2024届河南省商丘名校数学高二第二学期期末监测模拟试题含解析

2024届河南省商丘名校数学高二第二学期期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题，则（）A．是真命题，，B．是假命题，，C．是真命题，，D．是假命题，，2．设，则使得的的取值范围是（）A． B． C． D．3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：由公式算得：K2＝≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”4．若满足约束条件则的最大值为（）A．5 B． C．4 D．35．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．6．已知点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点，的中点在轴上，则等于（）A． B． C． D．7．函数y的图象大致为（）A． B．C． D．8．函数的最大值为（）A． B．1 C．4033 D．9．下列有关结论正确的个数为（）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；②设，则“”是“的充分不必要条件；③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为．A．0 B．1 C．2 D．310．在中，角的对边分别是，若，则（）A．5 B． C．4 D．311．若X是离散型随机变量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．312．设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则_______.14．一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球.从中一次性任取个小球，将“恰好含有个红球”的概率记为，则当__________时，取得最大值．15．若实数x,y满足x+y-2≥0x≤4y≤5则z=y-x的最小值为16．已知直线经过点，且点到的距离等于，则直线的方程为____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（，简称）是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数，其中，有4天空气质量为优，有2天空气质量为良，有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空气质量为优的天数，求随机变量的分布列和数学期望.18．（12分）已知函数的最小值为.（1）若，求证：；（2）若，，求的最小值.19．（12分）已知都是实数，，.（Ⅰ）若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若对满足条件的所有都成立，求实数的取值范围．20．（12分）从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ⅱ）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值）的定价为16元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记表示这件产品的利润，求.附：，若，则.21．（12分）在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含的项．22．（10分）已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数存在最小值，证明：的最小值不大于1．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据命题真假的判断和含有量词的命题的否定，即可得到结论.详解：，恒成立是真命题，，故选C.点睛：本题考查命题真假的判断，含有量词的命题的否定关系的应用.2、B【解题分析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（ex﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，则有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．3、A【解题分析】

，则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.本题选择A选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.4、A【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【题目详解】由约束条件作出可行域如图，

联立，可得，

化目标函数为，

由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．

故选：A．【题目点拨】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5、C【解题分析】

求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【题目详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选：C．【题目点拨】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．6、A【解题分析】由题意可得，设P，且，所以=，选A.【题目点拨】若，是椭圆的左、右焦点，且，则点P的坐标为．7、B【解题分析】

通过函数的单调性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案.【题目详解】因为，其定义域为所以，所以为奇函数，其图像关于原点对称，故排除A、C项，当时，，所以D项错误，故答案为B项.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点的函数值来判断函数的图像，属于简单题.8、C【解题分析】,选C.9、D【解题分析】对于①，，所以，故①正确；对于②，当，有，而由有，因为，所以是的充分不必要条件，故②正确；对于③，由已知，正态密度曲线的图象关于直线对称，且所以，故③正确．点睛：本题主要考查了条件概率，充分必要条件，正态分布等，属于难题．这几个知识点都是属于难点，容易做错．10、D【解题分析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【题目详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【题目点拨】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．11、C【解题分析】

本题考查期望与方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得结论．【题目详解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故选C.考点：离散型随机变量的期望方差.12、D【解题分析】

根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【题目详解】命题“若，则方程有实根”的逆否命题是命题“若方程没有实根，则”，故选：D．【题目点拨】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

画出数轴，利用满足的概率，可以求出的值即可.【题目详解】如图所示，区间的长度是6，在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，则有，解得，故答案是：2.【题目点拨】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14、20【解题分析】分析：由题意可知，满足超几何分布，列出的公式，建立与的表达式，求最大值。详解：，取得最大值，也即是取最大，所以：解得，故。点睛：组合数的最大值，可以理解为数列的最大项来处理。15、-6【解题分析】略视频16、或【解题分析】

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不成立；当直线的斜率存在时，直线的方程为，由点到的距离等于，解得或，由此能求出直线的方程。【题目详解】直线经过点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到的距离等于，不成立；当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，点到的距离等于，，解得或，直线的方程为或，即或故答案为：或【题目点拨】本题考查点斜式求直线方程以及点到直线的距离公式，在求解时注意讨论斜率存在不存在，属于常规题型。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）可先计算对立事件“抽取的3天空气质量都不为良”的概率，再利用相关公式即得答案；（Ⅱ）找出随机变量的所有可能取值，分别计算相关概率，从而列出分布列计算数学期望.【题目详解】（Ⅰ）解：设事件为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”，事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”，从7天中随机抽取3天共有种不同的选法，抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法，则,所以，事件发生的概率为.（Ⅱ）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.【题目点拨】本题主要考查对立事件的相关概念与计算，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力和计算能力.18、（1）见解析；（2）4【解题分析】

试题分析：（1）由绝对值三角不等式得，从而，要证明，只需证明，作差即可得证；（2）由题意，，展开后，利用基本不等式求解即可.试题解析：（1）.要证明，只需证明，∵，∵，∴，∴，∴，可得.（2）由题意，，故，当且仅当，时，等号成立.19、（I）；（II）.【解题分析】试题分析：（1）化简函数的解析式，由得或．求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由题可得，由绝对值不等式可得的最小值为2，可得，再根据的解集，求得的解集.试题解析：（1），由得或解得或，故所求实数的取值范围为．（2）由且，得，又∵，∴，∵的解集为，∴的解集为，∴所求实数的取值范围为．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.20、（1）200,150；（2）（i）；（ⅱ）280.【解题分析】

（1）直接利用样本平均数和样本方差公式计算得到答案.（2）（i）先判断，则（ⅱ）Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，计算，再计算【题目详解】（1）由题意得.∴，即样本平均数为200，样本方差为150.（2）（i）由（1）可知，，∴（ⅱ）设Ⅹ表示100件产品的正品数，题意得，∴，∴.【题目点拨】本题考查了数学期望，方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21、（1）第3项的系数为24＝240.（2）含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.【解题分析】试题分析：(1)根据二项展开式的通项，即可求解第项的二项式系数及系数；（2）由二项展开式的痛项，可得当时，即可得到含的系数.试题解析：(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C(2)42＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.22、（1）见解析；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）根