【三维设计】高考数学一轮复习定积分与微积分基本定理课件理

【三维设计】高考数学一轮复习定积分与微积分基本定理课件理汇报人：AA2024-01-24目录CATALOGUE定积分基本概念与性质微积分基本定理及其应用定积分在几何中的应用定积分在物理中的应用定积分的数值计算与近似求解高考真题解析与备考策略定积分基本概念与性质CATALOGUE01定积分的定义设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度记为$Deltax_i$，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。当$n$无限增大，且$lambda=max{Deltax_i}to0$时，该和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。定积分的几何意义定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$的几何意义是曲线$y=f(x)$与直线$x=a,x=b$及$x$轴所围成的平面图形的面积。当$f(x)geq0$时，定积分的值等于该平面图形的面积；当$f(x)leq0$时，定积分的值等于该平面图形面积的负值。定积分的定义及几何意义可加性01对于区间$[a,b]$的任意划分$a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$，有$int_{a}^{b}f(x)dx=sum_{i=1}^{n}int_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx$。线性性质02对于任意常数$k_1,k_2$和函数$f_1(x),f_2(x)$，有$int_{a}^{b}[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)]dx=k_1int_{a}^{b}f_1(x)dx+k_2int_{a}^{b}f_2(x)dx$。保号性03若在区间$[a,b]$上，$f(x)geq0$，则$int_{a}^{b}f(x)dxgeq0$；若在区间$[a,b]$上，$f(x)leqg(x)$，则$int_{a}^{b}f(x)dxleqint_{a}^{b}g(x)dx$。定积分的性质换元法设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且存在单调可导的函数$x=varphi(t)$，使得$varphi(t)$的值域为$[a,b]$，则$int_{a}^{b}f(x)dx=int_{varphi^{-1}(a)}^{varphi^{-1}(b)}f[varphi(t)]varphi'(t)dt$。分部积分法设函数$u=u(x)$和$v=v(x)$在区间$[a,b]$上连续且可导，则$int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]|_{a}^{b}-int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$。牛顿-莱布尼兹公式若函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。定积分的计算法则微积分基本定理及其应用CATALOGUE02微积分基本定理包括两部分牛顿-莱布尼兹公式和微积分基本定理的逆定理。牛顿-莱布尼兹公式表述为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=F(b)-F(a)。微积分基本定理的表述0102微积分基本定理的几何解释通过微积分基本定理，我们可以将复杂的面积计算问题转化为简单的代数运算问题。几何上，微积分基本定理可以理解为曲线y=f(x)与x轴所围成的面积等于其原函数在区间端点的函数值之差。利用微积分基本定理证明等式或不等式通过构造函数并应用微积分基本定理，可以证明某些等式或不等式成立。利用微积分基本定理解决物理问题在物理中，许多问题可以通过建立数学模型并应用微积分基本定理来解决，如计算物体的位移、速度、加速度等。利用微积分基本定理计算定积分通过找到被积函数的原函数，并应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的值。微积分基本定理的应用举例定积分在几何中的应用CATALOGUE03123通过定积分求解矩形、三角形、梯形等规则图形的面积。规则图形面积计算利用定积分求解由曲线和直线所围成的不规则图形的面积，如抛物线、椭圆等。不规则图形面积计算将平面图形用参数方程表示，通过定积分求解面积。参数方程表示的面积计算平面图形的面积计算01通过定积分求解由平面图形绕某一直线旋转而成的旋转体的体积，如圆柱、圆锥、圆台等。旋转体体积计算02利用定积分求解平行截面面积为已知的立体的体积，如长方体、正方体等。平行截面面积为已知的立体体积计算03通过定积分求解其他类型的立体体积，如球体、椭球体等。其他立体体积计算空间立体的体积计算03参数方程表示的曲线弧长计算将曲线用参数方程表示，通过定积分求解弧长。01平面曲线弧长计算通过定积分求解平面曲线的弧长，如直线、圆弧、抛物线等。02空间曲线弧长计算利用定积分求解空间曲线的弧长，如螺旋线、摆线等。曲线弧长的计算定积分在物理中的应用CATALOGUE04要点三利用定积分求解变力做功的基本思路将变力做功的过程划分为无数个微小的位移段，在每个位移段上，力可以近似看作是恒力，从而可以利用恒力做功的公式进行计算，最后将所有位移段上的功累加起来，即可得到变力做功的总功。要点一要点二常见的变力做功问题弹簧弹力做功、电场力做功、摩擦力做功等。解题技巧在求解变力做功问题时，需要正确分析物理过程，确定变力的函数表达式，以及选择合适的积分变量和积分区间。要点三变力做功问题利用定积分求解水压力的基本思路将水压力的作用面积划分为无数个微小的面积段，在每个面积段上，水压力可以近似看作是均匀的，从而可以利用压强的公式进行计算，最后将所有面积段上的压力累加起来，即可得到水压力的总作用力。常见的水压力问题求解水坝、水池、水管等的水压力。解题技巧在求解水压力问题时，需要正确分析水压力的作用面积和压强分布，以及选择合适的积分变量和积分区间。水压力问题其他物理问题中的应用在求解其他物理问题时，需要正确分析物理问题的本质和数学模型的建立，以及选择合适的积分变量和积分区间。同时，还需要注意物理量的单位和量纲的匹配。解题技巧将物理问题转化为数学问题，利用定积分的概念和性质进行求解。利用定积分求解其他物理问题的基本思路求解质心、转动惯量、引力等。常见的其他物理问题定积分的数值计算与近似求解CATALOGUE05矩形法的基本思想将定积分区间划分为若干个小区间，每个小区间上选择一个代表点，以该点的函数值作为高，小区间的长度作为宽，构造矩形，所有矩形的面积之和即为定积分的近似值。矩形法的精度矩形法的精度取决于小区间的划分方式和代表点的选择。一般来说，小区间划分越细，代表点选择越合理，近似值的精度就越高。矩形法的优缺点矩形法简单易行，计算量小，但精度相对较低。适用于对精度要求不高或函数形态较为简单的情况。矩形法求定积分的近似值梯形法的基本思想将定积分区间划分为若干个小区间，每个小区间上与函数图像构成梯形，所有梯形的面积之和即为定积分的近似值。梯形法的精度梯形法的精度同样取决于小区间的划分方式和梯形的构造。与矩形法相比，梯形法能够更好地逼近曲线下的面积，因此精度相对较高。梯形法的优缺点梯形法比矩形法精度更高，但仍然存在一定的误差。适用于对精度要求较高或函数形态较为复杂的情况。梯形法求定积分的近似值辛普森法求定积分的近似值在定积分区间内选择若干个点，利用这些点的函数值构造多项式来逼近被积函数，然后对该多项式进行积分得到定积分的近似值。辛普森法的精度辛普森法的精度取决于多项式的次数和选点的合理性。一般来说，多项式次数越高，选点越合理，近似值的精度就越高。辛普森法的优缺点辛普森法具有较高的精度和适应性，能够很好地逼近复杂函数形态下的定积分。但计算量相对较大，需要选取合适的参数和算法进行优化。辛普森法的基本思想高考真题解析与备考策略CATALOGUE06（2020年全国卷II）已知函数$f(x)=e^x-ax-1$，求$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值。（2021年全国卷III）求曲线$y=x^3$与直线$y=x$所围成图形的面积。（2019年全国卷I）求函数$f(x)=x^2-2x$在区间$[0,2]$上的定积分。历年高考真题解析备考策略与建议01掌握定积分与微积分基本定理的基础知识，包括定积分的定义、性质、计算方法和微积分基本定理的内容、证明和应用。02熟悉高考中常见的函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们的图像和性质。03加强练习，通过大量的习题来提高自己的计算能力和解题技巧，同时要注重总结归纳，形成自己的知识体系。04关注历年高考真题和模拟试题，了解考