复习篇第3讲函数的奇偶性和单调性2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（原卷版）

第3讲函数的奇偶性和单调性本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！1函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(如果∀x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f2单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x②若y=f(x)递增，fx2≥f(y=f(x)递减，有类似结论！3判断函数单调性的方法①定义法解题步骤(1)任取x1,x(2)作差fx(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f(x1)(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②数形结合③性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x-2均是增函数，而y=x(x-2)不是.④复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、(2)同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M)若y=fu,u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.4函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.5函数奇偶性的性质①偶函数关于y轴对称；②奇函数关于原点对称；③若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．6判断函数奇偶性的方法①定义法先判断定义域是否关于原点对称，再求f(-x),看下与f(x)的关系：若f-x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f-x②数形结合若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.③取特殊值排除法(选择题)比如：若根据函数得到f(1)≠f(-1)，则排除f(x)是偶函数.④性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差(分母不为0)仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；一个奇函数与偶函数的积为奇函数.【题型1】函数单调性和奇偶性的判断【典题1】下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的是()A．f(x)=1-x2 C．f(x)=【巩固练习】1.(★★)下列函数中，既是奇函数，又在(1,+∞)上单调递减的是()A．f(x)=x B．f(x)=ln1|x| C2.(★★)下列函数中，既是偶函数，又在(﹣∞,0)内单调递增的函数为(A．y=x2+2x B．y=e|x| C3.(★★★)已知f(x)是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的有()①y=|f(x)|A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【题型2】函数单调性和奇偶性的性质【典题1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增则()A．f(log2π)>f(loC．f(2-π【典题2】设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x-2)>f(x-4)成立的x的取值范围为A．(13,1)【巩固练习】1.(★★)如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为6，那么f(x)在区间[-5,-1]上是()A．减函数且最大值为-6 B．增函数且最大值为C．减函数且最小值为-6 D．2.(★★)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是减函数，则()A．f(-32)<f(-1)<f(2) BC．f(2)<f(-1)<f(-32) 3.(★★★)函数f(x)的定义域为，若f(x+1)是奇函数，f(x-1)是偶函数，则()A．f(x)是奇函数 B．f(x+3)是偶函数 C．f(3)=0 D．f(x)=f(x+3)4.(★★★)已知函数f(x)为(-1,1)上的奇函数且单调递增，若f(2x-1)+f(-x+1)>0，则x的值范围是()A．(-1,1) B．(0,1)5.(★★★)函数f(x)是R上的增函数且f(a)+f(b)>f(－a)+f(－b)A．a>b>0 B．a6.(★★)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)，若f(1)=2A．-50 B．0 C．2 D．507.(★★★)已知函数f(x)=ln|x|+x2，设a=f(-2),b=f(1),c=f(20.3)A．a>b>c B．a>c>b8.(★★★)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0loga(x+1)+1,x≥0(a>0且a≠1)在RA．[34,1) 9.(★★★)已知函数f(x)=x|x|+4x+1,x∈R，若f(a)+f(a2-1)<2，则实数a的取值范围【题型3】函数图像的判断【典题1】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)=cos(2x)x B．C．f(x)=12x2【巩固练习】1.(★★)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是()A．f(x)＝x(ex+e﹣x) B．f(x)＝ln(ex+e﹣x) C．f(x)=|x|x2+1+1 D．f(x)2.(★★)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2|x| B．f(x)＝xln|x|| C．f(x)=e|x|x D．f(3.(★★)已知函数y＝f(x)的部分图象如图，则f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x+tanxB．f(x)＝x+sin2x C．f(x)＝x-12sin2x D．f(x)＝x-4.(★★★)函数f(x)=sinx⋅ln(x2+1-x)A． B． C． D．【题型4】函数的最值【典题1】已知函数f(x)=2x+1x-1，其定义域是[-8,-4)，则下列说法正确的是(A．f(x)有最大值53，无最小值 B．C．f(x)有最大值75，无最小值 D【典题2】函数f(x)=log2(xA．[1,1+C．[1,2]【巩固练习】1.(★★)若函数y=x2-5x-1的定义域[0,m]，值域为[-29A．(0，5] B．[5,294] C．[2.(★★)函数f(x)=12x2-6x+5A．(0,16] B．[16,+∞)3.(★★)函数y=x+1-1-x的值域为A．(-∞,2] B．[0,2] C．4.(★★)已知定义在R上的函数f(x)=3sinx-2x+1，则f(x)的最大值与最小值之和等于()A．0 B．1 C．2 D．35.(★★★)已知函数y=sin2x－A．[2,3] B．[2,4]6.(★★★)已知函数f(x)=a+log2(x2－A．a∈(4,5) B．a∈(5,6)【题型4】综合练习【典题1】已知定义在R奇函数f(x)=2(1)求a,b的值；(2)判断并证明f(x)在R上的单调性；(3)求该函数的值域．【典题2】定义在R上的单调增函数f(x)满足：对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值(2)求证：f(x)为奇函数(3)若f(1+2x)+f(t∙3x【巩固练习】1.(★★★)函数f(x)=ax+b1+x2是定义在区间(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(-1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t-1)+f(t)<0．2.(★★★)已知函数f(x)=(1)计算f(f(log(2)讨论函数f(x)的单调性，并写出f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)=f(x)+c，若函数g(x)有三个零点，求实数c的取值范围．3.(★★★★)对于定义域为R的函数g(x)，若函数sin[g(x)]是奇函数，则称g(x)为正弦奇函数．已知f(x)是单调递增的正弦奇函数，其值域为R,f(0)=0．(1)已知g(x)是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g(x)]=1的解”的充要条件是“-u0为方程sin[g(x)]=(2)若fa=π(3)证明：f(x)是奇函数．4.(★★★★)已知函数f(x)定义域为[-1,1]，若对于任意的x,y∈[-1,1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，有f(x)>0.（Ⅰ）证明函数f(x)是奇函数；（Ⅱ）讨论函数f(x)在区间[-1,1]上的单调性；（Ⅲ）设f(1)=1，若f(x)<m2-2am+1，对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数1.(★★)下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上是增函数的是()A．y=12x 2.(★★)设f(x)是周期为2的奇函数，当0⩽x⩽1时，f(x)=2x(1-x)，则f-A．-12 B．-14 C．13.(★★)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点对称，则函数f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2ln|x| B．f(x)＝xlnx C．f(x)=ln|x|x D4.(★★)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x-a，则f(-1)＝A．3 B．-35.(★★★)设f(x)定义在实数集R上的函数，满足条件y=f(x+1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)=(12)x-1，则A．f(23)>f(C．f(32)>f(26.(★★)若f(x)=ax,x≥1-x+3a,x<1是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为7.(★★★)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)．当x∈[-3,-1)时，f(x)=-(x+2)2，当x∈[-1,3)时，f(x)=x，则f(