2024届江苏省南京市江宁区高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届江苏省南京市江宁区高二数学第二学期期末质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．将2名教师和6名学生平均分成2组，各组由1名教师和3名学生组成，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，则不同的安排方案有（）A．40种 B．60种 C．80种 D．120种2．已知复数，则复数的模为（）A．2 B． C．1 D．03．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有()A．种 B．种 C．种 D．种4．若随机变量，其均值是80，标准差是4，则和的值分别是()A．100，0.2 B．200，0.4 C．100，0.8 D．200，0.65．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，则实数A．10 B．8 C．6 D．46．在中，，，，点满足，则等于（）A．10 B．9 C．8 D．77．设函数在上单调递增，则实数的取值范围()A． B． C． D．8．在曲线的图象上取一点及附近一点，则为（）A． B．C． D．9．若关于的不等式的解集是，则实数等于（）A．－1 B．－2 C．1 D．210．已知函数f(x)=13x3-12A．(0,1) B．(3,+∞) C．(0,2) D．(1,+∞)11．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．12．已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2018项和为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有______________种．14．若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中常数项等于____________.15．若实数满足条件则的取值范围为____________.16．一场晚会共有7个节目，要求第一个节目不能排，节目必须排在前4个，节目必须排在后3个，则有_______种不同的排法（用数字作答）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）已知数列，其前项和为；（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.19．（12分）已知数列的前项和为，且满足，．（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；（2）令，求数列的前项和．20．（12分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球2个，黑球3个，白球5个．从中1次随机摸出2个球，求2个球颜色相同的概率；从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望；每次从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续取3次，求取到红球的次数大于取到白球的次数的概率．21．（12分）某市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民发出动员令，吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为：，，，，，，把年龄落在和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为.（1）求图中，的值，若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这100人年龄的平均值；（2）若“青少年人”中有15人关注此活动，根据已知条件完成题中的列联表，根据此统计结果，问能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？关注不关注合计青少年人15中老年人合计5050100附参考公式及参考数据：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）已知函数(是自然对数的底数).(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；(2)当时，记，其中为的导函数.证明：对任意，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据甲、乙两地先安排老师，可知，然后安排学生，可得结果.【题目详解】第一步，为甲、乙两地排教师，有种排法；第二步，为甲、乙两地排学生，有种排法，故不同的安排方案共有种，故选：A【题目点拨】本题考查排列分组的问题，一般来讲先分组后排列，审清题意细心计算，属基础题.2、C【解题分析】

根据复数的除法运算求出，然后再求出即可．【题目详解】由题意得，∴．故选C．【题目点拨】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数，属于基础题．3、B【解题分析】

由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【题目详解】解:第一期培训派1人时，有种方法,第一期培训派2人时，有种方法,故学校不同的选派方法有，故选B.【题目点拨】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.4、C【解题分析】

根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于和的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．【题目详解】∵随机变量，其均值是80，标准差是4，∴由，∴．故选：C．【题目点拨】本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．5、D【解题分析】

根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于x=1对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于x=1对称，从而得到结果．【题目详解】∵随机变量X～∴正态曲线关于x=1对称，∵P(X≤0)=P(X>a-2)，∴0与a-2关于x=1对称，∴1解得a=4，故选D．【题目点拨】本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题．正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，μ越小图象越靠近左边；（2）边σ越小图象越“痩长”，边σ越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于μ对称，Px>μ6、D【解题分析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．【题目详解】在中，，，，点满足，可得则==【题目点拨】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．7、A【解题分析】分析：求得函数的导数，令，求得函数的递增区间，又由在上单调递增，列出不等式组，即可求解实数的取值范围．详解：由函数，可得，令，即，即，解得，所以函数在上单调递增，又由函数在上单调递增，所以，解得，故选A．点睛：本题主要考查了根据函数的单调性利用导数求解参数的取值范围问题，其中熟记导函数的取值正负与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8、C【解题分析】

求得的值，再除以，由此求得表达式的值.【题目详解】因为，所以．故选C.【题目点拨】本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.9、C【解题分析】

根据一元一次不等式与一元一次方程的关系，列出方程，即可求解.【题目详解】由题意不等式的解集是，所以方程的解是，则，解得，故选C.【题目点拨】本题主要考查了一元一次不等式与一元一次方程的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、B【解题分析】

由三次函数的性质，求出导函数，确定函数的极值，最后由极大值大于0，极小值小于0可得a的范围．【题目详解】f'(x)=x易知x<-a或x>1时f'(x)>0，当-a<x<1时，f'(x)<0，∴f(x)极大值=f(-a)=∴16a3故选B．【题目点拨】本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的极值．求极值时要注意在极值点的两侧，f'(x)的符号要相反．11、D【解题分析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【题目详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.【题目点拨】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.12、D【解题分析】

利用，求出数列，的公差，可得数列，的通项公式，从而可得，进而可得结果.【题目详解】设数列，的公差分别为，，则由已知得，，所以，，所以，，所以，所以数列的前2018项和为,故选D.【题目点拨】本题主要考查等差数列通项公式基本量运算，考查了数列的求和，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

从张电影票中任选张给甲、乙两人，共种分法；再利用平均分配的方式可求得分配剩余张票共有种分法；根据分步乘法计数原理求得结果.【题目详解】第一步：先从张电影票中任选张给甲、乙两人，有种分法第二步：分配剩余的张，而每人最多两张，则每人各得两张，有种分法由分步乘法计数原理得：共有种分法本题正确结果：【题目点拨】本题考查分步乘法计数原理解决组合应用题，涉及到平均分配的问题，关键是能够准确求解每一步的分法种数.14、【解题分析】

根据题意先计算，再用展开式的通项公式计算常数项.【题目详解】若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等.当时为常数项，为故答案为：【题目点拨】本题考查了二项式的计算，先判断是解题的关键.15、【解题分析】分析：根据满足条件画出可行域，然后分析的最值详解：满足条件即，画出可行域：根据可行域可知，目标函数在A点处取得最小值，在C点处取得最大值，所以的取值范围为点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。16、1224【解题分析】

从G排在前4个和后3个两种情况来讨论，当排在前4个时，根据题的条件，求出有种排法，当排在后三个时，根据条件，求得有种排法，再根据分类计数原理求得结果.【题目详解】当排在前4个时，A也排在前四个，有种选择，此时D排在后三个有种选择，其余4人，共有种排法，此时共有种排法；当排在后三个时，D也排在后三个，A也排在前四个，此时共有种排法，所以共有种排法，故答案是：1224.【题目点拨】该题考查的是有关应用排列解决实际问题，涉及到的知识点有排列数，分类计数原理，分步计数原理，属于简单题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）求导得，再分成、、、四种情况，结合导数的符号得出函数的单调性；（2）设，，得单调性，则，由（1）可得，则，令，求导，令，，根据导数可得出函数的单调性与最值，由此可以求出答案．【题目详解】解：（1），①当时，令则，令，则，∴在上单调递减，在单调递增；②当时，，令，则或，令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；③当时，在上单调递增；④当时，令则或，令则，∴在和上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，设，，∴在上递增，，∴，由（1）知在上递减，在上递增，∴，∴，令，则，令，，当时，，故在上递减，∴，∴，∴在上递增，∵，∴．【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数研究函数恒成立问题，考查推理能力与计算能力，考查转化与化归思想与分类讨论思想，多次求导是解决本题的关键，属于难题．18、（1）；（2），证明见解析【解题分析】

（1）根据已知条件，计算出的值；（2）由（1）猜想，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明.【题目详解】（1）计算，，，（2）猜想.证明：①当时，左边，右边，猜想成立.②假设猜想成立.即成立，那么当时，，而，故当时，猜想也成立.由①②可知，对于，猜想都成立.【题目点拨】本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.19、（1），，，，，见解析；（2）【解题分析】

（1）计算，，，猜想可得，然后依据数学归纳法的证明步骤，可得结果.（2）根据（1）得，然后利用裂项相消法，可得结果.【题目详解】（1）当时，，即，解得当时，，即，解得当时，，即，解得猜想，下面用数学归纳法证明：当时，，猜想成立假设当时，猜想成立，即，，则当时，，，，所以猜想成立．综上所述，对于任意，均成立．（2）由（1）得则数列的前项和【题目点拨】本题考查数学归纳法证明方法以及裂项相消法求和，熟练掌握数学归纳法的步骤，同时对常用的求和方法要熟悉，属基础题.20、（1）；（2）详见解析；（3）.【解题分析】

利用互斥事件的概率求和公式计算即可；由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值；由题意知事件包含一红两黑和两红一黑，两红一白，求出对应的概率值．【题目详解】解：从袋中1次随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为；从袋中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2，3；则，，，，随机变量X的概率分布为；

X0123

P

数学期望；记3次摸球后，取到红球的次数大于取到白球的次数为事件A，则．【题目点拨】本题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．21、（1）；100人年龄的平均值为.（2）表格数据为：25，40，35，25，60；没有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动.【解题分析】

（1）由频率分布直方图求出对应的频率，列方