云南省民族大学附属中学2024届数学高二第二学期期末监测试题含解析

云南省民族大学附属中学2024届数学高二第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数的图象与直线相切，则()A． B． C． D．2．“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A到B的映射满足：①；②的象有且只有2个，求适合条件的映射的个数为()A．10 B．20 C．30 D．405．角的终边与单位圆交于点,则（）A． B．- C． D．6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4007．已知直线y＝3x﹣1与曲线y＝ax+lnx相切，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．90°B．0°C．锐角D．钝角9．已知集合，则（）A． B． C． D．10．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为,则该圆锥的体积为A． B． C． D．11．复数的虚部为（）A．2 B． C． D．12．设函数，则函数的定义域为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当等于__________时，方盒的容积最大．14．直线ax-ay-1=0与圆(x-2)2+y2=1交于A,B两点，过A,B分别作y轴的垂线与y轴交于C,D两点，若15．设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为_______．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年）一书中，用如图所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”，如图.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图.在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：，其中是行数，.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）用函数单调性的定义证明：函数在是减函数.18．（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，，以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.19．（12分）选修4-5：不等式选讲.（1）当时，求函数的最大值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数为常数，且)有极大值，求的值．21．（12分）网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调杳结果表明：在喜欢网购的25人中有19人是低收入的人，另外6人是高收入的人，在不喜欢网购的25人中有8人是低收入的人，另外17人是高收入的人.（1）试根据以上数据完成列联表，并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；喜欢网购不喜欢网购总计低收入的人高收入的人总计（2）将5名喜欢网购的消费者编号为1、2、3、4、5，将5名不喜欢网购的消费者编号也记作1、2、3、4、5，从这两组人中各任选一人讲行交流，求被选出的2人的编号之和为2的倍数的概率.参考公式：参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）设函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数与在区间内恰有两个交点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

设切点为，由可解得切点坐标与参数的值。【题目详解】设切点为，则由题意知即解得或者故选B【题目点拨】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．2、B【解题分析】

由“直线垂直于平面”可得到“直线垂直于平面内无数条直线”，反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的必要而不充分条件，故选B.考点：充分条件与必要条件3、B【解题分析】

由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积.【题目详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.【题目点拨】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.4、D【解题分析】分析：将元素按从小到大的顺序排列，然后按照元素在中的象有且只有两个进行讨论.详解：将元素按从小到大的顺序排列，因恰有两个象，将元素分成两组，从小到大排列，有一组；一组；一组；一组，中选两个元素作象，共有种选法，中每组第一个对应集合中的较小者，适合条件的映射共有个，故选D.点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（）分清象与原象的概念；（）明确对应关系.5、D【解题分析】

根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【题目详解】由题意，角的终边与单位圆交于点,则，由三角函数的定义，可得，则，故选D.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6、C【解题分析】

求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．【题目详解】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．故选C．【题目点拨】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．7、B【解题分析】

对函数求导，设切点，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于和的方程组，解出的值.【题目详解】设切点，因为，所以所以切线斜率则切线为整理得又因为切线方程为所以得，解得故选B项.【题目点拨】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.8、C【解题分析】,函数f(x)的图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为锐角。9、D【解题分析】

计算出A集合，则可以比较简单的判断四个选项的正误.【题目详解】可以排除且故选择D.【题目点拨】考查集合的包含关系，属于简单题.10、B【解题分析】

先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积.【题目详解】设圆锥的底面半径为，则高为，母线长；又侧面积，所以，所以，故选：B.【题目点拨】本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：，其中是底面圆的半径，是圆锥的母线长.11、B【解题分析】

根据复数的运算法则，化简复数，即可得到复数的虚部，得到答案．【题目详解】由题意，复数，所以复数的虚部为，故选B．【题目点拨】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、B【解题分析】

由根式内部的代数式大于等于0求得f（x）的定义域，再由在f（x）的定义域内求解x的范围得答案．【题目详解】由2﹣2x≥0，可得x≤1．由，得x≤2．∴函数f（）的定义域为（﹣∞，2]．故选：B．【题目点拨】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据单调性求最大值.【题目详解】方盒的容积为：当时函数递减，当时函数递增故答案为【题目点拨】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.14、1【解题分析】

利用圆心到直线的距离可求出d，再利用勾股定理求得答案.【题目详解】解：可得直线直线ax﹣ay﹣1＝0的斜率为1．圆心（2，0）到直线距离d=|2a-1|∵|CD|＝1，∴|AB|=2|CD|=∴21-d2=2故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度不大.15、【解题分析】

将代入椭圆方程可得，从而，利用基本不等式可知当时，线段长最小，利用椭圆的关系和可求得结果.【题目详解】椭圆过得：由椭圆方程可知：，又（当且仅当，即时取等号）当时，线段长最小本题正确结果：【题目点拨】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用基本不等式求解和的最小值，根据等号成立条件可得到椭圆之间的关系，从而使问题得以求解.16、【解题分析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子，有．故答案为．点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明过程见解析.【解题分析】

按照单调性的定义进行证明，先设是上任意两个实数，则，然后用差比的方法，结合，比较出，这样就证明出函数在是减函数.【题目详解】设是上任意两个实数，则，，，所以有，因此函数在是减函数.【题目点拨】本题考查了用定义证明函数单调性，用差比的方法比较出的大小关系是解题的关键，一般在差比比较过程中，往往会用到因式分解、配方法、通分法等方法.18、(1)证明见解析.(2).(3).【解题分析】分析：（Ⅰ）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；（Ⅱ）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；（Ⅲ）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．详解：（1）AC是所作球面的直径，AM⊥MC，PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，∴AM⊥平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD；（2），，，设D到平面ACM的距离为h，由，求得，∴，；（3），，∴，∴，所求距离.点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可.19、（1）4（2）【解题分析】分析：（1）利用绝对值三角不等式求函数的最大值.(2)先求，再解不等式即得实数的取值范围.详解：（1）当时，，由，故，所以，当时，取得最大值，且为.（2）对任意恒成立，即为，即即有，即为或，所以的取值范围是.点睛：（1）本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)重要绝对值不等式：,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.20、【解题分析】

求导，解出导数方程的两根，讨论导数在这两个点左右两边导数的符号，确定极大值点，再将极大值点代入函数解析式，可求出实数的值．【题目详解】，则，令，得，，，，列表如下：极大值极小值所以，函数在处取得极大值，即，解得．【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值，基本步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）求极值点并判断导数在极值点附近的符号，确定极值点的属性；（4）将极值点代入函数解析式可求出极值．21、（1）填表见解析，有99.5%的把握认为是否喜欢网购与个