2024届湖南省衡阳县数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届湖南省衡阳县数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列参数方程可以用来表示直线的是（）A．（为参数） B．（为参数）C．（为参数） D．（为参数）2．已知则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a3．已知函数，若，则的最大值是（）A． B．- C． D．--4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A． B．C． D．5．若过点可作两条不同直线与曲线段C：相切，则m的取值范围是（）A． B． C． D．6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用表示所选3人中女生的人数，则为（）A．0 B．1 C．2 D．37．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.458．双曲线的焦点坐标是A． B． C． D．9．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年10．函数的周期，振幅，初相分别是（）A． B． C． D．11．一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是A． B． C． D．12．已知双曲线C:x216-yA．6x±y=0 B．C．x±2y=0 D．2x±y=0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数据的方差为1，则数据的方差为____.14．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．15．从双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为16．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：学校高中高中高中高中参考人数80012001000600现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在高中中抽取的学生人数为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数有两个不同的零点，.（1）求的取值范围；（2）求证：.18．（12分）已知函数.（1）若在处取得极值，求的单调递减区间；（2）若在区间内有极大值和极小值，求实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，极坐标方程分别为，．（Ⅰ）和交点的极坐标；（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），与轴的交点为，且与交于，两点，求.20．（12分）如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．21．（12分）中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分儿口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7(1,25)，若通过1、3、5、7号井计算出的b,a的值（b,a精确到0.01）相比于（Ⅰ）中（参考公式和计算结果：b=（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有井号1～6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率.22．（10分）已知矩阵，.(1)求；(2)在平面直角坐标系中,求直线在对应的变换作用下所得直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

选项A:利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项B：利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项C：利用加减消元法消参,并求出的取值范围即可判断出所表示的图形；选项D：利用同角的三角函数关系式进行消参即即可判断出所表示的图形,最后选出正确答案.【题目详解】选项A:,而,所以参数方程A表示的是直线；选项B：,而,所以参数方程B表示的是射线；选项C：,而,所以参数方程C表示的是线段；选项D：,所以参数方程D表示的是单位圆,故选A.【题目点拨】本题考查了参数方程化为普通方程,并判断普通方程所表示的平面图形,求出每个参数方程中横坐标的取值范围是解题的关键.2、D【解题分析】

对于看成幂函数，对于与的大小和1比较即可【题目详解】因为在上为增函数，所以，由因为，，，所以，所以选择D【题目点拨】本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较．2、和0、1比较．3、A【解题分析】

设，可分别用表示，进而可得到的表达式，构造函数，通过求导判断单调性可求出的最大值.【题目详解】设，则,则，，故.令，则，因为时，和都是减函数，所以函数在上单调递减.由于，故时，；时，.则当时，取得最大值，.即的最大值为.故答案为A.【题目点拨】构造函数是解决本题的关键，考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力与计算能力，属于难题.4、A【解题分析】设，则.∴，∴所求的概率为故选A.5、D【解题分析】

设切点为，写出切线方程为，把代入，关于的方程在上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解.【题目详解】设切点为，,则切线方程为，在切线上，可得，函数在上递增，在上递减，，又，，∴如果有两解，则.故选：D.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。由方程根的个数确定参数取值范围，可采用分离参数法，转化为直线与函数图象交点个数问题。6、B【解题分析】

先由题意得到的可能取值为，分别求出其对应概率，进而可求出其期望.【题目详解】由题意，的可能取值为，由题中数据可得：，，，所以.故选B【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记期望的概念，会求每个事件对应的概率即可，属于常考题型.7、A【解题分析】

试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.考点：条件概率．8、C【解题分析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.9、C【解题分析】

按照题中规则依次从2019年列举到2026年，可得出答案。【题目详解】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选：C。【题目点拨】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。10、C【解题分析】

利用求得周期，直接得出振幅为，在中令求得初相.【题目详解】依题意，，函数的振幅为，在中令求得初相为.故选C.【题目点拨】本小题主要考查中所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中表示的是振幅，是用来求周期的，即，要注意分母是含有绝对值的.称为相位，其中称为初相.还需要知道的量是频率，也即是频率是周期的倒数.11、B【解题分析】

先计算从中任取2个球的基本事件总数，然后计算这2个球中有白球包含的基本事件个数，由此能求出这2个球中有白球的概率．【题目详解】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，将4红球编号为1，2，3，4；2个白球编号为5，1．从中任取2个球，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“两个球中有白球”这一事件，则A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9个，这2个球中有白球的概率是．故选B．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、C【解题分析】

根据双曲线的性质，即可求出。【题目详解】令x216双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，故选C。【题目点拨】本题主要考查双曲线渐近线方程的求法。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、9【解题分析】

根据方差的线性变化公式计算：方差为，则的方差为.【题目详解】因为方差为，则的方差为,【题目点拨】本题考查方差的线性变化，难度较易.如果已知方差为，则的方差为，这可用于简便计算方差.14、.【解题分析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，用和表示出的长度，根据余弦定理建立的关系式；根据离心率的定义表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。详解：，所以解得在△中，根据余弦定理可得代入得化简得而所以的最小值为点睛：本题考查了圆锥曲线的综合应用。结合余弦定理、基本不等式等对椭圆、双曲线的性质进行逐步分析，主要是对圆锥曲线的“交点”问题重点分析和攻破，属于难题。15、b-a【解题分析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，OM，OT，则PF-PF1=2a，在RtΔFTO中，OF=c，OT=a，所以FT=OF2所以，所以MO=12PF1=考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.16、24【解题分析】

计算出高中人数占总人数的比例，乘以得到在高中抽取的学生人数.【题目详解】应在高中抽取的学生人数为．【题目点拨】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析【解题分析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而求出的范围即可；（2）构造函数，则可证当时，在上，有，即.将代入上面不等式中即可证明.详解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）.（2）构造函数，则.当时，，但因式的符号不容易看出，引出辅助函数，则，得在上，当时，，即，则，即，，得在上，有，即.将代入上面不等式中得，又，，在上，故，.点睛：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题．18、（1）；（2）【解题分析】

分析：（1）由，可得，利用，即，可得，从而可得结果；（2）在内有极大值和极小值，等价于在内有两不等实根，结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可.详解：，（1）∵在处取得极值，∴，∴，∴，∴，令，则，∴，∴函数的单调递减区间为.（2）∵在内有极大值和极小值，∴在内有两不等实根，对称轴，∴，即，∴.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及一元二次方程根与系数的关系，属于中档题.对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.19、（1）（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）联立，极坐标方程，解出，反代得，即得和交点的极坐标；（2）先利用将极坐标方程化为直接坐标方程，再由直线参数方程几何意义得，因此将直线的参数方程代入直角坐标方程，利用韦达定理得，且，因此.试题解析：（Ⅰ）（方法一）由，极坐标方程分别为，’化为平面直角坐标系方程分为.得交点坐标为.即和交点的极坐标分别为.（方法二）解方程组所以，化解得，即，所以和交点的极坐标分别为.（II）（方法一）化成普通方程解得因为，所以.（方法二）把直线的参数方程：（为参数），代入得，，所以.20、（1）（2）【解题分析】

（1）是与底面所成的角,所以,可得,在用柱体体积公式即可求得答案;（2）因为正四棱柱,可得,所以是异面直线与所成的角.【题目详解】（1）如图,连接正四