6.1平面向量的概念

6.1平面向量的概念【考点梳理】考点一：平面向量的概念考点二：向量的模考点三：零向量和单位向量考点四：相等向量和平行（共线）向量考点五：平面向量的综合问题【知识梳理】知识点一向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.知识点二向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度叫做有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))).知识三：.模、零向量、单位向量向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，称为向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.知识四：相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作a∥b.(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.【题型归纳】题型一：平面向量的概念1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段和有向线段的长度相等【答案】D【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对.故选：D2．（2021下·云南保山·高一统考期中）下列说法错误的是（

）A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量【答案】B【分析】由平面向量的相关概念判断.【详解】A.规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；C.平行向量就是共线向量，故正确；D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；故选：B3．（2021下·江苏南京·高一校考期中）下列命题中正确的有（

）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若和是都是单位向量，则C．若，则与的夹角为0°D．零向量与任何向量共线【答案】D【分析】根据平面向量的概念依次判断即可得出.【详解】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，故B错误；对C，若，则与的夹角为或，故C错误；对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.故选：D.题型二：向量的模4．（2021下·高一课时练习）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（

）A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④【答案】D【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤.【详解】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②∥，则与为共线向量，故不正确；③，向量的模长是非负数，故正确；④｜｜=1，故正确；⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确.故选：D.5．（2020下·高一课时练习），为非零向量，且，则（

）A．，同向 B．，反向C． D．，无论什么关系均可【答案】A【解析】分别讨论与不共线,与同向,与反向且的情况,进而得到结果【详解】当两个非零向量与不共线时,的方向与,的方向都不相同,且；当向量与同向时,的方向与,的方向都相同,且；当向量与反向且时,的方向与的方向相同（与的方向相反）,且,故选:A【点睛】本题考查向量的加法,考查向量的模6．（2021下·高一课时练习）设非零向量，若，则的取值范围为（

）A．[0，1] B．[0，2]C．[0，3] D．[1，2]【答案】C【分析】根据单位向量、向量加法等知识确定正确答案.【详解】因为是三个单位向量，因此，当三个向量同向时，取得最大值为；当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为，所以的取值范围为.故选：C题型三：零向量和单位向量7．（2022下·湖北鄂州·高一校联考期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【答案】D【分析】根据零向量的定义和性质即可判断.【详解】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；零向量与任意向量共线，D正确．故选：D.8．（2021下·广东揭阳·高一揭阳华侨高中校考阶段练习）下列结论中正确的为（

）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．对任意向量，是一个单位向量D．零向量没有方向【答案】B【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；对于B选项，向量与向量的模相等，B对；对于C选项，若，则无意义，C错；对于D选项，零向量的方向任意，D错.故选：B.9．（2022·江苏·高一专题练习）给出下列命题：①两个长度相等的向量一定相等；②零向量方向不确定；③若为平行六面体，则；④若为长方体，则．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】对①，方向不一定相同；对②，根据零向量的定义可知正确；对③，两个向量的方向不相同；对④，利用向量加法进行运算.【详解】对①，方向不一定相同，故①错误；对②，根据零向量的定义可知正确，故②正确；对③，两个向量的方向不相同，故③错误；对④，利用向量加法进行运算得：，，故④错误；故选：D.题型四：相等向量和平行（共线）向量10．（2023下·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量，则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误.综上正确的是1个.故选：B11．（2023下·江西九江·高一校考期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断【详解】因为，所以同向共线，所以，因为，所以同向共线，此时不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A12．（2023下·陕西西安·高一校考阶段练习）下列各命题中，正确的是（

）A．若，则或B．与非零向量共线的单位向量是C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量D．若，则【答案】C【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项.【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.故选：C.题型五：平面向量的综合问题13．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：(1)找出与相等的向量；(2)找出几组相反向量．【答案】(1)(2)与，与，与【分析】（1）根据相等向量定义判断选择即可；（2）根据相反向量定义判断选择即可.【详解】（1）与方向相同且长度相等，故．（2）与，与，与方向相反且长度相等分别互为相反向量．14．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知不共线．(1)若，求证：三点共线；(2)若向量与共线，求实数的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，可得三点共线；（2）利用向量共线的条件，设，列方程组求实数的值．【详解】（1）证明：，，则有，可得且为公共点，所以三点共线.（2）向量与共线，则存在唯一实数，使得，可得，即，解得.15．（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：(1)与相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)与的模相等的向量有哪些？【答案】(1)(2)(3)【分析】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.【详解】（1）由相等向量定义知：与相等的向量有.（2）由相反向量定义知：的相反向量有.（3）由向量模长定义知：与的模相等的向量有.【双基达标】一：单选题16．（2024·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（

）A．零向量没有方向 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.故选：C.17．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A18．（2023·全国·高一随堂练习）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共线向量 D．共起点的向量【答案】B【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B19．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则C． D．若，则【答案】D【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；由单位向量对于可知，，故B正确；因为，所以，故C正确；因为两个向量不能比较大小，故D错误；故选：D20．（2024·全国·高一假期作业）下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则【答案】A【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确.【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A21．（2023下·新疆·高一校考期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起点是 D．向量的终点是【答案】D【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案.【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.故选：D22．（2023下·上海浦东新·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；B．若，且与的方向相同，则C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；D．若，则与方向相同或相反【答案】B【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断.【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；对于B，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得=，故B正确；对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误.故选：B.23．（2023·全国·高一课堂例题）如图，已知向量，和点P，以点P为起点，分别画有向线段表示下列向量：(1)的相等向量；(2)的相反向量．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析【分析】（1）根据相等向量的定义画图即可；（2）根据相反向量的定义画图即可.【详解】（1）如图，作有向线段，使与同向且长度相等，则即为的相等向量．（2）如图，作有向线段，使与反向且长度相等，则即为的相反向量．24．（2023·全国·高一课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：(1)试找出与共线的向量；(2)确定与相等的向量；(3)与相等吗？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.（2）由于与长度相等且方向相同，所以.（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.【高分突破】一、单选题25．（2023下·北京·高一北京市第九中学校考期中）给出下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若且，则 D．若，，则【答案】B【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，对于B，若，，则，∴B正确，对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.故选：B．26．（2023·高一课时练习）设是正方形ABCD的中心，则（

）A．向量，，，是相等的向量B．向量，，，是平行的向量C．向量，，，是模不全相等的向量D．，【答案】D【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.【详解】

对于A项，，不共线，故A项错误；对于B项，显然不平行，且三点不共线，故B项错误；对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的长度相等，故C项错误；对于D项，根据正方形的性质，方向相同，方向相同.又，，，的长度相等，所以，，故D项正确.故选：D.27．（2023下·河北石家庄·高一校考阶段练习）下列命题正确的是（

）A．向量与是两平行向量B．若都是单位向量，则C．若，则四点构成平行四边形D．两向量相等，则它们的始点、终点相同【答案】A【分析】利用平行向量的定义即可判断A；利用向量相等的定义即可判断B，D；利用共线向量的定义即可判断C．【详解】对于A，向量与是相反向量，它们是平行向量，故A正确；对于B，若，都是单位向量，但，的方向不一定相同，故，不一定相等，故B错误；对于C，若，则四点共线或四点构成平行四边形，故C错误；对于D，若两向量相等，则它们的方向相同、长度相等，与始点、终点无关，故D错误．故选：A．28．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）下列叙述中正确的个数是（

）①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则.A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量不能比较大小判断①；举反例判断②；由时判断③；由相等向量和平行向量的关系判断④.【详解】因为向量不能比较大小，所以①错误，单位向量模都为1，方向任意，所以②错误，当时，和可能不平行，所以③错误，两个向量相等则它们一定平行，所以④正确.故选：B29．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列命题：①若，则；②的充要条件是且③若，则；④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误；对于②，当时也满足且，故错误；对于③，当时，满足，但不一定成立；对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确.故真命题的个数是1个.故选：B30．（2023·高一课时练习）判断下列各命题的真假，其中假命题的个数为（

）（1）向量的长度与向量的长度相等；（2）、是两非零向量，且与平行，则与方向相同或相反；（3）如果表示两个向量的有向线段有共同的终点，则这两个向量一定是共线向量；（4）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；（5）为模为1的向量，则．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据向量的概念，结合图形，即可得出答案.【详解】对于（1），根据向量的模的概念，可知（1）正确；对于（2），根据平行向量的概念，可知（2）正确；对于（3），如图1，的终点都是点，但是不共线，故（3）错误；对于（4），如图2，正方形中，向量和向量是共线向量，但是点A、B、C、D不在同一条直线上，故（4）错误；对于（5），根据向量的概念，可知（5）错误.所以，（3）（4）（5）为假命题.故选：C.二、多选题31．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）下列命题中正确的是（

）A．单位向量的模都相等B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；向量不能够比较大小，故C错误；根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.故选：AD.32．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）下列命题中错误的有（

）A．起点相同的单位向量，终点必相同；B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；C．若，则；D．若，则【答案】AC【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；当时，满足，但不能得到，C选项错误；由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.故选：AC33．（2023下·四川眉山·高一校考期中）给出下列命题，其中假命题为（

）A．两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；B．若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；C．若与同向，且，则；D．为实数，若，则与共线.【答案】ACD【分析】根据向量的相关概念，向量共线及向量相等，逐个分析判断即可【详解】对于A，两个具有共同终点的向量，由于起点不一定相同，它们的方向不一定相同，所以它们不一定是共线向量，所以A错误，对于B，当是不共线的四点，若，则四边形是平行四边形，若四边形是平行四边形，则，所以是四边形为平行四边形的充要条件，所以B正确，对于C，当与同向，且时，因为两个向量不能比较大小，所以C错误，对于D，为实数，若，则与不一定共线，如时，与是任意的，所以D错误，故选：ACD34．（2023下·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）下列命题正确的是（

）A．零向量与任意向量平行 B．是向量的必要不充分条件C．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 D．若，，则【答案】AB【分析】根据零向量及向量共线的性质直接可判断AC选项，根据向量相等的定义可判断B选项，根据向量共线的定义可判断D选项.【详解】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确；B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，故是向量的必要不充分条件，B选项正确；C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，故C选项错误；D选项：当时，满足，，但与不一定平行，D选项错误；故选：AB.35．（2023下·河南信阳·高一统考期中）下列关于平面向量的命题正确的是(

)A．若∥，∥，则∥B．两个非零向量垂直的充要条件是：C．若向量，则四点必在一条直线上D．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A，根据向量垂直的性质判断B，根据向量相等和向量概念判断C，根据向量共线定理判断D．【详解】对于，当时，不一定成立，A错误；对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B正确；对于C，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，错误；对于D，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使D正确．故选：BD．三、填空题36．（2023下·全国·高一随堂练习）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：①共线向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.【答案】与，与与，与【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答.【详解】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反，显然，因此的模相等.故答案为：与，与；与，与；37．（2023·高一课时练习）某人从A点出发向西走了到达点，然后改变方向向西偏北走了到达点，最后又改变方向，向东走了到达点，则的模=．【答案】【分析】根据向量共线，且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案.【详解】如图示，由题意可得向量共线，且，则四边形为平行四边形，故，故答案为：38．（2023·高一课时练习）设，是非零向量，则是成立的条件．【答案】必要不充分【分析】正向推导分同向时，反向时讨论，反向推导时利用向量共线定理即可得到.【详解】，是非零向量当同向时，，当反向时，