2024届广西贵港市覃塘高中数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2024届广西贵港市覃塘高中数学高二下期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称2．设a=e1eA．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c3．已知命题R，使得是幂函数，且在上单调递增．命题：“R，”的否定是“R，”，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．4．已知复数，则（）A．1 B． C． D．55．已知集合，,则等于()A． B． C． D．6．根据下表样本数据689101265432用最小二乘法求得线性回归方程为则当时，的估计值为A．6.5 B．7 C．7.5 D．87．设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．函数过原点的切线的斜率为（）A． B．1 C． D．9．已知集合，则=（）A． B． C． D．10．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（）A． B． C． D．11．已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．12．已知随机变量服从正态分布,,则A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查.现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有__________种．14．在三棱锥中，，，，记三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则__15．已知集合若，则a的取值范围是________.16．从包括甲乙两人的6名学生中选出3人作为代表，记事件：甲被选为代表，事件:乙没有被选为代表，则等于_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的范围.18．（12分）已知A，B为椭圆上的两个动点，满足．（1）求证：原点O到直线AB的距离为定值；（2）求的最大值；（3）求过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程．19．（12分）设，，其中a，．Ⅰ求的极大值；Ⅱ设，，若对任意的，恒成立，求a的最大值；Ⅲ设，若对任意给定的，在区间上总存在s，，使成立，求b的取值范围．20．（12分）已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数存在最小值，证明：的最小值不大于1．21．（12分）已知函数，．(Ⅰ)当时，证明：；(Ⅱ)的图象与的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几条公切线，请证明你的结论．22．（10分）对任意正整数，，定义函数满足如下三个条件：①；②；③．（1）求和的值；（2）求的解析式．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可【题目详解】由题,因为最小正周期为,所以,则平移后的图像的解析式为,此时函数是奇函数,所以,则,因为,当时,,所以,令,则,即对称点为；令,则对称轴为,当时,，故选：D【题目点拨】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性2、B【解题分析】

依据y=lnx的单调性即可得出【题目详解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b【题目点拨】本题主要考查利用函数的单调性比较大小。3、C【解题分析】

利用复合命题的真值表进行判断即可，注意中的幂函数的系数为1，而中的小于的否定是大于或等于．【题目详解】命题令，解得，则为幂函数，且在上单调递增，因此是真命题，命题“，”的否定是“，”，因此是假命题，四个选项中的命题为真命题的是，其余的为假命题，故选C．【题目点拨】（1）幂函数的一般形式是，而指数函数的一般形式是；（2）我们要熟悉常见词语的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”等．4、C【解题分析】.故选5、C【解题分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.6、C【解题分析】

先根据回归直线方程过样本点的中点求解出，然后再代入求的值.【题目详解】因为，所以，即，所以回归直线方程为：，代入，则，故选：C.【题目点拨】本题考查依据回归直线方程求估计值，难度较易.回归直线方程一定过样本点的中心，也就是，这一点要注意.7、A【解题分析】

先求出，再判断得解.【题目详解】，所以复数对应的点为（3,5），故复数表示的点位于第一象限.故选A【题目点拨】本题主要考查共轭复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.8、A【解题分析】分析：设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．详解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=故选：A．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．9、D【解题分析】分析：直接利用交集的定义求解.详解：集合，，故选D.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.10、C【解题分析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用.11、D【解题分析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．12、D【解题分析】

，选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9506【解题分析】分析：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有种方法，根据乘法分步原理即得恰有一件次品的抽法的总数.详解：事情分两步完成，先从2件次品中选一件有种方法，再从98件正品里选两件有种方法，根据乘法分步原理得恰有一件次品的抽法的总数为种.故答案为：9506.点睛：本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和应用能力.14、【解题分析】

由题意画出图形，取中点，连接，，可得平面，求其面积，得到三棱锥的体积为，取中点，连接，则为三棱锥的外接球的半径，求出三棱锥的外接球的体积为，作比得答案．【题目详解】如图，，，，，，取中点，连接，，则，，且，．在中，由，，，得，．则．，即；取中点，连接，则为三棱锥的外接球的半径，．三棱锥的外接球的体积为．．【题目点拨】本题主要考查多面体及其外接球的体积的求法，意在考查学生的直观想象和数学运算能力。15、【解题分析】

首先可先求出二次方程的两根，由于可判断两根与0的大小，于是可得到答案.【题目详解】由于的两根为，由于，所以，即，解得，故答案为.【题目点拨】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度不大.16、【解题分析】因为，所以。应填答案。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解题分析】试题分析：（1）由题意，根据两个绝对值式的零点，对的取值范围进行分段求解，综合所有情况，从而可得不等式的解；（2）由不等式的解集为，由（1）作函数图形，结合图形，可直线斜率，从而可求出实数的取值范围，由此问题可得解.试题解析：（1）由已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即.所以，所求实数的范围为.18、（1）证明见解析；（2）；（3）．【解题分析】

（1）当直线AB的斜率不存在时，将代入椭圆方程可得，即可得原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，与椭圆方程联立，可得，又，则，利用韦达定理代入化简可得，则原点O到直线AB的距离，故原点O到直线AB的距离为定值；（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；（3）如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，，可得P，A，B三点共线.由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值，即可得点的轨迹方程.【题目详解】（1）证明：当直线AB的斜率不存在时，由代入椭圆方程可得：，解得，此时原点O到直线AB的距离为．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，．联立，化为，，则，，．，化为，化为，化为，原点O到直线AB的距离．综上可得：原点O到直线AB的距离为定值．（2）解：由（1）可得，，，又，当且仅当时取等号．的最大值为．（3）解：如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，．因此P，A，B三点共线．由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值．分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为．【题目点拨】本题主要考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，点到直线的距离公式，基本不等式的运用，考查了逻辑推理和运算求解能力，属于难题.19、（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解题分析】

Ⅰ求出的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得的极大值；Ⅱ当，时，求出的导数，以及的导数，判断单调性，去掉绝对值可得，构造函数，求得的导数，通过分离参数，求出右边的最小值，即可得到a的范围；Ⅲ求出的导数，通过单调区间可得函数在上的值域为，由题意分析时，结合的导数得到在区间上不单调，所以，，再由导数求得的最小值，即可得到所求范围．【题目详解】Ⅰ，当时，，在递增；当时，，在递减．则有的极大值为；Ⅱ当，时，，，在恒成立，在递增；由，在恒成立，在递增．设，原不等式等价为，即，，在递减，又，在恒成立，故在递增，，令，，∴，在递增，即有，即；Ⅲ，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为．由题意，当取的每一个值时，在区间上存在，与该值对应．时，，，当时，，单调递减，不合题意，当时，时，，由题意，在区间上不单调，所以，，当时，，当时，0'/>所以，当时，，由题意，只需满足以下三个条件：，，使．，所以成立由，所以满足，所以当b满足即时，符合题意，故b的取值范围为．【题目点拨】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．20、（1）见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）根据条件求出f'（x），然后通过构造函数g（x）＝x2ex（x＞1），进一步得到f'（x）的零点个数；（2）由题意可知a≥1时，函数f（x）无最小值，则只需讨论当a＜1时，f（x）是否存在最小值即可．【题目详解】(1),令,故在上单调递增,且.当时,导函数没有零点,当时,导函数只有一个零点.(2)证明:当时..则函数无最小值.故时,则必存在正数使得.函数在上单调递减,在上单调递增，,令.则令,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增，所以,即.所以的最小值不大于1.【题目点拨】本题考查了函数零点个数的判断和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函数思想和分类讨论思想，属中档题．21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数是2条，证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，设l（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x，分别求得导数和单调性、最值，即可得证；（Ⅱ）先确定曲线y＝f（x），y＝g（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，先化简方程得lnm﹣1．分别作出y＝lnx﹣1和y的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数，即可得到所求结论．【题目详解】（Ⅰ）当x＞0时，设h（x）＝g（x）﹣x＝lnx﹣x，h′（x）1，当x＞1时，h′（x）＜0，h（x