自动控制理论第四课后习题详细解答答案夏德钤翁贻方版

《自动控制理论（夏德铃）》习题答案详解

第二章

2-1试求图2-T-1所示RC网络的传递函数。

1

(a)Zj=CsRZ^R,则传递函数为:

1RCs+122

8+Cs

（b）设流过C|、。2的电流分别为4、，2,根据电路图列出电压方程:

并且有

联立三式可消去/,（S）与/2（5），则传递函数为：

2-2假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以《为输入，以为输出的传递函数。

（a）由运算放大器虚短、虚断特性可知：乜=—C①+。必如，uc=Ui-u0,

Rdtdt

对上式进行拉氏变换得到

故传递函数为

（b）由运放虚短、虚断特性有：C也一安丝+二丝=0,2+国=0,

dtR/2R/2/f2&

联立两式消去人得到

对该式进行拉氏变换得

故此传递函数为

⑹。等+常+且%-六

联立两式可消去〃，得到

对该式进行拉氏变换得到

故此传递函数为

2-3试求图2-T-3中以电枢电压锯为输入量，以电动机的转角。为输出量的微分方程式和传递函

数。

解：设激磁磁通°=恒定

2-4一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起

移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定

负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r表示）即为该随动系统的参考输入。两电位

器滑动触点间的电压差/即是无惯性放大器（放大系数为K”）的输入，放大器向直流电动机M供

电，电枢电压为“，电流为I。电动机的角位移为6L

解：笔=------------------------卢-------------.----------

2-5图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流。与&间的关系为

（q、

3

z^lO^xe°026—1。假设电路中的/?=10fi,静态工作点M0=2.39V,

\7

办=2.19X10-3A。试求在工作点（劭,%）附近。=/（为）的线性化方程。

解：id-2.19x10-3=0.（）84（”4-0.2）

2-6试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力一电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块加1、受力分析可列出如下方程：

1

代入匕=李、v2=3得

dtdt

2-7图2-T-7为插了一个温度计的槽。槽内温度为4，温度计显示温度为9。试求传递函数竺^

（考虑温度计有贮存热的热容C和限制热流的热阻R）o

解：根据能量守恒定律可列出如下方程：

对上式进行拉氏变换得到

则传递函数为

2-8试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数2。

RG）

图2-T-11

P4—agdi,相应的，有：4=A2=A,=A4=1

则

111

(b)系统共有三个回环，因此，XA,=

RiG$R2c2s&C2s

两个互不接触的回环只有一组，因此，ZL,=--------------------------=-------------------7

-R£s(R2c2s)R]R2cle2s2

1

在节点R(s)和C(s)之间仅有一条前向通道:4-'=J彳，并且有

sC、&sC2R}C}C2

A,=L则

2-13确定图2-T-13中系统的输出C(S).

当仅有2G)作用时，

图2-T-13

C(5)G02乩

当仅有£>3(s)作用时，4

2(s)1+G、H2+G]G,”]

根据叠加原理得出

第三章

3-1设系统的传递函数为

求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。

解：当输入为单位斜坡响应时，有

r(f)=f,R(s)=]

s

所以有

分三种情况讨论

(1)当：〉1时,

(2)当0<7<1时,

(3)当《=1时，

设系统为单位反馈系统,有

系统对单位斜坡输入的稳态误差为

3-2试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为

CQK

(1)G(s)=---------------(2)G(s)=------------------

(1+0.15)(1+25)5(1+0.ls)(l+0.5s)

(3)G(s)=Kf：2s)(l+4s)(4)K

S2(52+25+10)5(52+4s+200)

解：(1)K=limG(s)=50,K=limsG(s)=0,K=lims2G(s)=0；

P.v->0vSTOAs-0

2

(2)K=limG(s)=oo,Kv=limsG(s)=K,Kn=limsG(s)=0；

P5^0s_0aSTO

(3)Ko=limG(5)=oo,Kv=limsG(s)=oo,Ku=lim?G(5)=—；

/5—>0S—>05—>01Q

2

(4)Kn=limG(s)=oo,Kv=limsG(s)=—,=limsG(s)=0

/5—>05—>0200s—>0

3-3设单位反馈系统的开环传递函数为

若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

2

(1)«/)=4,(2)r(t)=&+R/,(3)r(t)=R„+R]t+-R2t

解：首先求系统的给定误差传递函数

误差系数可求得如下

(1)r(t)=Ro,此时有((/)=%,匕«)=匕«)=0,于是稳态误差级数为

e“(f)=Co4(f)=O,,20

(2)r(f)=R0+Rj,此时有[(/)=4<。)=4,匕⑺=0,于是稳态误差级数为

/(。=。0a。)+。/0)=。・1a,，20

11

(3)r(z)=R0+/?]/+]R,t~,此时有人(%)=/+R/+—R"9,0(%)=R+R2t»

r(Z)=/?2,于是稳态误差级数为

%(r)=Cor(/)+C,rQ)+号r(/)=0.1(/?,+7?7).?>0

3-4设单位反馈系统的开环传递函数为

若输入为r(f)=sin5f,求此系统的给定稳态误差级数。

解：首先求系统的给定误差传递函数

误差系数可求得如下

以及

则稳态误差级数为

3-6系统的框图如图3-T-la所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一

比例微分环节(参见图3-T-lb),试证明当适当选取a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消

除。

可见取a=筐，可使e“=Ob)

con

图3-T-l

3-7单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为

从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，Mp=0.096,

%=0.2s。试确定传递函数中的参量：及

解：由图可以判断出0<4<1,因此有

代入0.096,，p=0.2可求出

：=0.598

(on=19.588

R(s)+

3-8反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求

(1)由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。

(2)整个系统的特征方程为一+4$2+6s+4=0

图3-T-3

求三阶开环传递函数G(s),使得同时满足上述要求。

解：设开环传递函数为

32

15+k1s+k2s+k^

根据条件(1)exr=lim=0可知:%=。；

s->01+G(s)s'+k、s~+k2s+k：+K

根据条件(2)0(S)=S3+4S2+6，+4=O可知：k,=4,42=6，K=4。

所以有

3-9一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为G(s),如要求

(1)由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0。

(2)三阶系统的一对主导极点为

求同时满足上述条件的系统开环传递函数G(s)o

解：按照条件(2)可写出系统的特征方程

将上式与1+G(s)=0比较，可得系统的开环传递函数

根据条件(1)，可得

解得。=1,于是由系统的开环传递函数为

3-10已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。

(1)K=4.5,r=15(2)K=l,r=ls(3)K=O.16,7=ls

解：系统单位阶跃响应的象函数为

(1)将长=4.5,7=15代入式中可求出0“=2.12依1/5,4=°24,为欠阻尼系统，因此得

出

/P=46%,ts=7.865(2%),5.905(5%)

(2)将K=l,r=ls代入式中可求出3“=l%4/s,，=0.5,,为欠阻尼系统，因此得出

%=16.3%,「8s(2%)s,65(5%)

P

(3)将K=0.16,r=Is代入式中可求出=0.4几以/s,=1.25,过阻尼，无最大超调

量。因此只有ts=15so

3-11系统的框图如图3・T・4所示，试求当a=0时,系统的之值。如要求，是确定a的值。

(1)当a=0时，则系统传传递函数为G(s)=——，其中=提=20,24y“=2,

5+25+8

所以有7=0.354。

8

(2)。，不变时，系统传函数为G(s),要求4=0.7,则有

s~+(8a+2)s+8

24y“=2(4。+1),所以可求得求得a=0.25。

3-12已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=l的零点对系统单位脉冲响应

和单位阶跃响应的影响。

1.单位脉冲响应

(a)无零点时

(b)有零点z=-l时

比较上述两种情况，可见有零点z=-l时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相

移角为a/rfg?--~-»

1一纳

2.单位阶跃响应

(a)无零点时

(b)有零点z=—l时

加了z=-1的零点之后，超调量V。和超调时间都小于没有零点的情况。

3-13单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。

如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现

象？

单位反馈控制系统的框图如图3-T-5所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节

KGZ+I),当误差信号e(7)=0时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增

S

长，知道出现e(f)<0时，比例-积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超

调现象。

3-14上述系统，如在《。为常量时，加于系统的扰动〃(，)为阶跃函数形式，是从环节及物理作用

上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动〃(1)为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时

间无关的常量？

在r为常量的情况下，考虑扰动〃(。对系统的影响，可将框图重画如下

图A-3-2题3-14系统框图等效变换

根据终值定理，可求得“(/)为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0,〃(。为单位斜坡函数时，系

统的稳态误差为—o

《

从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态

误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时.，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信

号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。

3-15已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。

54183

53240

(1)劳斯表有52630则系统系统稳定。

5130

s°3

S4112

S3240

（2）劳斯表有$2-12劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有

s'8

s°2

两个极点具有正实部，系统不稳定。

1316

541910

53—66

（3）劳斯表有,劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统

s11010

5112

5°10

系统有两个极点具有正实部,系统不稳定。

561584

55396

54264

812

（4）劳斯表有系统处于稳定的临界状态，由辅助方程

/34

3

5°4

A（s）=2$4+6$2+4可求得系统的两对共规虚数极点S|2=+j；s34=±j

3-16根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K值的范围。

（1）K>0时，系统稳定。（2）KX）时，系统不稳定。（3）0<K<3时，系统稳定。

3-17已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G（S）=-K"+D-请在以K为横坐标，T为

$3+l）（2s+l）

纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。

系统的特征方程为£>(s)=2Tsi+(r+2)s2+(K+l)s+K=0

$32rk+1

S2r+2k

列写劳斯表1(T+2)(Z+1)—2zk得出系统稳定应满足的条件

S

r+2

s°k

«+2）（K+l）-2水

0

r+2

由此得到和应满足的不等£式和条件

234591530100

643.332.52.282.132.04

根据列表数据可绘制K为横坐标、T为纵坐标的曲线,闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中

的阴影部分。

图A-3-3闭环系统稳定的参数区域

^(5+5)(5+40)

3-18已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)试求系统的临界增

s3(5+200)(5+1000)

益K,之值及无阻尼振荡频率值。

根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程

列写劳斯表

根据劳斯判据可得

系统稳定的K值范围为

当&=1.22x106、K2=1.7535xIO'时，系统有一对共输虚数极点，此时产生等幅振荡，因此

8

临界增益Kc=L22x1()6以及K,=1.7535x10o

根据劳斯表列写=1.22/IO。时的辅助方程

解得系统的一对共甄虚数极点为42=±〃6,系统的无阻尼振荡频率即为16md/s。

(=1.7535x1()8时的辅助方程

解得系统的一对共知虚数极点为$3.4=±/338,系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。

第四章

4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益(变化时系统的根轨迹图，并

加简要说明。

K

(1)G(s)=­z--------；

心+l)(s+3)

系统开环极点为0,—1,-3,无开环零点。实轴［-1,0］与［-8,3］上有根轨迹，渐近线相角

dK

G=±60°,±180°,渐近线与实轴交点b“=-1.33,由一1=0可得出分离点为(―0.45,/0),

aS

与虚轴交点士.八回(&=12)。常规根轨迹如图A-4-2所示。

图A-4-2感4-2系统(1)常规根轨迹

(2)G(S)=^——/-------j

$($+4犷+4s+20)

方法步骤同上，实轴(—4,()］上有根轨迹，＜pu=±45°,±135°,q=—2,分离点

(-2,/0)与(—2±_/2.5),与虚轴交点士=260)。常规根轨迹如图A-4-3所示。

图A-4-3题4-2系统(2)常规根轨迹

4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(S)=/—(1)试绘制系统根轨迹的大致图形，并对系

5(5+1)

统的稳定性进行分析。(2)若增加一个零点z=-1,试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影

响？

(1)G(s)=

s2(s+2)

实轴［—8,—2］上有根轨迹，0“=±60°，5,=-0.67,由一=0可得出分离点为(0,川)，

dS

与虚轴交点为/()(%=0)常规根轨迹如图A-4-4(a)所示。从根轨迹图可见，当(>0便有二个

闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。

图A-4-4题4-3系统常规根轨迹

((s+l)

(2)G(S)=

52(5+2)

实轴［-2,-1］上有根轨迹，e“=±90°,b“=-0.5,分离点为(0,4)：常规根轨迹如图A-4-4

(b)所示。从根轨迹图看一，加了零点z=—1后，无论K取何值，系统都是稳定的。

4-4设系统的开环传递函数为G(S)”(S)=——试绘制下列条件下系统的常规根轨迹

s(s+2S+Q)

(1)a=l(2)a=1.185(3)a=3

(l)a=l时，实轴(—2,()］上有根轨迹，G=±90°,cr=0,分离点为(—0.38,0),常规根轨迹

如图图A-4-5(1)

图A-4-5(1)

(2)a=1.185时，实轴(一2,0］上有根轨迹，％=±90°,cr=0,根轨迹与虚轴的交点为

(0,土力，常规根轨迹如图图A-4-5(2)

图A-4-5(2)

(3)a=3时，实轴(-2,0］上有根轨迹，0〃=±90°,a=0,根轨迹与虚轴的交点为(0,土力，常

规根轨迹如图图A-4-5(3)

图A-4-5(3)

4-5求开环传递函数为G(S)H(S)=孚上◊的系统在下列条件下的根轨迹(1)a=10(2)a=9(3)

s(S+Q)

a=8⑷a=3

(1)实轴［-10,-1］上有根轨迹，以=±90°,b〃=T.5,分离点为(0,川)，与虚轴交点为

/0(&=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(1)

图A-4-6(1)

(2)实轴［一9,一I］上有根轨迹，仁=±90°,cr“=T,分离点为(0,4)，与虚轴交点为

川(&=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(2)

图A-4-6(2)

(3)实轴上有根轨迹，0“=±90。,々=—3.5,分离点为(0,4)，与虚轴交点为

/0(K］=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(3)

图A-4-6(3)

⑷实轴［-3,-1］上有根轨迹，以=±90°，4=-1,分离点为(0,川)，与虚轴交点为

/0(&=0)。常规根轨迹大致图形如图A-4-6(4)

图A-4-6(4)

4-7设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：(1)求无局部反

馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。(2)讨论a=2时局部反馈对系性

能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。

系统特征方程为

以C为可变参数，可将特征方程改写为

从而得到等效开环传递函数

根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴(-8,0］上有根轨迹Q=±180°,b“=—1,分离点为

(-1J0),出射角为%=干150°。参数根轨迹如图A-4-7所示。

图A-4-7题4-7系统参数根轨迹

(1)无局部反馈时(。=0)，单位速度输入信号作用下的稳态误差为〜=1；阻尼比为

?=0.5；调节时间为ts=6s(5%)

(2)e=0.2时，e»=1.2,4=0.6,'=5s(5%)

比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。

(3)当a=l时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点力2=-1。

4-8根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。

(1)实轴(-°O，-2］U|-1，+8)有根轨迹，(pa=±90°,crf(=-1.5,分离点为(-1.5,0),与虚轴交

点为川(%=3)。常规根轨迹大致图形如图A-4-8(1)

(2)实轴［0,+8)U|-2,—l］有根轨迹，仁=0°,±120°，a=-2,分离点为(—1.57,0),与虚轴

交点为川(曷=3)。常规根轨迹大致图形如图A-4-8(2)

(3)实轴［O,+8)U［-2,-1］U［-4,—3］有根轨迹，/=0°,±12(T，a=-2,虚轴交点为

(0,/0.91X&=5.375)。常规根轨迹大致图形如图A48(3)

4-9绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K值范围。

主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0<K<14.38。

图A-4-9题4-9系统主根轨迹

4-10若已知一个滞后系统的开环传递函数为G（s）H（s）="一，试绘制此系统的主根轨迹.

S

由G（s）H（s）=屋一知

S

&=0时系统的根轨迹从开环极点P]=0和b=-8出发，实轴（-oo,0]上有根轨迹，主根轨迹分

/1I、TT7T

离点一一J0;与虚轴交点士J—,临界K值一。主根轨迹如图A-4-10所示。

t—72r2r

图A-4-10

4-11上题中的开环传递函数可用下列近似公式表示⑴G（s）H（s）;K（i）（2）

G(s)"(s)（3）G（S）”（S）=7^试绘制以上三种情况的根迹，并和题4-10的

S\TS+1）

sl+5s

根轨迹进行比较，讨论采用近似式的可能性。

（1）G（S）”（5）=总匕。的根轨迹如图A-4-11（1）所示。

图A-4-11（1）G（S）H（S）=K（l—〃）根轨迹

(2)G(s)”(s)

s\1+—s

I2)

分离点（…可会合一,可

与虚轴交点土j—;临界稳

T

2

定K值为一。根轨迹如图A411（2）所示。

T

K(l-Q/2)s)

图A-4-11(2)G(s)”(s)=根轨迹

5(1+(r/2)5)

⑶G（s）"（s）=高

分离点（———根轨迹如图A-4-11（3）所示。

K

图A-4-11(3)G(M)=根轨迹

5(n+1)

讨论：当7较小时，且K在某一范围内时，可取近似式"——；若7较大，取上述近似式误差就

5(n+l)

山-可

大，此时应取近似式—~9

<T

S1+—5

4-12已知控制系统的框图如图4-T-4所示，图中G|(S)=——4——，G,(S)=上±2.试绘

(s+5)(s-5)s

制闭环系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。

系统的根轨迹如图A-4-12所示。

图A-4-12

4-13设单位反馈系统的开环传递函数为G(S)="S+"),确定a的值，使根轨迹图分别具有0,1,2

S(S+Q)

个分离点，画出这三种情况根轨迹图。

当0<。<，时，有两个分离点，当。=’时，有一个分离点，当时，没有分离点。系统的

999

根轨迹族如图A-4-13所示。

图A-4-13

第五章

5-1己知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图

(l)G(s)=J、

+1)

解：幅频特性：A(co)=1

相频特性：(p(o>--900-arctgco

列表取点并计算。

0.51.01.52.05.010.0

1.790.7070.370.2240.0390.0095

-116.6°-135°-146.3°-153.4°-168.7°-174.2°

系统的极坐标图如下：

⑵G(S)=(1+S/1+2S)

解：幅频特性：

+/J1+4疗

相频特性：以⑼=-arctgco-arctglco

列表取点并计算。

00.20.50.81.02.05.0

10.910.630.4140.3170.1720.0195

OOOOOOO

0-15.6-71.6-96.7-108.4-139.4-162.96

系统的极坐标图如下:

解：幅频特性：A（<y）=­/J]-----------

CD\1+CD2Vl+4ty2

相频特性：9（3）=-90°-arctgco-arctg2a）

列表取点并计算。

0.20.30.5125

4.552.741.270.3170.0540.0039

OOOOOO

-105.6-137.6-161-198.4-229.4-253

系统的极坐标图如下:

（4）G（,s）=-----------------r

52（1+5/1+25）

解：幅频特性：A（（y）=——

<y2Vl+«y2Vl+4（y2

相频特性：例3）=-180°-arctgco-arctglco

列表取点并计算。

0.20.250.30.50.60.81

22.7513.87.862.520.530.650.317

-195.6°-220.6°-227.6°-251.6°-261.6°-276.7°-288.4°

系统的极坐标图如下：

5-2试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。

⑴G（，=心）

解：系统为I型，伯德图起始斜率为一20dB/dec,在0=卜一1处与L（3）=201gK=0相交。

广二环节的交接频率3=,斜率下降20dB/dec,变为-40dB/dec。

（S+1）

系统的伯德图如图所示：

⑵G（S）=（I+S/I+2S）

解：伯德图起始为OdB线,

—1—的交接频率电=’s”,斜率下降20dB/dec,变为一20dB/dec。

l+2s2

——的交接频率3,=15T,斜率下降20dB/dec,变为一40dB/dec。

1+s-

系统的伯德图如图所示。

（3）G（.V）=—j---q-----r

s（s+l）（2s+l）

解：系统为1型，伯德图起始斜率为一20dB/dec,其延长线在。=1处与L（0）=201gK=0相交。

—的交接频率以='57,斜率下降20dB/dec,变为一40dB/dec。

1+2s2

丁丁的交接频率02=卜7,斜率下降20dB/dec,变为一60dB/dec。

系统的伯德图如图所示。

（4）G—（/I+2S）

解：系统为错误！未找到引用源。型，伯德图起始斜率为一40dB/dec,其延长线在。=1处与

L（0）=2OlgK=O相交;

」一的交接频率以=」sT,斜率下降20dB/dec,变为一60dB/dec。

l+2s'2

--的交接频率32=15"，斜率下降20dB/dec,变为一80dB/dec。

系统的伯德图如图所示。

5-3设单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制系统的内奎斯特图和伯德图，并求相角裕度和增益裕度。

解：幅频特性：4（啰）=—I1°L

+（0.169）2+（0.5①）2

相频特性°（口）=-90。-arctgO.\a）-arctg0.5co

0.51.01.52.03.05.010.0

17.38.95.33.51.770.670.24

-106.89°-122.3°-135.4°-146.3°-163°-184.76°-213.7°

错误！未找到引用源。系统的极坐标图如图所示。

令夕3）=780°,解得％=4.47sL

K,=---=1.2,增益裕度：GM=2（）lgK.=1.58dB。

$A®）

错误！未找到引用源。伯德图起始斜率为-20dB/dec,经过点＜y=lsT,L（0）=2OlgK=2O。

(0—l.v1处斜率下降为-40dB/dec,CO—10.V1处斜率下将为-60dB/dec。

系统的伯德图如下图所示。

令4»=1得剪切频率3c=4.08s'T,相角裕度PM=3.94deg«

5-5已知单位反馈系统的开环传递函数为

用MATLAB绘制系统的伯德图，确定=0的频率例.,和对应的相角9(g)。

解：命令如下：

»s=tf('s');

»G=l/((s*(l+s)A2));

»margin(G2);

程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。

5-6根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的

稳定性。

10_______________

⑴GU(o)H(jco)=

(汝)(0.1汝+1)(0.2汝+1)

解：命令如下：

»s=tf('s');

»G=10/(s*(0.1*s+l)*(0.2*s+l));

»margin(G);

如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。

________________2________________

(2)G(jco)H(jco)=

(%)2(0.]加+])(]0%+1)

解：命令如下：

»s=tf(,s');

»G=2/((sA2)*(0.1*s+l)*(10*s+l));

»margin(G);

如图，增益裕度无穷大，相角裕度-83,系统不稳定。

5-7己知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示，试写出系统的开环传递函数,

并汇出对应的对数相频曲线的大致图形。

(a)解：低频段由201gK=10得，K=如

(0=2S'1处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节一［—。

0.55+1

由上可得，传递函数G(s)=回。

0.5,v+1

相频特性9(@)=-arctg0.5co。

汇出系统的相频特性曲线如下图所示。

(b)解：低频段斜率为-20dB/dec,对应积分环节

S

-----11

0=2尸处，斜率下降20dB/dec,对应惯性环节-------

0.55+1

K

在剪切频率口。=2.8S-T处,=1,解得K=4.8

22

eyt.-Jl+0.5«yt.

48

传递函数为：G(s)=——：——

5(0.55+1)

(c)低频段斜率为-40dB/dec,为两个积分环节的叠加二；

S

0),=0.5$T处，斜率上升20dB/dec,对应一阶微分环节2S+1；

0),=25T处，斜率下降20dB/dec,对应一阶惯性环节一--

0.55+1

传递函数形式为：G(s)=K&s+l)

S2(0.5s+1)

图中所示Bode图的低频段可用传递函数为K/S?来描述，则其幅频特性为K/6?。取对数，得

L](<y)=201gK—201g32。

同理，Bode图中斜率为-20dB/dec的中频段可用A；/s来描述，则其对数幅频特性为

L2(CO)=201gKx-201gco»由图有，出(叫)=0dB,则有&=g。

再看图，由4(3])=L2(«,)可解得K=g♦g=0.5

综上，系统开环传递函数为G(s)=0,5(2s+D

.I(0.5s+1)

(参考李友善做法)

系统相频特性：(p(a>)=-180+arctg2a>-arctg0.5a)曲线如下：

5-8设系统开环频率特性的极坐标图如图5-T-2所示，试判断闭环系统的稳定性。

(a)解：系统开环稳定，奈氏图包围(-1.0j)点一次，PHO,所以闭环系统不稳定。

(b)解：正负穿越各一次，P=2(N.-W)=0,闭环系统稳定。

(c)闭环系统稳定。(d)闭环系统稳定。

5-9根据系统的开环传递函数G(s)”(s)=------------绘制系统的伯德图，并确定能使

s(l+s)(l+0,5s)

系统稳定之最大丁值范围。

解：7=0时，经误差修正后的伯德图如图所示。从伯德图可见系统的剪切频率在在

剪切频率处系统的相角为

由上式，滞后环节在剪切频频处最大率可有11.1。的相角滞后，即

解得r=0.1686s。因此使系统稳定的最大r值范围为0Wr<0.1686y。

5-10已知系统的开环传递函数为

试用伯德图方法确定系统稳定的临界增益K值。

K1

解：由G(s)”(s)=—7--------；知两个转折频率以=-ra"/s,⑼=lrad/s。令K=1,

5(1++3s)3

可绘制系统伯德图如图所示。

确定。3)=T80°所对应的角频率q。由相频特