山西省晋城市2024届数学高二下期末检测试题含解析

山西省晋城市2024届数学高二下期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则的值是（）A．-2B．-3C．125D．-1312．已知双曲线的一条渐近线恰好是圆的切线，且双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．3．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为A． B． C． D．4．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（）A．乙做对了 B．甲说对了 C．乙说对了 D．甲做对了5．若函数fx=3sinπ-ωx+sin5π2+ωx，且fA．2kπ-2π3C．kπ-5π126．复数的实部为A． B． C． D．7．设a，b均为正实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．设集合,则（）A． B． C． D．9．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14）内的频数为（）A．780 B．680 C．648 D．46010．设表示不超过的最大整数（如，）.对于给定的，定义，.若当时，函数的值域是（），则的最小值是（）A． B． C． D．11．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为()A．90 B．60 C．120 D．11012．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A．50种 B．60种C．120种 D．210种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答）14．已知，且，则，中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．15．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)16．已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）用数学归纳法证明：18．（12分）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.19．（12分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．20．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）求在上的最大值．21．（12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的均值．22．（10分）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1)求和的值；(2)求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：由题意可知，令得，令得所以考点：二项式系数2、D【解题分析】分析：根据题意，求出双曲线的渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离为，求得双曲线的参数，即可确定双曲线方程.详解：圆，圆心，原点在圆上，直线的斜率又双曲线的一条渐近线恰好是圆切线，双曲线的一条渐近线方程的斜率为，一条渐近线方程为，且，即由题可知，双曲线的一个焦点到渐近线的距离，解得又有，可得，，双曲线的方程为.故选D.点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，直线与圆位置关系和点到直线距离的求法，考查计算能力.3、B【解题分析】

构造函数，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.【题目详解】构造函数，则，所以在上单独递减，因为为奇函数，所以.因此不等式等价于，即，选B.【题目点拨】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等4、B【解题分析】

分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.【题目详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.【题目点拨】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.5、A【解题分析】

本题首先要对三角函数进行化简，再通过α-β的最小值是π2推出函数的最小正周期，然后得出ω【题目详解】fx==3sin=2sin再由fα=2，fβ=0，α-β的最小值是fx=2sinx+x∈2kπ-2π3【题目点拨】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．6、A【解题分析】分析:先化简复数z,再求复数z的实部.详解：原式=，所以复数的实部为.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和实部虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的实部是a,虚部为b，不是bi.7、A【解题分析】

确定两个命题和的真假可得．【题目详解】∵a，b均为正实数，若，则，命题为真；若，满足，但，故为假命题．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A.【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断．解题时必须根据定义确定命题和的真假．也可与集合包含关系联系．8、C【解题分析】

解不等式得集合A，B,再由交集定义求解即可.【题目详解】由已知所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.9、B【解题分析】试题分析：频率分布直方图中每个小方块的面积就是相应的频率，因此所求结论为.考点：频率分布直方图.10、B【解题分析】

先根据的定义化简的表达式为,再根据单调性求出函数在两段上的值域,结合已知条件列不等式即可解得.【题目详解】①当时，.在上是减函数，；②当时，.在上是减函数，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【题目点拨】本题考查了利用函数的单调性求分段函数的值域,属于中档题.11、D【解题分析】

用所有的选法共有减去没有任何一名女生入选的组队方案数，即得结果【题目详解】所有的选法共有种其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：故至少有一名女生入选的组队方案数为故选【题目点拨】本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。12、C【解题分析】

可用分步计数原理去做,分成两步，第一步安排甲学校共有A61种方法,第二步安排另两所学校有A52【题目详解】先安排甲学校的参观时间,因为甲学校连续参观两天，可以是周一周二,可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五，可以是周五周六，可以是周六周日,所以共有A61然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其余两校参观,安排方法有A5按照分步计数乘法原理可知共有A61【题目点拨】本题主要考查分步计数原理在排列组合中的应用，注意分步与分类的区别，对于有限制条件的元素要先安排，再安排其他的元素，本题是一个易错题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起，第二类小孩都不相邻.分别计算求和即可得出结论。详解：根据题意可得可以小孩为对象进行分类讨论：第一类：2个小孩在一起:,第二类：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360种，故答案为360点睛：考查计数原理和排列组合的综合，对于此类题首先要把题意分析清楚，分清楚所讨论的类别，再根据讨论情况逐一求解即可，注意计算的准确性.14、，均不大于1（或者且）【解题分析】

假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.【题目详解】∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．【题目点拨】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．15、②④【解题分析】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，故①错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故③错误；由②得函数存在最小值，且存在，使，当时，，当时，，故④正确；故填②④.点睛：本题的易错点在于正确理解“任意”和“存在”的含义，且正确区分两者的不同.16、【解题分析】

,由向量与共线，得，解得，则在方向上的投影为，故答案为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解题分析】

利用数学归纳法的证明标准，验证时成立，假设时成立，证明时等式也成立即可.【题目详解】证明：（1）当时，左边，右边，等式成立.

（2）假设当时，等式成立，即，

那么，当时，左边＝，

这就是说，当时等式也成立.

根据（1）和（2），可知等式对任何都成立.【题目点拨】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设18、（1）；（2）【解题分析】

(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.

(2)由余弦定理可得，再由面积公式可求答案.【题目详解】解：（1）由，得，，∴，又因为为锐角三角形，∴.（2）由余弦定理可知，，即，解得，∴.【题目点拨】本题考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题.19、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解题分析】

（1）圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程代入圆C的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；（2）要求△ABP的面积的最大值，只需求出点P到直线l距离的最大值，将点P坐标设为圆方程的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性，即可求解.【题目详解】(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2－4x＝0，所以圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.设A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线l的参数方程代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，并整理得t2＋t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1－t2|＝.(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0.圆C的参数方程为(θ为参数)，可设圆C上的动点P(2＋2cosθ，2sinθ)，则点P到直线l的距离d＝，当＝－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋.所以S△ABP＝××(2＋)＝2＋，即△ABP的面积的最大值为2＋.【题目点拨】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线参数方程几何意义的应用，以及利用圆的参数方程求最值，属于中档题.20、（1），；（2）1【解题分析】

(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解；(2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．【题目详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即，又由，则，而由切线的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，．(2)由(1)知，则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：－3－21＋0－0＋8↗极大值↘极小值↗4∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为1．【题目点拨】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．21、(1)见解析；(2)【解题分析】

（1）一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验．故ξ～B，由此能求出ξ的分布列．（2）由