广东省执信中学、广州二中、广州六中、广雅中学四校2024届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

广东省执信中学、广州二中、广州六中、广雅中学四校2024届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，角的对边分别是，若，则的值为（）A．1 B． C． D．2．“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为，从“”中取6个不同的字母排成一排，含有“”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种3．设函数在处存在导数，则（）A． B． C． D．4．在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N(85,9)，若已知，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为（）A．0.85 B．0.65 C．0.35 D．0.155．如图，点为正方体的中心，点为棱的中点，点为棱的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影不可能是（）A． B． C． D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位7．设复数，是的共轭复数，则的虚部为A． B． C． D．8．已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，9．已知，，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5 B． C． D．11．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知当时，在上是“凸函数”，则在上()A．既有极大值,也有极小值 B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值 D．没有极大值,也没有极小值12．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=________．14．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则______.15．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（）．16．已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某市为迎接“国家义务教育均衡发展”综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分.其中分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为(优秀)、(良好)、(及格）三个等级，调查结果如表所示.例如：表中“学校的基础设施建设”指标为等级的共有所学校.已知两项指标均为等级的概率为0.21.（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关；师资力量（优秀）师资力量（非优秀）合计基础设施建设（优秀）基础设施建设（非优秀）合计（2）在该样本的“学校的师资力量”为等级的学校中，若，记随机变量，求的分布列和数学期望.附:18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知实数使得函数在定义域内为增函数；实数使得函数在上存在两个零点，且分别求出条件中的实数的取值范围；甲同学认为“是的充分条件”，乙同学认为“是的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由.20．（12分）已知.(1)当，时，求不等式的解集；(2)当，时，的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求的取值范围．21．（12分）已知函数.（1）当时，证明：；（2）若在的最大值为2，求a的值.22．（10分）设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依据余弦定理列出关于角的关系式，化简即得．【题目详解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故选C.【题目点拨】本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换．2、C【解题分析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选B.3、A【解题分析】

通过变形，结合导数的定义可以直接得出答案.【题目详解】.选A.【题目点拨】本题考查了导数的定义，适当的变形是解题的关键.4、D【解题分析】

先求出,再求出培训成绩大于90的概率.【题目详解】因为培训成绩X～N(85,9)，所以2×0.35=0.7，所以P(X＞90)=，所以培训成绩大于90的概率为0.15.故答案为：D.【题目点拨】（1）本题主要考查正态分布，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解答正态分布问题，不要死记硬背，要根据函数的图像和性质解答.5、C【解题分析】分析：根据空间四边形在正方体前后面、上下面和左右面上的正投影，即可得到正确的选项.详解：空间四边形在正方体前后面上的正投影是A选项；空间四边形在正方体前上下上的正投影是B选项；空间四边形在正方体左右面上的正投影是D选项，故选C.点睛：本题主要考查了平行投影和平行投影的作法的应用问题，主要同一图形在不同面上的投影不一定相同，属于基础题，着重考查了空间推理能力.6、B【解题分析】

=cos2x,=,所以只需将函数的图象向右平移个单位可得到故选B7、C【解题分析】

由，得，代入，利用复数的代数形式的乘除运算，即可求解.【题目详解】由题意，复数，得，则，所以复数的虚部为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的代数形式的运算，其中解答中熟记复数的基本概念，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8、C【解题分析】

空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面【题目详解】解：，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；，，，共面，不能构成基底，排除；若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．故选：．【题目点拨】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.9、C【解题分析】

构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【题目详解】由题意，，，设，，设，，在单调递减，且，,所以在递减，，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围，可得减区间.10、C【解题分析】分析：由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，，得，则，即，，故正确答案为C.点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.11、C【解题分析】此题考查函数极值存在的判定条件思路：先根据已知条件确定m的值，然后在判定因为时，在上是“凸函数”所以在上恒成立，得在是单调递减，的对称轴要满足与单调递增单调递减，当时有极大值，当时有极小值所以在上有极大值无极小值12、B【解题分析】

根据已知条件可以把转化为即为函数在为和对应两点连线的斜率，且，是分别为时对应图像上点的切线斜率，再结合图像即可得到答案.【题目详解】，是分别为时对应图像上点的切线斜率，，为图像上为和对应两点连线的斜率，（如图）由图可知，故选：B【题目点拨】本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由题意得，因此14、0.6【解题分析】

由题意知，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可.【题目详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．

由，得，

即，所以，

所以，

故答案为：．【题目点拨】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．15、【解题分析】试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128考点：相互独立事件的概率乘法公式16、【解题分析】

分两种情况讨论：函数在区间上为增函数或减函数，转化为或在区间上恒成立，利用参变量分离得出或在区间上恒成立，然后利用单调性求出函数在区间上的最大值和最小值，可求出实数的取值范围.【题目详解】，.①当函数在区间上单调递增，则不等式在区间上恒成立，即，则，由于函数在区间上单调递增，，，，解得；②当函数在区间上单调递减，则不等式在区间上恒成立，即，则，由于函数在区间上单调递增，，，，解得.因此，实数的取值范围是，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】

（1）依题意求得n、a和b的值，填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意得到满足条件的（a，b），再计算ξ的分布列和数学期望值．【题目详解】（Ⅰ）依题意得，得由，得由得师资力量(优秀)师资力量（非优秀）基础设施建设（优秀）2021基础设施建设（非优秀）2039.因为，所以没有90﹪的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关.（Ⅱ）,,得到满足条件的有：，，，，故的分布列为1357故【题目点拨】本题主要考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与数学期望问题，属于中档题．18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解题分析】分析：（1）先证明，，再证明平面.(2)利用向量方法求直线与平面所成角的正弦值.详解：（Ⅰ）因为，平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以平面；（Ⅱ）取的中点，连结，，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛：（1）本题主要考查线面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在,平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.19、（1），（2）甲、乙两同学的判断均不正确，理由见解析【解题分析】

（1）真时，先求函数的导数，令恒成立，整理得到恒成立，转化为求函数的最小值；真时，只需满足即可；（2）根据（1）的结果，判断两个集合是否具有包含关系，根据集合的包含关系判断充分必要条件.【题目详解】解，的定义域为，因为在定义域内为增函数，所以对，恒有整理得，恒成立．于是因此满足条件的实数的取值范围是因为的存在两个零点且，所以即，解得因此满足条件的实数的取值范围是甲、乙两同学的判断均不正确，因为，所以不是的充分条件，因为，所以不是的必要条件．【题目点拨】本题考查了由命题的真假，求参数取值范围的问题，本题的一个易错点是真时，有的同学只写出，而忽略了的正负决定函数图像的开口，第二问考查了当命题是以集合形式给出时，如何判断充分必要条件，,，若时，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，当没有包含关系时，是的既不充分也不必要条件，当时，是的充要条件.20、（1）；（2）.【解题分析】分析：(1)将代入函数解析式，利用零点分段法，将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后求并集得到原不等式的解集；(2)结合的条件，将函数解析式化简，化为分段函数的形式，求得相关点的坐标，利用面积公式，得到参数所满足的不等关系式，从而求得结果.详解：(1)当时,.不等式等价于或或解得或，即.所以不等式的解集是.(2)由题设可得,所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，.所以