广西壮族自治区南宁市二中2024届数学高二第二学期期末预测试题含解析

广西壮族自治区南宁市二中2024届数学高二第二学期期末预测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．282．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）8.28.610.011.311.9支出（万元）6.27.58.08.59.8根据表中数据可得回归直线方程，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为()A．15.2 B．15.4 C．15.6 D．15.83．如图是导函数的图象，则的极大值点是（）A． B． C． D．4．如图，y=f(x)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)=（）．A．－1 B．0 C．2 D．45．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（）A．30个 B．42个 C．36个 D．35个6．已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．或27．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，正面向上的次数为，则（）A． B．C． D．8．下列函数中，既是奇函数又是上的增函数的是（）A． B． C． D．9．设，则二项式展开式的常数项是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-112010．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．11．设A、B是非空集合，定义：且.已知，，则等于（）A． B． C． D．12．给出一个命题p：若，且，则a，b，c，d中至少有一个小于零，在用反证法证明p时，应该假设（）A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于或等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设全集，集合，，则_．14．已知向量.若与共线，则在方向上的投影为________.15．从，中任取2个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件”取到的两个数均为偶数”，则_______．16．直线过抛物线的焦点且与交于、两点，则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）求过点P(3,4)且在两个坐标轴上截距相等的直线l1（2）求过点A(3,2)，且与直线2x-y+1=0垂直的直线l218．（12分）求函数的单调区间.19．（12分）已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.20．（12分）将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为，第二次出的点数为，且已知关于、的方程组.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为，求且的概率.21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）经过点作直线，与曲线交于两点.如果点恰好为线段的中点，求直线的方程．22．（10分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性；附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，，．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：根据题意：，故选C.考点：排列组合.2、C【解题分析】

由于回归直线方程过中心点，所以先求出的值，代入回归方程中，求出，可得回归直线方程，然后令可得结果【题目详解】解：因为，所以，所以回归直线方程为所以当时，故选：C【题目点拨】此题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属于基础题3、B【解题分析】

根据题意，有导函数的图象，结合函数的导数与极值的关系，分析可得答案．【题目详解】根据题意，由导函数的图象，，并且，，，在区间，上为增函数，，，，在区间，上为减函数，故是函数的极大值点；故选：．【题目点拨】本题考查函数的导数与单调性、极值的关系，注意函数的导数与极值的关系，属于基础题．4、B【解题分析】

将点3,1的坐标代入切线方程得出k的值，得出f'3=ky=gx求导得g'x【题目详解】将点3,1代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1，得k=-13，所以，由于点3,1在函数y=fx的图象上，则f对函数gx=xfx∴g'3【题目点拨】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点是切线与函数图象的公共点。5、C【解题分析】

解：∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）．故选C6、C【解题分析】

转化条件得，再利用即可得解.【题目详解】由题意可知双曲线的渐近线为，又渐近线与轴所形成的锐角为，，双曲线离心率.故选：C.【题目点拨】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.7、D【解题分析】分析：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数，由此能求出正面向上的次数的分布列详解：将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数.故选D.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．8、B【解题分析】

分别画出各选项的函数图象,由图象即可判断.【题目详解】由题,画出各选项函数的图象,则选项A为选项B为选项C为选项D为由图象可知,选项B满足既是奇函数又是上的增函数,故选:B【题目点拨】本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质.9、A【解题分析】

分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.10、D【解题分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【题目详解】详解：，将代入得，故选D．【题目点拨】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．11、A【解题分析】求出集合中的函数的定义域得到：，即可化为或解得，即，则故选12、C【解题分析】

由“中至少一个小于零”的否定为“全都大于等于”即可求解.【题目详解】因为“a，b，c，d中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”,

所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“全都大于等于”,

故选：C.【题目点拨】本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用已知求得：，即可求得：，再利用并集运算得解.【题目详解】由可得：或所以所以所以故填：【题目点拨】本题主要考查了补集、并集的运算，考查计算能力，属于基础题．14、【解题分析】

利用共线向量的坐标表示求出参数，再依据投影的概念求出结果即可．【题目详解】∵∴.又∵与共线，∴，∴，∴，∴在方向上的投影为.【题目点拨】本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．15、【解题分析】

先求得事件所包含的基本事件总数，再求得事件所包含的基本事件总数，由此求得的值.【题目详解】依题意，事件所包含的基本事件为共六种，而事件所包含的基本事件为共三种，故.【题目点拨】本小题主要考查条件概型的计算，考查列举法，属于基础题.16、【解题分析】

本题先根据抛物线焦点坐标可得出值，再根据抛物线的定义和准线，可知，再分类讨论直线斜率存在和不存在两种情况，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理最终求得结果.【题目详解】由题得，抛物线的焦点，所以，故.所以抛物线的方程为：.可设，由抛物线的定义可知：.当斜率不存在时，，所以：.当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为：.联立，整理得：，所以，所以.综合①②，可知.故答案为:1.【题目点拨】本题主要考查抛物线的标准方程，焦点坐标和准线，结合抛物线的定义，联立方程组，利用韦达定理化简求值，其中需要注意，当直线斜率未知时，需分类讨论斜率存在和不存在两种情况.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）4x-3y=0或x+y-7=0（2）x+2y-7=0【解题分析】

（1）需分直线过原点，和不过原点两种情况，过原点设直线l1:y=kx，不过原点时，设直线l2:xa+y【题目详解】解：（1）当直线过原点时，直线方程为：4x-3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，把点P3,4代入直线方程，解得a=7所以直线方程为x+y-7=0．（2）设与直线l：2x-y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A3,2代入可得，3+2×2=m，解得m=-7．∴过点A3,2，且与直线l垂直的直线l【题目点拨】本题考查了直线方程的求法，属于简单题型.18、单调递减区间是，.【解题分析】

将函数解析式化为，解不等式，，可得出函数的单调递减区间.【题目详解】.由，，得，.所以函数的单调递减区间是，.【题目点拨】本题考查正切型函数的单调区间的求解，解题时要利用正切函数的奇偶性将自变量的系数化为正数，然后利用代换进行求解，考查计算能力，属于基础题.19、(1)；(1)[3，+∞）.【解题分析】

（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．【题目详解】（1）当a＝1时，f（x）＝x1﹣7x+3lnx（x＞2），∴，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣1．∴切线方程为y+6＝﹣1（x﹣1），即1x+y+4＝2．（1）函数f（x）＝ax1﹣（a+6）x+3lnx的定义域为（2，+∞），当a＞2时，，令f'（x）＝2得或，①当，即a≥3时，f（x）在[1，3e]上递增，∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（1）＝﹣6，符合题意；②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，∴f（x）在[1，3e]上的最小值为，不合题意；③当，即时，f（x）在[1，3e]上递减，∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a的取值范围是[3，+∞）．【题目点拨】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先根据方程组有解得关系，再确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得关系，进而确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.【题目详解】（1）因为方程组有解，所以而有这三种情况，所以所求概率为；（2）因为且，所以因此即有种情况，所以所求概率为；【题目点拨】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）利用求曲线的普通方程；（Ⅱ）经过点的直线的参数方程为（为参数），代入曲线中，可得，利用韦达定理求出，结合参数的几何意义得，计算整理即可得到直线的斜率，进而通过点斜式求出直线方程。【题目详解】（Ⅰ）由，且，所以的普通方程为.（Ⅱ）设直线的倾斜角为，则经过点的直线的参数方程为（为参数），代入曲线