2024届阳泉市重点中学数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届阳泉市重点中学数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数z满足，则复数的虚部是（）A．1 B．－1 C． D．2．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]3．有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插人另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A． B． C． D．4．对于问题：“已知x,y,z是互不相同的正数，求证：三个数x+1A．x+1z,y+1C．x+1z,y+15．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人6．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为()A． B． C． D．7．给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若为假命题，则均为假命题；③命题，则，其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（）A．24对 B．30对 C．48对 D．60对9．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．110．已知函数是奇函数，当时，，当时，，则的解集时（）A． B．C． D．11．设全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁UA的子集的个数是（）A．16 B．8 C．7 D．412．设集合，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个

的长方体框架，一个建筑工人欲从

A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为______________．14．已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个．16．已知幂函数的图象过点，则______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？不需说明理由．18．（12分）椭圆C:x2a2+y2（1）求椭圆C的方程（2）过F1作不垂直x轴的直线交椭圆于A,B两点弦AB的垂直平分线交x轴于M点，求证：AB19．（12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.20．（12分）在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)若点在曲线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的直角坐标.21．（12分）如图所示，四边形为菱形，且，，，且，平面.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.22．（10分）一个盒子里装有个均匀的红球和个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为.（1）求，的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部【题目详解】由题意可得则则复数的虚部是故选C【题目点拨】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单2、D【解题分析】

根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可。【题目详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得，故选D。【题目点拨】本题主要考查充分、必要条件定义的应用以及恒成立问题的解法。3、D【解题分析】

将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案．【题目详解】根据题意，原来有位同学，现在有插入位同学，一共有位同学，原问题可以转化为在个位置中，任选个安排后来插入位同学，有种情况，即有种排列．故选：D．【题目点拨】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．4、C【解题分析】

找到要证命题的否定即得解.【题目详解】“已知x，y，z是互不相同的正数，求证：三个数x+1z，y+1x，而它的反面为：三个数x+1z，y+1x，故选：C．【题目点拨】本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题．5、B【解题分析】

根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数．【题目详解】根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：故选：B【题目点拨】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．6、B【解题分析】

设切点分别为和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到构造函数由导数求得参数的范围。【题目详解】的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，故选B．【题目点拨】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例。7、B【解题分析】试题分析：“若，则”的逆否命题为“若，则”，为真命题；若为假命题，则至少有一为假命题；命题，则，所以正确的个数是1，选B.考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可.8、C【解题分析】试题分析：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.9、B【解题分析】

(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为【题目详解】(a+b)n展开式中所有项的二项系数和为2(2x-3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为2故答案选B【题目点拨】本题考查了二项系数和，属于基础题型.10、A【解题分析】

对的范围分类讨论，利用已知及函数是奇函数即可求得的表达式，解不等式即可．【题目详解】因为函数是奇函数，且当时，所以当，即：时，，当，即：时，可化为：，解得：.当，即：时，利用函数是奇函数，将化为：，解得：所以的解集是故选A【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题．11、B【解题分析】因为，，所以，集合的子集的个数是，故选B.12、B【解题分析】分析:先根据得到=1即得a=2,再根据求出b的值，再求则.详解：因为，所以=1，所以a=2.又因为，所以b=1,所以Q={2,1}，所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查集合的交集补集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答集合中的参数问题，要注意检验，一是检验是否满足集合元素的互异性，二是检验是否满足每一个条件.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、​【解题分析】

先求出最近路线的所有走法共有种，再求出不连续向上攀登的次数，然后可得概率.【题目详解】最近的行走路线就是不走回头路，不重复，所以共有种，向上攀登共需要3步，向右向前共需要4步，因为不连续向上攀登，所以向上攀登的3步，要进行插空，共有种，故所求概率为.【题目点拨】本题主要考查古典概率的求解，明确事件包含的基本事件种数是求解关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.14、②③【解题分析】

由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【题目详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【题目点拨】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．15、23【解题分析】除以余且除以余的数是除以余的数.和的最小公倍数是.的倍数有除以余且除以余的数有，…其中除以余的数最小数为，这些东西有个，故答案为.【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.16、3【解题分析】

先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【题目详解】设，由于图象过点,得，，，故答案为3.【题目点拨】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）（3）不存在【解题分析】

（1）根据平行四边形求得，再利用线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，证明得出平面与平面不可能垂直，得出不存在点G.【题目详解】解：（1）因为，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为，所以平面．（2）在平面ABEF内，过A作，因为平面平面，，，所以，所以如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，，．所以，．设平面的法向量为则即令，则，，所以平面的一个法向量为则．所以二面角的余弦值．（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：解法一：设平面的法向量为，则即令，则，，所以．因为，所以平面与平面不可能垂直，从而线段上不存在点，使得平面．解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：假设线段上存在点，使得平面，设，其中．设，则有，所以，，，从而，所以．因为平面，所以．所以有，因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段上不存在点，使得平面．【题目点拨】本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题.18、(1)x2【解题分析】分析：⑴由椭圆过点1，32⑵设直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数之间的关系，算长度详解：(1)∴(2)y=k(x+1)x|AB|=yAB令|点睛：本题主要考查了解析几何中椭圆的定值问题，在解答此类问题时要设点坐标和直线方程，利用根与系数之间的关系即可求出长度表达式，然后再求定值，需要一定的计算量，理解方法并能运用，本题有一定的难度．19、（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为

0

1

2

3

的数学期望【解题分析】

试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.（II）由题设知（I）知，，，，可能取值为故，，的分布列为考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20、(Ⅰ)C1的普通方程,C2的直角坐标方程；(Ⅱ)|MN|取得最小值,此时M(,).【解题分析】

(Ⅰ)利用三种方程的转化方法，即可写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设M(cosα,sinα)，则|MN|的最小值为M到距离最小值，利用三角函数知识即可求解．【题目详解】(Ⅰ)曲线的参数方程为(为参数),普通方程为，曲线的极坐标方程为，即，直角坐标方程为，即；(Ⅱ)设M(cosα,sinα)，则|MN|的最小值为M到距离，即，当且仅当α=2kπ-(k∈Z)时,|MN|取得最小值,此时M(,).【题目点拨】本题考查参数方程化成普通方程，利用三角函数知识即可求解，属于中等题.21、（1）见解析；（2）平面