安徽省东至三中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

安徽省东至三中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项2．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，且，则（）A．2 B．1 C． D．3．在长方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．某大学推荐7名男生和5名女生参加某企业的暑期兼职，该企业欲在这12人中随机挑选3人从事产品的销售工作，记抽到的男生人数为，则（）A．2 B． C． D．5．定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）．A． B．C． D．6．可表示为（）A． B． C． D．7．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为()A． B． C． D．8．函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．9．设向量与，且，则（）A． B． C． D．10．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（）A．1 B．2 C．3 D．411．下列说法正确的个数有（）①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；②命题“，”的否定是“，”；③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）14．已知曲线与轴只有一个交点，则_____．15．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．16．在二项式的展开式中，的系数为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2x)=2f(x)-1.(1)求f(x)的解析式;(2)设,若|g(x)|－af(x)＋a≥0，求实数a的取值范围.18．（12分）如图，在四边形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的长.19．（12分）已知z是复数，z+2i与z2-i（1）求复数z；（2）复数z+ai2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a20．（12分）为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望和方差．21．（12分）有3名男生和3名女生，每人都单独参加某次面试，现安排他们的出场顺序．(Ⅰ)若女生甲不在第一个出场，女生乙不在最后一个出场，求不同的安排方式总数；(Ⅱ)若3名男生的出场顺序不同时相邻，求不同的安排方式总数(列式并用数字作答）．22．（10分）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒？（精确到1秒）（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度.（精确到0.1cm）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】解：n=k时，左边="1"/k+1+1/k+2++1/k+k，n=k时，左边="1"/(k+1)+1+1/(k+1)+2++1/(k+1)+(k+1)="(1/"k+1+1/k+2++1/k+k)-1/k+1+1/2k+1+1/2k+2故选C2、C【解题分析】

根据题意，结合函数的奇偶性与对称性可得函数f（x）是周期为8的周期函数，由函数的奇偶性可得f（﹣2）＝8，结合函数的解析式求出a的值，进而求出f（﹣1）的值，进而结合函数的奇偶性与对称性分析可得答案．【题目详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），若函数f（x）满足f（x+2）＝f（2﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+4），则有f（x+4）＝﹣f（x），变形可得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝﹣8，则f（﹣2）＝8，若当﹣2≤x＜0时，f（x）＝ax﹣1（a＞0），且f（﹣2）＝a﹣2﹣1＝8，解可得a，则f（﹣1）＝（）﹣1﹣1＝2，则f（1）＝﹣2，又由函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2019）＝f（3+2016）＝f（3）＝f（1）＝﹣2；故选：C．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于中档题．3、D【解题分析】

取CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，推导出四边形BCEF是平行四边形，从而异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，由此能求出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．【题目详解】取的中点.连接.因为为棱的中点,所以,所以四边形为平行四边形.所以.故异面直线与所成的角即为相交直线与所成的角.因为,所以.所以.即为直角三角形,从而.故选D【题目点拨】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4、B【解题分析】

依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，分别求出概率，再由期望公式即可求出．【题目详解】依题意可得，X的可能取值为0,1,2,3，则，，，，所以．【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量期望的求法．5、C【解题分析】

设可得:.因为复数与的乘积为复数的“旋转复数,可得,的“旋转复数”对应的点,由坐标变换,即可得的“旋转复数”对应的点的轨迹方程.【题目详解】复数对应的点在曲线上设可得:复数与的乘积为复数的“旋转复数┄①设的“旋转复数”对应的点可得:即┄②将②代入①得:即:故选:C.【题目点拨】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.6、B【解题分析】

根据排列数的定义可得出答案．【题目详解】，故选B.【题目点拨】本题考查排列数的定义，熟悉排列数公式是解本题的关键，考查理解能力，属于基础题．7、C【解题分析】

根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【题目详解】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π．故答案为C【题目点拨】本题主要考查正弦定理和线面位置关系，考查了几何体外接球的应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键求外接球的半径．8、D【解题分析】分析：对求导，令，即可求出函数的单调递减区间.详解：函数的定义域为，得到.故选D点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题.9、B【解题分析】

利用列方程，解方程求得的值，进而求得的值.【题目详解】由于，所以，即，而，故，故选B.【题目点拨】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.10、A【解题分析】

直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.【题目详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的个数是1.故选：A【题目点拨】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.11、C【解题分析】分析：结合相关系数的性质，命题的否定的定义，回归方程的性质，推理证明即可分析结论.详解：①为相关系数，相关系数的结论是：越大表明模拟效果越好，反之越差，故①错误；②命题“，”的否定是“，”；正确；③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；根据回归方程必过样本中心点的结论可得③正确；④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。根据综合法和分析法定义可得④的描述正确；故正确的为：②③④故选C.点睛：考查命题真假的判断，对命题的逐一分析和对应的定义，性质的理解是解题关键，属于基础题.12、B【解题分析】分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积.详解：因为，所以所以由直线与曲线围成的封闭图形的面积是,选B.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

求出展开式的通项，利用的指数为零求出参数的值，再将参数代入通项即可得出展开式中常数项的值.【题目详解】展开式的通项为.令，解得.因此，展开式中的常数项为.故答案为：.【题目点拨】本题考查二项展开式中常数项的计算，一般利用展开式通项来求解，考查计算能力，属于基础题.14、5【解题分析】

由曲线y＝x2+4x+m﹣1与x轴只有一个交点△＝0可求m的值．【题目详解】因为与x轴只有一个交点,故,所以.故答案为5【题目点拨】本题考查由△判定二次函数与x轴交点个数问题，属于基础题．15、.【解题分析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，用和表示出的长度，根据余弦定理建立的关系式；根据离心率的定义表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。详解：，所以解得在△中，根据余弦定理可得代入得化简得而所以的最小值为点睛：本题考查了圆锥曲线的综合应用。结合余弦定理、基本不等式等对椭圆、双曲线的性质进行逐步分析，主要是对圆锥曲线的“交点”问题重点分析和攻破，属于难题。16、.【解题分析】

由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.【题目详解】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【题目点拨】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)f(x)=x+1.(2)a≤0.【解题分析】分析：（1）待定系数法即可求得f(x)的解析式；（2）分类讨论、分离参数、数形结合都可以解决.详解：(1)设f(x)=kx+b，则解得：k=b=1,故f(x)=x+1.(2)由(1)得:g(x)＝|g(x)|－af(x)＋a≥0可化为|g(x)|≥ax.∵|g(x)|＝∴由|g(x)|≥ax可分两种情况：(I)恒成立若x＝0，不等式显然成立；若x<0时，不等式等价于x－2≤a.∵x－2<－2，∴a≥－2.(II)恒成立方法一[分离参数]：可化为a≤在(0,＋∞)上恒成立。令h(x)=,则h′(x)==令t(x)=x－(x+1)ln(x+1),则由t′(x)=-ln(x+1)<0知t(x)在(0,＋∞)上单调递减,故t(x)<t(0)=0，于是h′(x)<0从而h(x)在(0,＋∞)上单调递减又当x>0时,恒有h(x)=>0于是a≤0.方法二[分类讨论]：ln(x+1)≥axln(x+1)－ax≥0令φ(x)=ln(x+1)－ax，则φ′(x)=－a=当a≤0时,φ(x)在(0,＋∞)上单调递增,故有φ(x)>φ(0)=0成立;当0<a<1时,φ(x)在(0,－1)上单调递增,在(－1＋∞)是递减.取x=－1,易知φ(－1)=-2lna+a－<0，故不合题意；当a≥1时,φ(x)在(0,＋∞)上单调递减，显然不合题意。所以a≤0.方法三[数形结合]：根据函数图象可知a≤0.综合(1)(2)得－2≤a≤0.点睛：本题主要考查不等式恒成立问题，一般常用方法是构造函数求导、分离参数、分类讨论是解决这种问题常用的方法.18、（1）（2）【解题分析】

（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.【题目详解】解：（1）因为，所以，即，所以.由正弦定理得，所以，又因为，所以.（2）由（1）得，所以，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19、（Ⅰ）z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6【解题分析】第一问设z=x+yi所以，z+2i=x+(y+2)i；由条件得，y+2=0且x+2y=0第二问(z+ai)由条件得：12+4a-解：（1）设z=x+yi所以，z+2i=x+(y+2)i；---------------1分z2-i由条件得，y+2=0且x+2y=0，---------------6分所以x=4, (2)(z+ai)2由条件得：12+4a-a解得2<a<6所以，所求实数a的取值范围是(2,6)-------------------14分20、（1）；（2）的分布列见解析；数学期望为；方差为【解题分析】

首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率．由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福