2-9x+5的极值、拐点.

解：键入：

f!x_]:=xA3-3xA2-9x+5

m=Solve[f,[x]==0,x];

xl=x/.m[[l]];

x2=x/.m[[2]];

pl=fM[xl];

p2=f”[x2];

Which[pl=0,Print[shixiao],pl>0,Print[<*xl=?,,x1,4t,jixiaozhi

",jidazhi

Which[p2==0,Print[shixiao],p2>0,Print[^x2=\x2,4t,jixiaozhi

f]x2]=,,,fIx2]],p2<0,Print[44x2=,\x2,4\jidazhif[x2]=,,,f[x2]]]

ml=Solve[f,,[x]==0,x];

x3=x/.ml[[1]];

q=f,,[x3-0.1]*f,>[x3+0.1];

Which[q<0,Print[4iguaidianC,x3,V,f[x3],4y],q>O,Print[wuguaidian]]

运行后得：

xl=-l,jidazhif[xl]=10

x2=3,jixiaozhiffx2]=-22

guaidian(l,-6)

习题五

上机完成如下的实验任务：

求下列函数的极值、拐点：

l.y=x-x-x+1

2.y=x3-5x2+3x+5

3.y=2x3+3x2-12x+14

4.y=x3-6x2+9x-5

实验五一元函数积分的计算

实验目的：使学生掌握使用Mathematica软件求一元函数积分的方法.

实验内容：

1.不定积分的计算

格式:Integrate[f[x],x]

功能：计算不定积分

[例1]计算:

(1)卜(sinx)2dx

解：键入：

Integrate[x*Sin[x]A2,x]

运行后得：

484

⑵售吧1x

J(l+x)7x

解：键入：

Integrate[ArcTan[Sqrt[x]]/((1+x)*Sqrt[x]),x]

运行后得：

ArcTad

(3)/sinxdx

解：键入：

Integrate[Exp[x]*Sin[x],x]

运行后得：

22

(4)J/'(x)/"(xWx

解：键入：

Integrate[f*[x]f[x],x]

运行后得：

2

2.定积分的计算

格式：Integrate[f[x],{x,ab}]

功能：计算定积分f/(x)dx

[例2]计算下列定积分：

(1)J飞4-x?dx

解：键入：

Integrate[Sqrt[4-xA2],{x,0,2}]

运行后得：

P

冗

(2)fe2xsinxdx

解：键入：

Integrate[Exp[2x]Sin[x],{x,0,Pi/2}]

运行后得：

p

——1+-2--a--

55

3.广义积分的计算

[例引计算下列广义积分

⑴[cosxdx

解：键入：

lntegrate[Cos[x|,{x,-Infinity,0}]

运行后得：

Integrate::idiv:IntegralofCosnotconvergeonWo.

T

上面的提示意思是：积分发散.

解：键入：

Integrate[l/xA4,{x,lJnfinity}]

运行后得：

工

解：键入：

Integrate[l/Sqrt[l-xA2],{x,O,l}]

运行后得：

P

~2

dx

(1-x)3

解：键入:

Integrate!l/(l-x)A3,{x,0,2}|

运行后得：

Integrate::idivIntegralofesnotconvergeon

MIL.

上面的提示意思是：积分发散.

习题六

上机完成如下的实验任务：

计算下列积分：

1.f--------------,dx

」(arcsinx)2V1-%2

2.厂cos—dx

J2

3.[xarctanxdx

5.e-^dx

6.f,dx

J

7.1Vx(l+4x)dx

(»1+Inx,

8.----------dx

4x

9.[Ix-1Idx

10.f11-xIJ(x-4)2dr

实验六解常微分方程

实验目的：使学生掌握使用Mathematica软件解常微分方程的基本方法.

实验内容：

1.常微分方程的通解

格式1：DSolve[微分方程,y[x],x]

功能：求微分方程的通解(符号形式).

格式2：DSolve[微分方程,y,x|

功能：求微分方程的通解(纯函数形式).

[例1]求y”_6y+9y=e3*的通解.

解：键入：

DSoIve[y"[x]-6y>[x]+9y[x]==EA(3x),y,x]

运行后得：

或键入：

DSolve[y”[x]-6y'[x]+9y[x]=EA(3x),y[x],x]

运行后得：

皿K的2

其中C[l],C[2]是两个待定常数.

2.使用初始条件求微分方程的特解

格式1：DSolve[｛微分方程，初始条件｝,y[x],x]

功能：求微分方程满足初始条件的特解.

格式2：DSolve[｛微分方程，初始条件｝,y,x|

功能：求微分方程满足初始条件的特解.

[例2]求微分方程炉=4)，满足初始条件y(0)=l,y'(0)=2的特解.

解：犍入：

DSolve[｛y"[x]==4*y[x],y[0]=1,y'⑼==2｝,y[x],x]

运行后得：

习题七

上机完成如下的实验任务：

1.求微分方程y'+y+xy2=0的通解.

2.求微分方程y+3y=8的通解及满足初始条件y(0)=2的特解.

3.求微分方程y'—ytanx-secx的通解及满足初始条件y(0)句的特解.

4.求微分方程y'_4y+3=0的通解及满足初始条件y(0)=6,y(0)=10的特解.

5.求微分方程/'-/=x的通解及满足初始条件y(0)=0,y'(0)=1的特解.

实验七级数运算

实验目的：使学生掌握使用Mathematica软件进行某级数展开及基级数求和的方法.

实验内容：Mathematica软件能对幕级数进行加、减、乘、除、乘方、微分、积分等多种运

算.下面着重介绍函数的幕级数展开及募级数求和.

1.函数展开为幕级数

格式：Series[f[x],{x,x(),n}J

功能：在点x=xo处将函数y=f(x)展开成n阶的塞级数.

[例1]将下列函数在指定点按指定阶数展开成幕级数.

(l)sinx,xo=O,n=5

⑵ln(x+l),xo=O,n=8

解：键入：

Series[Sin[x],{x,0,5}]

Series[Log[x+1],{x,0,8}]

运行后得：

x3x5+。灶

X———+-------

6120

X2X3X4X5X6X7X8Uf

X-——+——-——+——-—+——-—+O

2345678

[例2]将函数y=—!—在x=l处展开成x-1的三次塞.

解：键入：x+5

Series[l/(x+5),{x,l,3}]

运行后得：

1X-1+1

36-2161296

2.幕级数求和

格式:Sum[un,{n,k,m)]

功能：求级数的和X”.

n=k

[例3]求塞级数Z—W的和函数.

〃=i〃x2

解：键入：

Sum[xAn/(n*2An),{nJinfinity}]

运行后得：

-Log」-，、J

00

[例4]求级数的和函数・

解：键入："=1

Sum[n*xAn,{nJ,Infinity}]

运行后得：

习题八

上机完成如下的实验任务：

将下列函数在指定点按指定阶数展开成幕级数:

l.y=—!—在x=l处展开成3阶的募级数.

x—5

71

2.y=cosx在x=一处展开成5阶的曷级数.

4

3.求毒级数£(〃+13"的和函数.

n=0

4.求幕级数＜四Zl%2"-2的和函数

〃二1乙

实验八多元函数作图

实验目的：使学生掌握在Mathematica系统下绘制多元函数图形的基本方法.

实验内容：Mathematica系统提供了多种绘制多元函数图形的工具，具体如下：

1.空间曲面的显函数作图

格式：Plot3D[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]

功能：作出二元显函数z=f(x,y)在区域[a,b]X[c,d]上的图形，其中{x,a,b},{y,c,d}表示x

和y的变化范围，即xOy平面的矩形区域.

[例1]作z=x?+y3的图形.

解:键入:

Plot3D[xA2+yA3,{x,-5,5},{y,-5,5}]

运行后得：

图5

2.空间曲面及空间曲线的参数方程作图

(1)作一个双参数方程所表示的图形

格式：ParametricPlot3D[(f[u,v],g[u,v],h[u,v]},{u,Uo,U|},{v,Vo,V,}]

x=/(M,v)

功能：作出由参数方程.y=g(u,v)所确定的曲面•其中[u,uo,uj,{v,v(),vi}表示u和v

的取值范围.

Z=h(u,v)

[例2]作z=x2绕z轴的旋转面图形.

解：键入：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],rA2},{r,0,2},{t,0,2Pi}]

运行后得：

2

2

图6

(2)作单参数方程所表示的空间曲线

格式：ParametricPlot3D[{f[t],g[t],h[t]},{t,to,t!}]

x=f(t)

功能：作参数方程b，=g(f)所确定的空间曲线在区间色上]上的图形.

x=2cos/

[例引作螺旋线]>=2sinf的图形.

z=Q.2t

解：键入：

ParametricPlot3D[{2Cos[t],2Sin[t],0.2t),{t,0,4Pi}]

运行后得：

3.Show函数

在绘图过程中，有时要把绘过的图形重新调出，或对已绘图形作修改，或把绘过的几幅

图形组合在一起，这时可使用Show函数.Show函数的使用格式为：

格式1：Show[图形的名称]

功能：再现一个已作好的图形.

格式2：Show[图形1,图形2,…]

功能：再现一组已作好的图形(图形1,图形2,…).

[例4J分别作出柱面x2+y2=l和抛物面z=2-x?-y2的图形，并使用Show函数将两张曲面

拼合在一起.

解：键入：

g1=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],z},{t,0,2Pi},{z,0,2}]

AA

g2=Plot3D[2-x2-y2,{x,-l,l},{y,-l,l)|

Show(gl,g2]

运行后得：

1

图8

习题九

上机完成如下的实验任务:

1.作下列函数的图形

22

⑵Z二_2_

86

x=rsinr

(3)(y=rcost

z=t

x=3rsin/

(4)<y=2rcost

z=4/

2.使用Show函数将下列两曲面拼合在一起.

22_____

(Dz=±+匕与Z=4-+),2

22V

(2)z=x2+y2与z=6-x2-y2

实验九偏导数及全微分

实验目的：使学生掌握利用Mathematica软件进行多元函数的偏导数及全微分的计算.

实验内容：

1.偏导数

格式1：D[f,x]

功能：计算函数f关于x的偏导数.

格式2：D[f,xi,x2,...]

功能：计算函数f关于X|,X*…的高阶混合偏导数.

格式3：D[f,{Xi,n}]

功能：计算函数f关于Xi的n阶偏导数.

[例11计算下列偏导数

(l)u=exy\求u对z的偏导数.

(2)z=x3y+y3,求z对x,y的二阶混合偏导数.

(3)z=x2+y2,求z对x的二阶偏导数.

(4)f(x,y)=x2y+y2,求f1(l,2).

(5)f(x,y)=x2y+xy2,求f”xy(l,2).

解：键入：

D[Exp[x*y*z],z]

D[xA3*y4-yA3,x,y]

D[xA2+yA2,{x,2}]

D[xA2*y+yA2,y]/.{x->l,y->2}

D[x八2*y+x*yA2,x,y]/.{x->1,y->2}

运行后得：

exyzxy

3x2

2

5

6

2.全微分

格式：Dt[f[x,y]]

功能：求f的全微分.

[例2]设z=arcsin(x+y),求z的全微分.

解：键入：

Dt[ArcSin[x+y]]

运行后得：

习题十

上机完成如下的实验任务：

ydzd2Zd2Z

1.设z=arctan士，求二，二万，二^7

xSxdydxdy

2.设z=cos&77,求—

dxdydx