陕西省榆林市第二中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

陕西省榆林市第二中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若过点可作两条不同直线与曲线相切，则（）A．既有最大值又有最小值 B．有最大值无最小值C．有最小值无最大值 D．既无最大值也无最小值2．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．3．给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数,使得函数是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数,但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是()．A． B． C． D．4．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．关于函数，下列说法正确的是()A．是周期函数，周期为 B．关于直线对称C．在上是单调递减的 D．在上最大值为6．下列说法中正确的是（）①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱；②回归直线一定经过样本点的中心；③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好.A．①② B．③④ C．①④ D．②③7．直线与直线平行，则=（）A． B． C．－7 D．58．已知集合，，则=（）A． B． C． D．9．要将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的概率为（）A． B． C． D．10．已知集合，，则集合中元素的个数为()A．2 B．3 C．4 D．511．“”是双曲线的离心率为（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．即不充分也不必要条件 D．充分不必要条件12．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若，则（）A． B．1 C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在复数集，方程的解为________.14．己知关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是_______.15．已知幂函数的图象过点，则满足方程的的值为______.16．已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点的极坐标为，过点的直线与曲线相交于，两点.（1）若直线的斜率，求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.18．（12分）如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．19．（12分）在极坐标系中，曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）.（1）求、的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于A、B两点，且定点P的坐标为，求的值.20．（12分）已知集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.21．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.22．（10分）解关于x的不等式ax2+ax-1>x

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

数形结合分析临界条件再判断即可.【题目详解】对求导有,当时,此时切线方程为,此时.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当时为另一临界条件,故.故有最小值无最大值.故选：C【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.2、C【解题分析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【题目详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.【题目点拨】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.3、D【解题分析】对于命题1，取，，满足题意；对于命题2，取，，满足题意；对于命题3，取，，满足题意；即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是.本题选择D选项.4、A【解题分析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5、C【解题分析】分析：利用正弦函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案．详解：令，对于A中，因为函数不是周期函数，所以函数不是周期函数，所以是错误的；对于B中，因为，所以点与点关于直线对称，又，所以，所以的图象不关于对称，所以是错误的；对于C中，当时，，当时，函数为单调递减函数，所以是正确的；对于D中，时，，所以是错误的，综上可知，正确的为选项C，故选C．点睛：本题主要考查了正弦函数的对称性、周期性、单调性及其函数的最值问题，其中熟记正弦函数的图象与性质，合理运算是解答此类问题的关键，着重考查了综合分析与应用能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题．6、D【解题分析】

运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【题目详解】①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越强，故错误②回归直线一定经过样本点的中心，故正确③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度，故正确④相关指数用来刻画回归的效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是②③故选【题目点拨】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题7、D【解题分析】

由两直线平行的条件计算．【题目详解】由题意，解得．故选D．【题目点拨】本题考查两直线平行的条件，直线与平行的条件是：在均不为零时，，若中有0，则条件可表示为．8、B【解题分析】

利用集合的基本运算定义即可求出答案【题目详解】已知集合，，利用集合的基本运算定义即可得：答案：B【题目点拨】本题考查集合的基本运算，属于基础题9、B【解题分析】

根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，即可求解.【题目详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；甲被分到A班，有两种情况：一，甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；综上可知，甲被分到班的概率为，故选：B.【题目点拨】本题考查了排列组合问题的综合应用，分组时注意重复情况的出现，属于中档题.10、D【解题分析】由题意得，根据，可得的值可以是：，共有5个值，所以集合中共有5个元素，故选D.考点：集合的概念及集合的表示.11、D【解题分析】

将双曲线标准化为,由于离心率为可得,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.【题目详解】将双曲线标准化则根据离心率的定义可知本题中应有,则可解得,因为可以推出;反之成立不能得出.故选:.【题目点拨】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.12、C【解题分析】

根据抛物线的定义，结合，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论．【题目详解】抛物线的焦点F（1，0），准线方程为，设A（x，y），则，故x=4，此时y=4，即A（4，4），则直线AF的方程为，即，代入得，解得x=4（舍）或，则，故选：C．【题目点拨】本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．一般和抛物线有关的小题，可以应用结论来处理；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设复数是方程的解，根据题意列出等式，求解，即可得出结果.【题目详解】设复数是方程的解，则，即，所以，解得，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查在复数集上求解方程，熟记复数运算法则即可，属于常考题型.14、【解题分析】

对和讨论，利用二次函数的性质列不等式求实数的取值范围.【题目详解】解：当时，对恒成立；当时，，解得，综合得：，故答案为：.【题目点拨】本题考查二次不等式恒成立的问题，要特别注意讨论二次项系数为零的情况，是基础题.15、1【解题分析】

设，可得，解得，即可得出．【题目详解】设，则，解得．

．

令，解得．

故答案为：1．【题目点拨】本题考查了幂函数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．16、.【解题分析】分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.详解：因为，所以因为函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，所以点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）,；（2）7.【解题分析】

（1）先求出直线的直角坐标方程，再转换为直线的极坐标方程即可（2）利用直线的参数方程及参数的几何意义求解【题目详解】（1）将点的极坐标化为直角坐标为，因为直线的斜率，所以直线的直角坐标方程为，由可知直线的极坐标方程为.因为（为参数），所以曲线的普通方程为.（2）直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），代入，整理得，设点，对应的参数分别为，，则，.【题目点拨】本题考查坐标系中点的极坐标与直角坐标的转换、直线直角坐标方程与极坐标方程的转化及利用直线参数方程中参数的几何意义求值18、（1）；（2）【解题分析】

分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即，由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，∴，∴M的轨迹C的方程为．（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：，即，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又，∴，∴，设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是点睛：本题主要考查利用定义求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.19、（1），；（2）.【解题分析】

（1）由，，能求出曲线的直角坐标方程；曲线的参数方程消去参数，即可求出曲线的直角坐标方程；（2）曲线的参数方程代入，得到，由此借助韦达定理即可求出的值.【题目详解】（1）曲线：，，曲线的直角坐标方程为.曲线的参数方程为（为参数）.曲线消去参数，得曲线的直角坐标方程为.（2）曲线的参数方程为（为参数）代入，得，即，，，.【题目点拨】参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有，，的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，对于参数方程或极坐标方程应用不熟练的情况下，我们可以先化为直角坐标