2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第四章　数列4-3-1　第1课时　等比数列的概念及通项公式

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式必备知识基础练1.(2021北京丰台高二期末)已知等比数列{an}满足a1=1,a4=8,则a7等于()A.32 B.32 C.64 D.642.(2021天津河西高二期末)数列1,22,12,24A.12n1 B.22nC.(1)n22n1 D.(1)n+122n13.(2021江苏启东高二期末)在等比数列{an}中,a5a2=4,a4a1=2,则公比q=()A.±12 B.±2 C.12 D4.在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于()A.2 B.3 C.48 D.25.(多选题)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{an2};③{2an};④{log2|an|}.A.① B.② C.③ D.④6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.

7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1an=0,则an=.

8.在等比数列{an}中,若a1=18,公比q=2,则a4与a8的等比中项是.9.已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2bn=an.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.10.已知数列{an}满足a1=32,且an+1=λan+1n∈N*,λ∈R且λ≠23.求使数列{an+1}是等比数列的λ的值.11.(2021湖北黄冈中学高三模拟)已知在数列{an}中,a1=1且2an+1=6an+2n1(n∈N*).(1)求证:数列an+n2为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.关键能力提升练12.已知数列{an}是等比数列,则方程组a1x+aA.唯一解 B.无解C.无数多组解 D.不能确定13.(2021江苏常州高二期中)数列{an}中,a1=12,am+n=aman(∀m,n∈N*),则a6=(A.116 B.132 C.16414.(2021湖南长沙四校高二联考)在数列{an}中,对任意n∈N*,都有an+12an=0,则2a1+aA.14 B.13 C.1215.(2021广东广州高二期末)在等比数列{an}中,a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=3,则a7+a8+a9=()A.24 B.32 C.34 D16.(多选题)已知数列{an},{bn}是等比数列,那么下列一定是等比数列的是()A.{k·an} B.1C.{an+bn} D.{an·bn}17.(多选题)(2021江苏苏州高二期中)已知{an}为等比数列,下列结论正确的是()A.若a3=2,则a22+B.a32+C.若a3=a5,则a1=a2 D.若a5>a3,则a7>a518.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它后两项的和,则它的公比q=.

19.若数列a1,a2a1,a3a2,…,anan-1,20.(2021安徽亳州高二期末)已知数列{an}满足a1=12,an+1=an2-an,若bn=1an1,则数列{bn21.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.22.已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=23an+n4,bn=(1)n·(an3n+21),其中λ为实数,n为正整数(1)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.学科素养创新练23.(多选题)(2022湖北鄂州高二期中)在数列{an}中,如果对任意n∈N*都有an+2-an+1an+1-an=k(k为常数),则称{an}A.等差数列一定是等差比数列B.等差比数列的公差比一定不为0C.若an=3n+2,则数列{an}是等差比数列D.若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比24.已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1pcn}为等比数列,求常数p.参考答案4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式1.D设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3=q3=8,解得q=2,故a7=a1q6=64.2.D根据数列的项可知该数列是一个以1为首项,22为公比的等比数列,所以该数列的通项公式为1×22n1=(1)n1×22n1=(1)n+1×22n1.3.D由a1q4.A在等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则a2a4a1a2=q3=5.AB设等比数列{an}的公比为q,则2an2an-1=aan2an-12=a取等比数列an=(1)n,则{2an}的前三项为12,2,12,不成等比数列;此时log2|an|=0,{log2|an故选AB.6.80,40,20,10设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=132,∴q=1∴这4个数依次为80,40,20,10.7.3·12n-1由2an+1an=0,得an+1an=12因为a1=3,所以an=3·128.±4依题意,得a6=a1q5=18×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±49.(1)证明由log2bn=an,得bn=2a因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,则bnbn-1=2an2an-1=2an-(2)解由已知,得a解得a1=-1,d=4,于是b1=21=12,公比q=2d=24=16,所以数列{bn}的通项公式10.解若数列{an+1}是等比数列,则an+1+1an+1即(λμ)an+2μ=0,对于任意n∈N*恒成立,则λ-μ=0,2故当λ=2时,数列{an+1}是等比数列.11.(1)证明∵2an+1=6an+2n1(n∈N*),∴an+1=3an+n12∴an+1+∵a1+12=1+1∴an+n2为等比数列,首项为32,公比为3.(2)解由(1)得,an+n2=32×3n1=1∴an=12×3nn12.C由题意,数列{an}是等比数列,可得a1a4=a2a5=a3a6,所以直线a1所以方程组a1x13.C由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=12令m=1,则an+1=a1an=12an,即数列{an}是首项为12,公比为1所以an=12×12n1=12n,故a6=126=164.14.A由an+12an=0得an+1an=2,即数列{an}则2a15.B设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3),即6q3=3,可得q3=12,因此a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=12×(3)=3216.BD由题意,可设等比数列{an}的公比为q1(q1≠0),则an=a1·q1n-1,等比数列{bn}的公比为q2(q2≠0),则bn=b1·q2n-1,对于A,当k=0时,{k·a对于B,1a∴数列1an是一个以1a1为首项,1q1对于C,举出反例,当an=1,bn=1时,数列{an+bn}不是等比数列,故C错误;对于D,an·bn=a1·b1(q1·q2)n1,∴数列{an·bn}是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D正确.故选BD.17.ABD若a3=2,则a22+a42≥2a2a4=2a32=8,当a2=a4=±2因为a32+a52≥2a3a5=2a42,当a3=a5设等比数列的公比为q,因为a3=a5,所以q2=a5a3=1,所以q=±1,当q=1时,a1=a2,故设等比数列的公比为q,则q2>0,因为a5>a3,所以a5q2>a3q2,即a7>a5,故D正确.故选ABD.18.-1+52依题意,得an=an+1+a所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q1=0,解得q=-1+19.32由题意,得anan-1=(2)n1(n≥2),所以a2a1=2,a3a2=(2)2,a4a3=(2)3,a5a4=(2)4又a1=1,所以a5=32.20.2n1因为an+1=an2-an,所以1an+1=2an1,所以1an+11=2an2=2所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=1×2n1=2n1.21.证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1Sn=an+1=(2an+1+1)(2an+1)=2an+12an,∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.∴由an+1an=2知{a由a1=S1=2a1+1,得a1=1,∴an=2n1.(2)由(1)知,an=2n1,∴bn=an+1+2an=2n2×2n1=2×2n=2n+1=4×2n1.bn+1bn=-4×2n-22.(1)证明假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即23λ32=λ49λ4⇔49λ24λ+9=49λ24λ⇔9=0,所以{an}不是等比数列.(2)解是等比数列,证明如下:因为bn+1=(1)n+1·[an+13(n+1)+21]=(1)n+1·23an2n+14=23(1)n·(an3n+21)=23bn又b1=(λ+18),所以当λ=18时,bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列;当λ≠18时,b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,所以bn+1bn=23(n故当λ≠18时,数列{bn}是以(λ+18)为首项,23为公比的等比数列23.BCD对于等差数列{an},考虑an=1,an+1=1,an+2=1,an+2-an+1an+1-an无意义,所以A选项错误;若等差比数列的公差比为0,an+2-an+1an+1-an=0,an+2an+1=