2024届山西省朔州市李林中学数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届山西省朔州市李林中学数学高二第二学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中，，且，点满足，则A． B． C． D．2．函数在上的最大值为（）A． B． C． D．3．设向量，，若向量与同向，则（）A．2 B．-2 C．±2 D．04．若函数存在增区间，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．5．如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（）A． B．C． D．6．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（）A． B． C． D．7．设，，若，则的最小值为A． B．8 C．9 D．108．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A． B． C． D．9．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为A．625 B．310 C．311．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A． B． C．1 D．212．复数z满足，则复数的虚部是（）A．1 B．－1 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则________．14．若z是关于x的方程的一个虚数根，则的取值范围是________.15．在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离不大于1的概率为________.16．设函数,，则函数的递减区间是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设相互垂直的直线，分别过椭圆的左、右焦点，，且与椭圆的交点分别为、和、.（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18．（12分）在二项式的展开式中.（1）若展开式后三项的二项式系数的和等于67，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项.19．（12分）伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人数510151055使用手机支付人数31012721（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用不适用合计（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；参考数据如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828参考格式：，其中20．（12分）已知在中，角、、的对边分别是、、，且．（1）求角的大小；（2）若的面积，，，求的值．21．（12分）给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。22．（10分）已知函数，M为不等式的解集.（1）求M；（2）证明：当，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解．详解：由题意，以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设点，则，又由，所以，即，所以，所以，故选D．点睛：本题主要考查了向量的坐标表示与向量的坐标运算问题，其中恰当的建立直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力．2、A【解题分析】

对函数求导，利用导数分析函数的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数的最大值．【题目详解】，，令，由于，得.当时，；当时，．因此，函数在处取得最小值，在或处取得最大值，，，因此，，故选A．【题目点拨】本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的基本步骤如下：（1）求导，利用导数分析函数在闭区间上的单调性；（2）求出函数的极值；（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值．3、A【解题分析】

由与平行，利用向量平行的公式求得x,验证与同向即可得解【题目详解】由与平行得，所以，又因为同向平行，所以.故选A【题目点拨】本题考查向量共线（平行）的概念，考查计算求解的能力，属基础题．4、C【解题分析】

先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.【题目详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.5、B【解题分析】

由定积分的运算得：S阴（1）dx＝（x），由几何概型中的面积型得：P（A），得解．【题目详解】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S阴（1）dx＝（x），设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选B．【题目点拨】本题考查了定积分的运算及几何概型中的面积型，考查基本初等函数的导数，属基础题6、A【解题分析】

根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．【题目详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。【题目详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。【题目点拨】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。8、B【解题分析】

由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln2)，则|PQ|的最小值为(1－ln2)×2＝(1－ln2)．9、C【解题分析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．10、D【解题分析】

因为是不放回抽样，故在第一次抽到“红心”时，剩下的4张扑克中有2张“红心”和2张“方块”，根据随机事件的概率计算公式，即可计算第二次抽到“红心”的概率．【题目详解】因为是不放回抽样，故在第一次抽到“红心”的条件下，剩下的4张扑克中有2张“红心”和2张“方块”，第二次抽取时，所有的基本事件有4个，符合“抽到红心”的基本事件有2个，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为12故答案选D【题目点拨】本题给出无放回抽样模型，着重考查抽样方法的理解和随机事件的概率等知识，属于基础题．11、B【解题分析】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【题目详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小故答案选B【题目点拨】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.12、C【解题分析】

由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部【题目详解】由题意可得则则复数的虚部是故选C【题目点拨】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由曲线与直线联立，求出交点，以确定定积分中的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式即可得到答案。【题目详解】联立，得到交点为，故曲线与直线，所围成封闭图形的面积；故答案为【题目点拨】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键，属于基础题。14、【解题分析】

由判别式小于0求得m的范围，设z＝a+bi（a，b∈R），利用根与系数的关系求得a值及b与m的关系，进一步求|z+1|，则答案可求．【题目详解】解：由△＝4﹣4（m2﹣8）＜0，解得m2＞1．设z＝a+bi（a，b∈R），则2a＝2，a＝1，a2+b2＝m2﹣8，即b2＝m2﹣1．∴|z+1|＝|（a+1）+bi|＝|2+bi|∈（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【题目点拨】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．15、【解题分析】

通过计算对应面积，即可求得概率.【题目详解】该点取自圆内，占有面积为，而该点到圆心的距离不大于1占有面积为：，故所求概率为：.【题目点拨】本题主要考查几何概型的相关计算，难度不大.16、【解题分析】,如图所示，其递减区间是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）存在，使得恒成立，详见解析【解题分析】

（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出线段的中点坐标，利用弦长公式计算出，于此得出圆心坐标和半径长，再写出圆的标准式方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，分别计算出和，可计算出的值，在直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及韦达定理计算出，同理计算出，代入题中等式计算出的值，从而说明实数存在．【题目详解】（1）由题意可设的方程为，代入可得．所以，的中点坐标为．又，所以，以为直径的圆的方程为．（2）假设存在常数，使得恒成立．①当与轴垂直或与轴垂直时，；②设直线的方程为，则直线的方程为．将的方程代入得：．由韦达定理得：，，所以．同理可得．所以．因此，存在，使得恒成立．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查弦长公式、圆的标准方程，计算量大，解题的易错点就是计算，计算时可充分利用因式分解等一些常规步骤来操作，另外在设直线方程时也可以掌握一些技巧，降低运算量．18、（1）展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，，（2），常数项为【解题分析】

（1）根据条件求出的值，然后判断第几项二项式系数最大，并求之；（2）常数项其实说明的指数为，根据这一特点，利用项数与第几项的关系求解出的值.【题目详解】解：（1）由已知整理得，显然则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项（2）设第项为常数项，为整数，则有，所以，或当时，；时，（不合题意舍去），所以常数项为【题目点拨】对于形如的展开式，展开后一共有项，若为奇数，则二项式系数最大的项有项，分别为项，为若为偶数，则二项式系数最大的项有项，即为项（也可借助杨辉三角的图分析）.19、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】

（1）根据题中的数据补充列联表，计算出的值，根据临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的问题下结论；（2）先确定年龄在和的人数，可得知的取值有、、、，然后利用超几何分布列的概率公式计算概率，列出随机变量的分布列，并计算出的数学期望。【题目详解】（1）根据题意填写列联表，如下；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用33235不适用7815合计104050根据表中数据，计算K2的观测值，所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）由题意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：0123pξ的数学期望是．【题目点拨】本题第（1）问考查独立性检验，关键在于列出列联表并计算出的观测值，第（2）问考查离散型随机分布列与数学期望，这类问题首先要弄清楚随机变量所服从的分布列，并利用相关公式进行计算，属于常考题型，考查计算能力，属于中等题。20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据同角三角函数关系得到2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解出角A的余弦值，进而得到角A；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理得到a=，再结合正弦定理得到最终结果.【题目详解】（1）∵在△ABC中2sin2A+3cos（B+C）=0，∴2（1﹣cos2A）﹣3cosA=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去），∵0＜A＜π，∴A=；（2）∵△ABC的面积S=bcsinA=bc=5，∴bc=20，再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=21，∴a=，∴sinB+sinC∴sinB+sinC的值是.【题目点拨】这个题目考查了同角三角函数的化简求值，考查了三角形面积公式和正余弦定理的应用，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公