2024届福建省泉州市南安一中高二数学第二学期期末预测试题含解析

2024届福建省泉州市南安一中高二数学第二学期期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A． B．C． D．2．设函数，，若存在唯一的整数，使，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．定义在上的函数，满足为的导函数，且，若，且，则有（）A． B．C． D．不确定4．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为（）ξ1234PmnA． B． C． D．5．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．设复数，则复数的共轭复数是()A． B． C． D．7．已知奇函数是定义在上的减函数，且，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．8．在打击拐卖儿童犯罪的活动中,警方救获一名男孩,为了确定他的家乡,警方进行了调查:知情人士A说,他可能是四川人,也可能是贵州人；知情人士B说,他不可能是四川人；知情人士C说,他肯定是四川人；知情人士D说,他不是贵州人.警方确定,只有一个人的话不可信.根据以上信息,警方可以确定这名男孩的家乡是（）A．四川 B．贵州C．可能是四川,也可能是贵州 D．无法判断9．函数f（x）＝xsinx+cosx的导函数为，则导函数的部分图象大致是（）A． B．C． D．10．函数的定义域是（）A． B． C． D．11．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为()A． B． C． D．12．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人7年轻人6合计50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为____.14．某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则__________.03615．已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、曲线的交点为则弦的长为______.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围.19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.20．（12分）如图，直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且.分别为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．22．（10分）函数，，实数为常数.（I）求的最大值；（II）讨论方程的实数根的个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数即可．【题目详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+1×6个火柴组成，以此类推：组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+1．故选：D．【题目点拨】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．2、C【解题分析】

先确定是唯一整数解,再通过图像计算得到范围.【题目详解】是函数单调递减；函数单调递增.存在唯一的整数，使取，，满足，则0是唯一整数.恒过定点如图所示：

即综上所诉：故答案选C【题目点拨】本题考查了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键.3、A【解题分析】

函数满足，可得.由，易知，当时，，单调递减.由，则.当,则.当,则,，，即.故选A.4、A【解题分析】

根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.【题目详解】且，则即解得故答案选A【题目点拨】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.5、A【解题分析】分析：利用祖暅原理分析判断即可.详解：设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，根据祖暅原理可知，p是q的充分不必要条件.故选：A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.6、B【解题分析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果.详解：因为，所以,所以复数的共轭复数是,选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为7、C【解题分析】

根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.【题目详解】，即：又是定义在上的减函数又为奇函数，即：本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.8、A【解题分析】

先确定B,C中必有一真一假，再分析出A,D两个正确，男孩为四川人.【题目详解】第一步,找到突破口B和C的话矛盾,二者必有一假.第二步,看其余人的话,A和D的话为真,因此男孩是四川人.第三步,判断突破口中B,C两句话的真假,C的话为真,B的话为假,即男孩为四川人.故选：A【题目点拨】本题主要考查分析推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9、C【解题分析】

先求得函数的导数，根据导函数的奇偶性和正负，判断出正确选项.【题目详解】，为奇函数，且在上有，故选C.【题目点拨】本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.10、D【解题分析】

根据求具体函数的基本原则：分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数中真数为正数列不等式解出的取值范围，即为函数的定义域．【题目详解】由题意可得，即，解得，因此，函数的定义域为，故选D.【题目点拨】本题考查具体函数的定义域的求解，求解原则如下：（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数非负；（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为；（4）正切函数中，；（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.11、D【解题分析】

由题可知为古典概型，总的可能结果有种，满足条件的方案有三类：一是一男三女，一是两男两女，另一类是三男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将三类组数相加，即可求得满足条件的结果，代入古典概型概率计算公式即可得到概率.【题目详解】根据题意，选4名同学总的可能结果有种.选到的4名同学中既有男同学又有女同学方案有三类：（1）一男三女，有种，（2）两男两女，有种.（3）三男一女，有种.共种结果.由古典概型概率计算公式，.故选D.【题目点拨】本题考查古典概型与排列组合的综合问题，利用排列组合的公式计算满足条件的种类是解决本题的关键.12、D【解题分析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.详解：因为，所以选D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为5，基本事件的区域长度为1，利用几何概率公式可求．详解：“长为5的木棍”对应区间，“两段长都大于2”为事件则满足的区间为，

根据几何概率的计算公式可得，故答案为：．点睛：本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．14、【解题分析】

通过概率和为1建立方程，再通过得到方程，从而得到答案.【题目详解】根据题意可得方程组：，解得，从而.【题目点拨】本题主要考查分布列与期望相关概念，难度不大.15、【解题分析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解的长.详解：由,,将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:,即,故为圆心为,半径为的圆,:,即,表示过原点倾斜角为的直线，因为的解为，，所以.点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.16、【解题分析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由三角函数的基本关系式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.（2）由（1）知，得到，进而得到，再利用两角差的正切函数的公式，即可求解.【题目详解】（1）因为，且为锐角，所以，因此；（2）由（1）知，又，所以，于是得，因为.为锐角，所以，又，于是得，因此，故.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，以及两角差的正切公式，以及余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）先求导，再对a分和两种情况讨论，求出函数的单调性；（2）原命题等价于，对a分三种情况讨论分析得解.【题目详解】（1）当即时，恒成立在上单调递增当即时，当时，时，；时，在上单调递减，上单调递增综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增（2）当时，恒成立，当时，当时，，此时无解.当时，由（1）知在上单调递减，上单调递增，整理得记.则恒成立故在上单调递增综上所述：.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.19、（1）.（2）.【解题分析】试题分析：（1）求出直线的普通方程，设，则点到直线的距离的距离，即可求点到直线的距离的最小值；

（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方则，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意，设，则点到直线的距离，当，即，时，，故点到直线的距离的最小值为.（Ⅱ）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范围为.【题目点拨】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．20、（1）证明过程详见试题解析；（2）二面角的余弦值为.【解题分析】试题分析：（1）由已知条件可以为坐标原点建立空间坐标系，用坐标表示出，由向量的数量积运算得，根据线面垂直的判定定理得平面；（2）先分别求出平面和平面的法向量，，再根据公式求出二面角的余弦即可.试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系，令，则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).，，平面.平面的法向量为，设平面的法向量为令则,∴二面角的大小的余弦为.考点：1、线面垂直的判定定理；2、二面角．21、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解题分析】

(Ⅰ)由题意列出关于a,