2024届湖南邵阳县一中高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届湖南邵阳县一中高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设a=log20.3，b=10lg0.3，c=100.3，则A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a2．在二项式的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（）A． B． C． D．3．对于函教f(x)=ex(x-1)A．1是极大值点 B．有1个极小值 C．1是极小值点 D．有2个极大值4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是()A．1 B．2 C． D．5．函数f(x)=sin(ωx+πA．关于直线x=π12对称 B．关于直线C．关于点π12，0对称 D．6．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类似地，可得的值为（）A． B． C． D．7．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．56 B．72 C．64 D．848．已知，则（）附：若，则，A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.02289．如图是函数的导函数的图象，则下面说法正确的是()A．在上是增函数B．在上是减函数C．当时，取极大值D．当时，取极大值10．若身高和体重的回归模型为，则下列叙述正确的是（）A．身高与体重是负相关 B．回归直线必定经过一个样本点C．身高的人体重一定时 D．身高与体重是正相关11．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A． B． C． D．12．已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A． B．， C． D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．向量经过矩阵变换后的向量是________14．已知是双曲线的右焦点，的右支上一点到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点满足，则________________．15．复数的虚部是______.16．一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.18．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如下表所示：对数学感兴趣对数学不感兴趣合计数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由．（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为，求的分布列和数学期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．19．（12分）等边的边长为，点，分别是，上的点，且满足(如图(1))，将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，(如图(2)).(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知椭圆()的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于，两点，右焦点设为.(1)求椭圆的方程；(2)求的面积.21．（12分）已知函数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若恒成立，求b-a的最小值.22．（10分）一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

求出三个数值的范围，即可比较大小.【题目详解】，，，，，的大小关系是：.故选：A.【题目点拨】对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．2、C【解题分析】

二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，再研究其系数为偶数情况有几个，从中取两个有几种取法得出答案．【题目详解】二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，展开式系数为偶数的有，共六个，取出的2项中系数均为偶数的取法有种取法，取出的2项中系数均为偶数的概率为故选：【题目点拨】本题考查二项式定理及等可能事件的概率，正确求解本题的关键是找出哪些项的系数是偶数，求出取出的2项中系数均为偶数的事件包含的基本事件数．3、A【解题分析】

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点,再逐项判断即可．【题目详解】f'当f当f'故选：A【题目点拨】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．4、C【解题分析】

试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．考点：平面向量数量积的运算．5、B【解题分析】

求出函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．【题目详解】函数f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为π2，可得ω函数f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ当k＝0时，函数的对称轴为：x=π故选：B．【题目点拨】本题考查三角函数的性质的应用，周期的求法，考查计算能力，是基础题6、B【解题分析】

设，可得，求解即可.【题目详解】设，则，即，解得，取.故选B.【题目点拨】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.7、D【解题分析】分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色两大类.详解：分两种情况：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种．共有84种，故答案为：D.点睛：(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.8、D【解题分析】

由随机变量，所以正态分布曲线关于对称，再利用原则，结合图象得到.【题目详解】因为，所以，所以，即，所以.选D．【题目点拨】本题主要考查正态分布曲线及原则，考查正态分布曲线图象的对称性.9、D【解题分析】分析：先由图象得出函数的单调性，再利用函数的单调性与导数的关系即可得出.详解：由图象可知上恒有，在上恒有，在上单调递增，在上单调递减则当时，取极大值故选：D.点睛：熟练掌握函数的单调性、极值与导数的关系是解题的关键，是一道基础题.10、D【解题分析】

由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且为估计值，即可得到结论．【题目详解】可得，可得身高与体重是正相关，错误，正确；回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点，，故错误；若，可得，即体重可能是，故错误．故选．【题目点拨】本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题．11、B【解题分析】

解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，故选B．12、D【解题分析】分析：结合函数的图象求出成立的的取值范围，即可得到结论．详解：结合函数的图象可知：和时，，又由，则，令，解得，所以函数的递减区间为，故选D．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到，进而得到的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据即可求解。【题目详解】根据矩阵对向量的变换可得故答案为：【题目点拨】本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，关键掌握住变换的运算法则。14、4【解题分析】

试题分析：双曲线的右焦点F（，0），渐近线方程为，点P到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P在直线上，由方程组得，所以，由方程组得，所以，所以由于，所以．考点：向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质．【方法点晴】要求的值，就得求出P、Q两点的坐标，可直接设出P点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现P的轨迹，解方程组即得P、Q两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了．15、【解题分析】

利用错位相消法可以化简式子,最后求出它的虚部.【题目详解】令,,得,,.故答案为：【题目点拨】本题考查了错位相消法,考查了等比数列的前项和公式,考查了乘方运算的性质,考查了数学运算能力.16、【解题分析】

由长方体对角线与棱长的关系计算．【题目详解】设长方体的长、宽、高分别为，则，解得，∴对角线长．故答案为．【题目点拨】本题考查求长方体的对角线长，设长方体棱长分别为，则对角线长．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）（3），.【解题分析】

（1）根据题意求出A、B两点坐标，即得线段AB的长；（2）先列函数关系式，再根据二次函数确定最小值取法，即得t的取值范围；（3）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理求,解得C点坐标（用m表示），代入双曲线方程解得m的值和点C的坐标.【题目详解】（1）因为，所以令得（2）,设，则由题意得时取最小值，所以（3）由，得，设，则，所以，因为在上，所以因为点C在双曲线右支上，所以【题目点拨】本题考查双曲线弦长、直线与双曲线位置关系以及函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.18、（1）有99.9%的把握认为有关系，理由详见解析；（2）分布列详见解析，数学期望为2.72【解题分析】

根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；

由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值．【题目详解】（1）．因为，所以有99.9%的把握认为有关系．（2）由题意知，的取值为0，1，2，3，1．因为，．所以，分布列为01231所以，．【题目点拨】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19、（1）证明见解析；（2）存在点，.【解题分析】

（1）通过证明，即可证明平面；（2）以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，设，然后并求出平面的一个法向量及的坐标，最后根据即可求出的值及的长度.【题目详解】(1)证明题图(1)中，由已知可得：，，.从而.故得，所以，.所以题图(2)中，，，所以为二面角的平面角，又二面角为直二面角，所以，即，因为且、平面，所以平面.(2)解存在.由(1)知，平面.以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，过作交于点，设，则，，，易知，，，所以.因为平面，所以平面的一个法向量为.因为直线与平面所成的角为，所以，解得.所以，满足，符合题意.所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时.【题目点拨】本题主要考查线面垂直的证明及通过建立空间直角坐标系并表示出平面的法向量及直线的方向向量的坐标，解决已知直线和平面所成的角求参数的值问题，属中等难度题.20、(1)；(2).【解题分析】

（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于、、的方程，解出，，从而得到椭圆的方程；（2）求出直线的斜率得直线的方程为，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出，结合弦长公式可得，最后利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，即可得到的面积．【题目详解】解：(1)由题意知，，又∵，∴.∴椭圆方程为.(2)∵，∴直线的方程为，由，得.∵，∴直线与椭圆有两个公共点，设为，，则，∴，又点到直线的距离，故.【题目点拨】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．21、(1)f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）;(2).【解题分析】分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）由题意得，可得函数单调增区间为，减区间为，即恒成立，，即，构造函数，利用导数研究函数的单调性可得，即可得的最小值.详解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞1）．f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=1，得x=e．x∈（1，e）时，f′（x）＜1，∈（e，+∞）时，f′（x）＞1．函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（1，e）；（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞1）．令f′（x）=1，得x=ea．x∈（1，ea）时，f′（x）＜1，∈（ea，+∞）时，f′（x）＞1．函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（1，ea）∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，∵f（x）≥1恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥1，则b≥e2a+ea．∴b﹣a≥e2a+ea﹣a令ea=t，（t＞1），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞1），g′（t）=．当t∈（1，）时，g′（t）＜1，当时，g′（t）＞1．∴g（t）在（1，）上