湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2024届数学高二第二学期期末检测试题含解析

湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2024届数学高二第二学期期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若命题是真命题，则实数a的取值范围是A． B．C． D．2．已知满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A．5 B．7 C．9 D．114．已知，那么“”是“且”的A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则与的值分别为（）A． B． C． D．6．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A．310B．35C．17．已知函数在处取极值10，则（）A．4或 B．4或 C．4 D．8．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()（Ａ）种（Ｂ）种（Ｃ）种（Ｄ）种9．直线的倾斜角的大小为（）A． B． C． D．10．函数的大致图象为（）A． B．C． D．11．若随机变量满足，且，，则（）A． B． C． D．12．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数满足，且，则_____．14．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名．15．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为__________．16．若实数、满足，则的取值范围是_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：健身族非健身族合计男性401050女性302050合计7030100（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式：，其中.参考数据：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3213.8405.0246.63518．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，⊥平面且.(1)求证：平面⊥平面；(2)若设与平面所成夹角为，且，求二面角的余弦值.19．（12分）已知.（1）当时，求：①展开式中的中间一项；②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大，求展开式中含项的系数.20．（12分）如图，切于点，直线交于两点，,垂足为.（1）证明：（2）若,，求圆的直径.21．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均为正数.求证：22．（10分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，面，且，为中点．（1）证明：//平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】因为命题是真命题，即不等式对恒成立，即恒成立，当a＋2＝0时，不符合题意，故有，即，解得，则实数a的取值范围是．故选：B．2、D【解题分析】由题意，令，所以，所以，因为，所以所以所以，故选D.3、B【解题分析】

设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an，则a【题目详解】设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an-1把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an-1次，所以aa1=1，故a2【题目点拨】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.4、C【解题分析】

先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．【题目详解】若x＝﹣1，y＝﹣1，则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：C．【题目点拨】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5、D【解题分析】分析：由题意得，结合即可求出，同理可得的值.详解：函数的图象与的图象都关于直线对称，和（）解得和，和时，；时，.故选：D.点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.6、C【解题分析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为35，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为35×考点：1、条件概率；2、独立事件．7、C【解题分析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵，∴．由题意得，即，解得或．当时，，故函数单调递增，无极值．不符合题意．∴．故选C．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．8、C【解题分析】∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有种不同挑选方法故选C；【考点】此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】从参加“某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；9、B【解题分析】

由直线方程,可知直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故选．10、D【解题分析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．【题目详解】，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，排除，故选：．【题目点拨】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.11、A【解题分析】

根据二项分布的数学期望和方差求解.【题目详解】由题意得：解得：，故选A.【题目点拨】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.12、A【解题分析】试题分析：模拟运算：k=0,S=0,S<100成立S=0+2S=1+2S=3+2S=7+2S=15+2S=15+2S=31+2S=63+26=127,k=6+1=7,S=127<100考点：程序框图．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出，最后由复数的模的计算公式求出．【题目详解】因为，所以已知等式可变形为，即，解得，．【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．14、32【解题分析】试题分析：设高一年级抽取x名学生，所以x80考点：分层抽样15、6【解题分析】

先设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，由球心到这两个平面的距离相等，可得两圆半径相等，然后设两圆半径为r,由勾股定理表示出，，再由，即可求出r，从而可得结果.【题目详解】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为，，，又，，，.这两个圆的半径之和为6.【题目点拨】本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解.16、.【解题分析】

利用椭圆的参数方程，设，，代入所求代数式，换元，可得出，将代数式转化为关于的二次函数在区间上的值域来处理.【题目详解】设，，则，设，则，，，其中，由于二次函数，，当时，；当时，.因此，的取值范围是，故答案为.【题目点拨】本题考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数的值域问题以及二次函数的值域，本题用到了两次换元，同时要注意关系式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【解题分析】

（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断【题目详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为小时，由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；（2）由联立表可得，，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【题目点拨】本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.18、(1)见解析;(2).【解题分析】

（1）根据已知可得和，由线面垂直判定定理可证平面，再由面面垂直判定定理证得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，设，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系，求得的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【题目详解】（1）证明：连结四边形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：设，四边形是菱形，，、为等边三角形，，是的中点，，⊥平面，，在中有，，，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则所以，，设平面的法向量为，由得设，解得.设平面的法向量为，由得设，解得.设二面角的为，则结合图可知，二面角的余弦值为.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，FO=EO=,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC又EC⊆面AEC,∴FO⊥EC过点F做FM⊥EC于M，连OM，又FO⊥EC,FM∩FO=F,FM、FO⊆面FMO,∴EC⊥面FMOOM⊆面FMO,∴EC⊥MO∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角AC⊥面BEFD,EO⊆面BEFD，∴AC⊥EO又O为AC的中点，∴EC=AE=Rt△OEC中，OC=,EC=,∴OE=,∴OM=Rt△OFM中，OF=,OM=,∴FM=∴cos∠FMO=即二面角A-EC-F的余弦值为解法三：连接AC交BD于O，连接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，FO=EO=,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC又∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=在△EFC中，FC=EC=，EF=2,∴在△AEC中,AE=EC=,O为AC中点，∴OE⊥OC在Rt△OEC,OE=,OC=,∴设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m,二面角A-EC-F的平面角设为θ，则cosθ=即二面角A-EC-F的余弦值为.【题目点拨】本题考查平面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.19、（1）①；②；（2）.【解题分析】

（1）当时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于求出的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含项的系数．【题目详解】（1）①当时，的展开式共有项，展开式中的中间一项为；②展开式的通项公式为，令，得，所求常数项的值为；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于，而展开式中各项系数之和为，各二项式系数之和为，则，即，解得.所以，展开式通项为，令，解得，因此，展开式中含项的系数为.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．20、（1）见解析；（2）3【解题分析】试题分析：（1）根据直径的性质，即可证明；（2）结合圆的切割线定理进行求解，即可求出的直径.试题解析：（1）因为是的直径，则又，所以又切于点，得所以（2）由（1）知平分，则，又，从而，所以所以，由切割线定理得即，故，即的直径为3.21、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）分别在、、三个范围内去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将所证结论变为证明，利用基本不等式可证得结论.【题目详解】（1）当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：不等式的解集为：（